1.如图,下列条件:①$∠ 1=∠ 2$;②$∠ 3+∠ 4=180°$;③$∠ 5+∠ 6=180°$;④$∠ 2=∠ 3$;⑤$∠ 7=∠ 2+∠ 3$;⑥$∠ 7+∠ 4-∠ 1=180°$.其中能判定直线$a// b$的有 （
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
C
）A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
答案：1.C
解析：
【分析】要判定直线$a// b$，需结合平行线的判定定理：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行，再结合对顶角相等、邻补角和为$180°$等角的性质，逐个分析每个条件能否转化为$a$、$b$被截线所截的同位角/内错角相等、同旁内角互补即可。
【解析】逐个分析6个条件：
①$∠1=∠2$：$∠1$和$∠2$是直线$a$、$b$被右侧截线所截的内错角，内错角相等，可判定$a// b$；
②$∠3+∠4=180°$：$∠3$和$∠4$是直线$a$、$b$被左侧截线所截的同旁内角，同旁内角互补，可判定$a// b$；
③$∠5+∠6=180°$：$∠6$和$∠3$是邻补角，因此$∠6+∠3=180°$，结合条件可得$∠5=∠3$，$∠5$和$∠3$是直线$a$、$b$被左侧截线所截的同位角，同位角相等，可判定$a// b$；
④$∠2=∠3$：$∠2$和$∠3$不是直线$a$、$b$被同一条截线所截的同位角或内错角，角相等无法推出$a// b$，不能判定；
⑤$∠7=∠2+∠3$：根据三角形外角性质，$∠7$等于$∠3$与直线$a$、$b$被右侧截线所截的内错角的和，若$∠7=∠2+∠3$，则该内错角与$∠2$相等，内错角相等，可判定$a// b$；
⑥$∠7+∠4-∠1=180°$：$∠7$和$∠3$是邻补角，因此$∠7=180°-∠3$，代入条件化简得$∠4=∠1+∠3$，结合平角性质可推出$a$、$b$被右侧截线所截的同旁内角互补，可判定$a// b$。
综上，能判定$a// b$的有①②③⑤⑥，共5个。
【答案】C
【知识点】平行线的判定；角的相关性质
【点评】本题考查平行线的判定，解题关键是熟练掌握平行线的判定定理，能正确识别同位角、内错角、同旁内角，结合角的性质转化角的关系进行判断。
【难度系数】0.7
【解析】逐个分析6个条件：
①$∠1=∠2$：$∠1$和$∠2$是直线$a$、$b$被右侧截线所截的内错角，内错角相等，可判定$a// b$；
②$∠3+∠4=180°$：$∠3$和$∠4$是直线$a$、$b$被左侧截线所截的同旁内角，同旁内角互补，可判定$a// b$；
③$∠5+∠6=180°$：$∠6$和$∠3$是邻补角，因此$∠6+∠3=180°$，结合条件可得$∠5=∠3$，$∠5$和$∠3$是直线$a$、$b$被左侧截线所截的同位角，同位角相等，可判定$a// b$；
④$∠2=∠3$：$∠2$和$∠3$不是直线$a$、$b$被同一条截线所截的同位角或内错角，角相等无法推出$a// b$，不能判定；
⑤$∠7=∠2+∠3$：根据三角形外角性质，$∠7$等于$∠3$与直线$a$、$b$被右侧截线所截的内错角的和，若$∠7=∠2+∠3$，则该内错角与$∠2$相等，内错角相等，可判定$a// b$；
⑥$∠7+∠4-∠1=180°$：$∠7$和$∠3$是邻补角，因此$∠7=180°-∠3$，代入条件化简得$∠4=∠1+∠3$，结合平角性质可推出$a$、$b$被右侧截线所截的同旁内角互补，可判定$a// b$。
综上，能判定$a// b$的有①②③⑤⑥，共5个。
【答案】C
【知识点】平行线的判定；角的相关性质
【点评】本题考查平行线的判定，解题关键是熟练掌握平行线的判定定理，能正确识别同位角、内错角、同旁内角，结合角的性质转化角的关系进行判断。
【难度系数】0.7
2.将一副三角尺按如图放置，有下列结论：①$∠1=∠3$；②若$∠2=30°$，则$AC// DE$；③若$∠2=45°$，则$BC// AD$；④若$∠4=∠ C$，则$∠2=30°$.其中正确的有
①②③④
.（填序号）答案：2.①②③④
解析：
【分析】
本题结合三角尺的固定特殊角度，利用余角的性质、平行线的判定定理，逐个对四个结论进行验证即可得到正确结论。解题时首先明确两个三角尺的固定角度，再结合图形分析角的和差关系、位置关系，逐一推导判断。
【解析】
由题意得，两个三角尺均为直角三角尺，直角顶点重合于点A，因此$∠ CAB=∠ EAD=90°$，即$∠ 1+∠ 2=90°$，$∠ 2+∠ 3=90°$。
1. 判断①：
$∠ 1$和$∠ 3$都是$∠ 2$的余角，根据同角的余角相等，可得$∠ 1=∠ 3$，故①正确。
2. 判断②：
若$∠ 2=30°$，则$∠ 1=90°-∠ 2=60°$，已知三角尺AED中$∠ E=60°$，因此$∠ 1=∠ E$，内错角相等，两直线平行，可得$AC// DE$，故②正确。
3. 判断③：
若$∠ 2=45°$，则$∠ 3=90°-∠ 2=45°$，已知三角尺CAB中$∠ B=45°$，因此$∠ 3=∠ B$，内错角相等，两直线平行，可得$BC// AD$，故③正确。
4. 判断④：
若$∠ 4=∠ C$，$∠ C=30°$，因此$∠ 4=∠ C$，同位角相等，两直线平行，可得$AC// DE$，因此$∠ 1=∠ E=60°$，所以$∠ 2=90°-∠ 1=30°$，故④正确。
综上，①②③④均正确。
【答案】
①②③④
【知识点】
同角的余角相等，平行线的判定，三角尺的角度特征
【点评】
本题是三角板组合类的常考题，需要熟练掌握三角板的特殊角度，结合角的和差关系和平行线的判定定理逐一分析结论，解题时注意找准角的位置关系，避免因角的对应关系判断错误失分。
【难度系数】
0.7
本题结合三角尺的固定特殊角度，利用余角的性质、平行线的判定定理，逐个对四个结论进行验证即可得到正确结论。解题时首先明确两个三角尺的固定角度，再结合图形分析角的和差关系、位置关系，逐一推导判断。
【解析】
由题意得，两个三角尺均为直角三角尺，直角顶点重合于点A，因此$∠ CAB=∠ EAD=90°$，即$∠ 1+∠ 2=90°$，$∠ 2+∠ 3=90°$。
1. 判断①：
$∠ 1$和$∠ 3$都是$∠ 2$的余角，根据同角的余角相等，可得$∠ 1=∠ 3$，故①正确。
2. 判断②：
若$∠ 2=30°$，则$∠ 1=90°-∠ 2=60°$，已知三角尺AED中$∠ E=60°$，因此$∠ 1=∠ E$，内错角相等，两直线平行，可得$AC// DE$，故②正确。
3. 判断③：
若$∠ 2=45°$，则$∠ 3=90°-∠ 2=45°$，已知三角尺CAB中$∠ B=45°$，因此$∠ 3=∠ B$，内错角相等，两直线平行，可得$BC// AD$，故③正确。
4. 判断④：
若$∠ 4=∠ C$，$∠ C=30°$，因此$∠ 4=∠ C$，同位角相等，两直线平行，可得$AC// DE$，因此$∠ 1=∠ E=60°$，所以$∠ 2=90°-∠ 1=30°$，故④正确。
综上，①②③④均正确。
【答案】
①②③④
【知识点】
同角的余角相等，平行线的判定，三角尺的角度特征
【点评】
本题是三角板组合类的常考题，需要熟练掌握三角板的特殊角度，结合角的和差关系和平行线的判定定理逐一分析结论，解题时注意找准角的位置关系，避免因角的对应关系判断错误失分。
【难度系数】
0.7
3.如图，在$∠ MON$的一边$OM$上有一点$A$，另一边$ON$上有一点$C$，过点$A$作$ON$的垂线，交$ON$于点$B$，过点$C$作$OM$的垂线，交$OM$于点$D$，$AE$，$CF$分别是$∠ DAB$和$∠ DCB$的平分线，判断$AE$与$CF$是否平行，并说明理由.
答案：3.解:$AE // CF$. 理由: 因为 $AB ⊥ ON, CD ⊥ OM$, 所以
$∠ ABE=∠ CDF=90°$,
所以$∠ BAE+∠ AEB=90°,∠ BAD+∠ DCB=180°$.
因为 $AE,CF$ 分别是$∠ DAB$ 和$∠ DCB$ 的平分线,
所以 $∠ BAE = \frac{1}{2}∠ DAB, ∠ FCE = \frac{1}{2}∠ DCB$, 所以
$∠ BAE+∠ FCE=\frac{1}{2}∠ DAB+\frac{1}{2}∠ DCB=\frac{1}{2}(∠ DAB+$$∠ DCB)=90°$,
所以$∠ AEB=∠ FCE$,所以$AE// CF$.
$∠ ABE=∠ CDF=90°$,
所以$∠ BAE+∠ AEB=90°,∠ BAD+∠ DCB=180°$.
因为 $AE,CF$ 分别是$∠ DAB$ 和$∠ DCB$ 的平分线,
所以 $∠ BAE = \frac{1}{2}∠ DAB, ∠ FCE = \frac{1}{2}∠ DCB$, 所以
$∠ BAE+∠ FCE=\frac{1}{2}∠ DAB+\frac{1}{2}∠ DCB=\frac{1}{2}(∠ DAB+$$∠ DCB)=90°$,
所以$∠ AEB=∠ FCE$,所以$AE// CF$.
解析：
【分析】
要判断AE与CF是否平行，可依据平行线的判定定理，寻找两条直线被截后形成的等角或补角关系。首先从已知的垂直条件入手，先得到90°的角，再推导∠DAB与∠DCB的和；结合角平分线的性质，可得到两个半角的和为90°；最后结合直角三角形两锐角互余的性质，等量代换得到同位角相等，即可判定两直线平行。
【解析】
解：$AE // CF$，理由如下：
$\because AB ⊥ ON$，$CD ⊥ OM$，
$\therefore ∠ ABE = ∠ CDF = 90°$，
$\therefore ∠ BAE + ∠ AEB = 90°$，$∠ BAD + ∠ DCB = 180°$。
$\because AE$、$CF$分别是$∠ DAB$和$∠ DCB$的平分线，
$\therefore ∠ BAE = \frac{1}{2}∠ DAB$，$∠ FCE = \frac{1}{2}∠ DCB$，
$\therefore ∠ BAE + ∠ FCE = \frac{1}{2}∠ DAB + \frac{1}{2}∠ DCB = \frac{1}{2}(∠ DAB + ∠ DCB) = 90°$，
$\therefore ∠ AEB = ∠ FCE$，
$\therefore AE // CF$。
【答案】
$AE // CF$
【知识点】
平行线的判定，角平分线的定义，垂直的性质
【点评】
本题是平行线判定的典型应用，需要结合垂直、角平分线的性质完成角的等量代换，解题核心是通过已知条件转化得到判定平行所需的等角关系，能够有效锻炼逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
要判断AE与CF是否平行，可依据平行线的判定定理，寻找两条直线被截后形成的等角或补角关系。首先从已知的垂直条件入手，先得到90°的角，再推导∠DAB与∠DCB的和；结合角平分线的性质，可得到两个半角的和为90°；最后结合直角三角形两锐角互余的性质，等量代换得到同位角相等，即可判定两直线平行。
【解析】
解：$AE // CF$，理由如下：
$\because AB ⊥ ON$，$CD ⊥ OM$，
$\therefore ∠ ABE = ∠ CDF = 90°$，
$\therefore ∠ BAE + ∠ AEB = 90°$，$∠ BAD + ∠ DCB = 180°$。
$\because AE$、$CF$分别是$∠ DAB$和$∠ DCB$的平分线，
$\therefore ∠ BAE = \frac{1}{2}∠ DAB$，$∠ FCE = \frac{1}{2}∠ DCB$，
$\therefore ∠ BAE + ∠ FCE = \frac{1}{2}∠ DAB + \frac{1}{2}∠ DCB = \frac{1}{2}(∠ DAB + ∠ DCB) = 90°$，
$\therefore ∠ AEB = ∠ FCE$，
$\therefore AE // CF$。
【答案】
$AE // CF$
【知识点】
平行线的判定，角平分线的定义，垂直的性质
【点评】
本题是平行线判定的典型应用，需要结合垂直、角平分线的性质完成角的等量代换，解题核心是通过已知条件转化得到判定平行所需的等角关系，能够有效锻炼逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7