1.已知$x=-3$是关于$x$的方程$(k+3)x+2=3x-2k$的解.
(1)求$k$的值；
(2)在(1)的条件下,已知线段$AB=6\ \mathrm{cm}$,$C$是直线$AB$上一点,且$BC=kAC$,求线段$AC$的长.
(1)求$k$的值；
(2)在(1)的条件下,已知线段$AB=6\ \mathrm{cm}$,$C$是直线$AB$上一点,且$BC=kAC$,求线段$AC$的长.
答案：
(1)由题意,得$-3(k+3)+2=-9-2k$,
解得$k=2$.
(2)若点$C$在线段$AB$上,如答图①,$AC=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{3}×6=2(\mathrm{cm})$;
若点$C$在线段$BA$的延长线上,如答图②,设$AC=x\ \mathrm{cm}$,则$6+x=2x$,解得$x=6$.
综上,线段$AC$的长为2 cm或6 cm.
(1)由题意,得$-3(k+3)+2=-9-2k$,
解得$k=2$.
(2)若点$C$在线段$AB$上,如答图①,$AC=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{3}×6=2(\mathrm{cm})$;
若点$C$在线段$BA$的延长线上,如答图②,设$AC=x\ \mathrm{cm}$,则$6+x=2x$,解得$x=6$.
综上,线段$AC$的长为2 cm或6 cm.
解析：
【分析】
(1) 根据方程的解的定义，将x=-3代入原方程，等式仍然成立，可得到关于k的一元一次方程，解方程即可求出k的值。
(2) 求出k=2后可知BC=2AC，由于点C在直线AB上，直线可向两端无限延伸，因此C的位置有两种情况：①点C在线段AB上；②点C在线段BA的延长线上，需分两种情况结合线段的和差关系计算AC的长度，避免漏解。
【解析】
(1) 把$x=-3$代入方程$(k+3)x+2=3x-2k$，得：
$-3(k+3)+2=3×(-3)-2k$
去括号得：$-3k-9+2=-9-2k$
移项、合并同类项得：$-k=-2$
解得：$k=2$
(2) 由(1)得$BC=2AC$，分两种情况讨论：
① 当点C在线段AB上时，如答图①，此时$AC+BC=AB$，
将$BC=2AC$，$AB=6\ \mathrm{cm}$代入得：$AC+2AC=6$，即$3AC=6$，解得$AC=2\ \mathrm{cm}$；
② 当点C在线段BA的延长线上时，如答图②，此时$BC=AC+AB$，
将$BC=2AC$，$AB=6\ \mathrm{cm}$代入得：$2AC=AC+6$，解得$AC=6\ \mathrm{cm}$。
综上，线段AC的长为2 cm或6 cm。
【答案】
(1) $k=2$；
(2) 线段AC的长为$\boldsymbol{2\ \mathrm{cm}}$或$\boldsymbol{6\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
一元一次方程的解，线段和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题是代数与几何的综合基础题，第一问侧重考查一元一次方程解的定义，代入计算即可求解；第二问解题的关键是明确“点在直线上”包含多种位置情况，需分类讨论计算，避免因漏解出错。
【难度系数】
0.7
(1) 根据方程的解的定义，将x=-3代入原方程，等式仍然成立，可得到关于k的一元一次方程，解方程即可求出k的值。
(2) 求出k=2后可知BC=2AC，由于点C在直线AB上，直线可向两端无限延伸，因此C的位置有两种情况：①点C在线段AB上；②点C在线段BA的延长线上，需分两种情况结合线段的和差关系计算AC的长度，避免漏解。
【解析】
(1) 把$x=-3$代入方程$(k+3)x+2=3x-2k$，得：
$-3(k+3)+2=3×(-3)-2k$
去括号得：$-3k-9+2=-9-2k$
移项、合并同类项得：$-k=-2$
解得：$k=2$
(2) 由(1)得$BC=2AC$，分两种情况讨论：
① 当点C在线段AB上时，如答图①，此时$AC+BC=AB$，
将$BC=2AC$，$AB=6\ \mathrm{cm}$代入得：$AC+2AC=6$，即$3AC=6$，解得$AC=2\ \mathrm{cm}$；
② 当点C在线段BA的延长线上时，如答图②，此时$BC=AC+AB$，
将$BC=2AC$，$AB=6\ \mathrm{cm}$代入得：$2AC=AC+6$，解得$AC=6\ \mathrm{cm}$。
综上，线段AC的长为2 cm或6 cm。
【答案】
(1) $k=2$；
(2) 线段AC的长为$\boldsymbol{2\ \mathrm{cm}}$或$\boldsymbol{6\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
一元一次方程的解，线段和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题是代数与几何的综合基础题，第一问侧重考查一元一次方程解的定义，代入计算即可求解；第二问解题的关键是明确“点在直线上”包含多种位置情况，需分类讨论计算，避免因漏解出错。
【难度系数】
0.7
2. 如图，数轴上两点A，B对应的数分别为－3，9.如果点P，Q分别从点A，B同时出发，沿数轴负方向运动，点P的运动速度为每秒2个单位长度，点Q的运动速度为每秒3个单位长度，设它们的运动时间为t秒.
(1)当点Q到达原点时，点P表示的数为
(2)当P，Q两点相遇时，t＝
(3)求点P出发多少秒后与点Q相距4个单位长度；
(4)是否存在某一时刻，使得A，P，Q这三个点中，有一个点恰为另外两个点所连线段的中点？若存在，直接写出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由.
(1)当点Q到达原点时，点P表示的数为
-9
；(2)当P，Q两点相遇时，t＝
12
；(3)求点P出发多少秒后与点Q相距4个单位长度；
(4)是否存在某一时刻，使得A，P，Q这三个点中，有一个点恰为另外两个点所连线段的中点？若存在，直接写出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由.
答案：(1)$-9$
(2)$12$
(3)解:根据题意,得$|9-3t-(-3-2t)|=4$,
解得$t=8$或$t=16$.
所以点$P$出发8秒或16秒后与点$Q$相距4个单位长度.
(4)解:存在. 若 $A$ 是线段 $PQ$ 的中点,
则 $12-3t=2t$,解得 $t=\frac{12}{5}$;
若 $Q$ 是线段 $AP$ 的中点,则 $2(3t-12)=2t$,解得 $t=6$;
若 $P$ 是线段 $AQ$ 的中点,则 $3t-12=2×2t$,
解得 $t=-12$(不合题意,舍去).
综上,当 $t$ 的值为$\frac{12}{5}$或6时,$A,P,Q$这三个点中,有一个点恰为另外两个点所连线段的中点.
(2)$12$
(3)解:根据题意,得$|9-3t-(-3-2t)|=4$,
解得$t=8$或$t=16$.
所以点$P$出发8秒或16秒后与点$Q$相距4个单位长度.
(4)解:存在. 若 $A$ 是线段 $PQ$ 的中点,
则 $12-3t=2t$,解得 $t=\frac{12}{5}$;
若 $Q$ 是线段 $AP$ 的中点,则 $2(3t-12)=2t$,解得 $t=6$;
若 $P$ 是线段 $AQ$ 的中点,则 $3t-12=2×2t$,
解得 $t=-12$(不合题意,舍去).
综上,当 $t$ 的值为$\frac{12}{5}$或6时,$A,P,Q$这三个点中,有一个点恰为另外两个点所连线段的中点.
解析：
【分析】
这是数轴动点类综合题，解题前先表示出运动t秒后两个动点对应的数：点P从-3出发沿负方向运动，速度为每秒2个单位，t秒后对应的数为$-3-2t$；点Q从9出发沿负方向运动，速度为每秒3个单位，t秒后对应的数为$9-3t$，再结合各小问条件列方程求解即可。
(1) 先计算点Q运动到原点的时间，再代入点P的表达式即可求出对应数；
(2) 相遇时两点对应数相等，可通过追及路程÷速度差计算时间，也可列方程求解；
(3) 数轴上两点距离为对应数差的绝对值，据此列绝对值方程，可得相遇前、相遇后相距4个单位两种情况的解；
(4) 分三类讨论：A是PQ中点、Q是AP中点、P是AQ中点，结合中点性质列方程，舍去不符合实际的负时间解即可。
【解析】
(1) 点Q到原点的路程为9，运动速度为3单位/秒，运动时间$t=9÷3=3$秒。
t=3时，点P运动的路程为$2×3=6$，对应数为$-3-6=-9$。
(2) 初始时P、Q两点距离为$9-(-3)=12$，点Q每秒比点P多走$3-2=1$个单位，追及时间$t=12÷1=12$秒。
(3) 根据数轴两点距离公式可得：
$|(9-3t)-(-3-2t)|=4$
化简得$|12-t|=4$
即$12-t=4$或$12-t=-4$
解得$t=8$或$t=16$。
(4) 分三种情况讨论：
①若A是线段PQ的中点，则$\frac{(-3-2t)+(9-3t)}{2}=-3$，解得$t=\frac{12}{5}$；
②若Q是线段AP的中点，则$\frac{-3+(-3-2t)}{2}=9-3t$，解得$t=6$；
③若P是线段AQ的中点，则$\frac{-3+(9-3t)}{2}=-3-2t$，解得$t=-12$，时间为负不符合实际，舍去。
综上满足条件的t为$\frac{12}{5}$或6。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-9}$
(2) $\boldsymbol{12}$
(3) $\boldsymbol{8}$秒或$\boldsymbol{16}$秒
(4) 存在，$\boldsymbol{t=\frac{12}{5}}$或$\boldsymbol{t=6}$
【知识点】
数轴动点问题；一元一次方程的应用；线段中点的性质
【点评】
本题是数轴与代数结合的典型题型，融合了行程的追及、距离关系和线段中点性质，解题核心是用含t的代数式表示动点对应的数，结合分类讨论思想列方程求解，解题时注意舍去不符合实际意义的解，避免漏解。
【难度系数】
0.6
这是数轴动点类综合题，解题前先表示出运动t秒后两个动点对应的数：点P从-3出发沿负方向运动，速度为每秒2个单位，t秒后对应的数为$-3-2t$；点Q从9出发沿负方向运动，速度为每秒3个单位，t秒后对应的数为$9-3t$，再结合各小问条件列方程求解即可。
(1) 先计算点Q运动到原点的时间，再代入点P的表达式即可求出对应数；
(2) 相遇时两点对应数相等，可通过追及路程÷速度差计算时间，也可列方程求解；
(3) 数轴上两点距离为对应数差的绝对值，据此列绝对值方程，可得相遇前、相遇后相距4个单位两种情况的解；
(4) 分三类讨论：A是PQ中点、Q是AP中点、P是AQ中点，结合中点性质列方程，舍去不符合实际的负时间解即可。
【解析】
(1) 点Q到原点的路程为9，运动速度为3单位/秒，运动时间$t=9÷3=3$秒。
t=3时，点P运动的路程为$2×3=6$，对应数为$-3-6=-9$。
(2) 初始时P、Q两点距离为$9-(-3)=12$，点Q每秒比点P多走$3-2=1$个单位，追及时间$t=12÷1=12$秒。
(3) 根据数轴两点距离公式可得：
$|(9-3t)-(-3-2t)|=4$
化简得$|12-t|=4$
即$12-t=4$或$12-t=-4$
解得$t=8$或$t=16$。
(4) 分三种情况讨论：
①若A是线段PQ的中点，则$\frac{(-3-2t)+(9-3t)}{2}=-3$，解得$t=\frac{12}{5}$；
②若Q是线段AP的中点，则$\frac{-3+(-3-2t)}{2}=9-3t$，解得$t=6$；
③若P是线段AQ的中点，则$\frac{-3+(9-3t)}{2}=-3-2t$，解得$t=-12$，时间为负不符合实际，舍去。
综上满足条件的t为$\frac{12}{5}$或6。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-9}$
(2) $\boldsymbol{12}$
(3) $\boldsymbol{8}$秒或$\boldsymbol{16}$秒
(4) 存在，$\boldsymbol{t=\frac{12}{5}}$或$\boldsymbol{t=6}$
【知识点】
数轴动点问题；一元一次方程的应用；线段中点的性质
【点评】
本题是数轴与代数结合的典型题型，融合了行程的追及、距离关系和线段中点性质，解题核心是用含t的代数式表示动点对应的数，结合分类讨论思想列方程求解，解题时注意舍去不符合实际意义的解，避免漏解。
【难度系数】
0.6