7.(2025·扬州期末)如图，一次函数$y=ax+b$的图象经过点$(2,4),(4,1)$，则关于$x$的方程$ax+b=4$的解是（
A.$x=4$
B.$x=1$
C.$x=3$
D.$x=2$
D
）A.$x=4$
B.$x=1$
C.$x=3$
D.$x=2$
答案：7.D
8. 若一次函数$y=x+1$与$y=-x-1$的图象交于点A，则点A的坐标为
(-1,0)
。答案：8.$(-1,0)$
9.如图,一次函数$y=kx+b$与$y=-x+6$的图象相交于点$P$.若点$P$的纵坐标为$2$,则关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}y=kx+b, \\ y=-x+6\end{cases}$的解为 ______ .
答案：9.$\begin{cases} x=4, \\ y=2 \end{cases}$
10. 已知三条直线:$(m-2)x-y=1,x-y=3,2x-y=2$相交于同一点,则$m=$
5
.答案：10.5
11.(2025·十堰茅箭区校级期中)定义:我们把一次函数$y=kx+b(k≠0)$与正比例函数$y=-x$的图象的交点称为一次函数$y=kx+b(k≠0)$的“亮点”,例如,求$y=-2x-1$的“亮点”,联立,得方程组$\begin{cases}y=-2x-1, \\ y=-x,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=-1, \\ y=1,\end{cases}$则$y=-2x-1$的“亮点”为$(-1,1)$.
(1)由定义可知,一次函数$y=3x-4$的“亮点”为
(2)一次函数$y=px+q$的“亮点”为$(2,q-3)$,求$p,q$的值;
(3)已知直线$y=kx+3(k≠0)$与$x$轴交于点$A$,与$y$轴交于点$B$,直线$y=kx+3$上没有“亮点”.$P$为$x$轴上一点,若$S_{△ ABP}=\frac{2}{3}S_{△ ABO}$,求点$P$的坐标.
(1)由定义可知,一次函数$y=3x-4$的“亮点”为
(1,-1)
;(2)一次函数$y=px+q$的“亮点”为$(2,q-3)$,求$p,q$的值;
(3)已知直线$y=kx+3(k≠0)$与$x$轴交于点$A$,与$y$轴交于点$B$,直线$y=kx+3$上没有“亮点”.$P$为$x$轴上一点,若$S_{△ ABP}=\frac{2}{3}S_{△ ABO}$,求点$P$的坐标.
答案：11.(1)$(1,-1)$
(2)解:根据定义,可得点$(2,q-3)$在函数$y=-x$的图象上,
$\therefore q-3=-2$,解得$q=1$.
$\because$点$(2,-2)$又在函数$y=px+q$的图象上,
$\therefore -2=2p+1$,解得$p=-\frac{3}{2}$.
(3)解:$\because$直线$y=kx+3$上没有“亮点”,
$\therefore$直线$y=kx+3$与$y=-x$平行,
$\therefore k=-1$,$\therefore y=-x+3$,令$x=0$,则$y=3$,
令$y=0$,则$x=3$,
$\therefore A(3,0),B(0,3)$,$\therefore OA=3,OB=3$.
设$P(x,0)$,$\because S_{△ ABP}=\frac{2}{3}S_{△ AOB}$,
$\frac{1}{2}× AP× OB=\frac{2}{3}× \frac{1}{2}× OA× OB$,
$\therefore AP=\frac{2}{3}OA$,$\therefore |x-3|=\frac{2}{3}× 3$,
即$x-3=2$或$x-3=-2$,
解得$x=5$或$x=1$,$\therefore$点$P$的坐标为$(5,0)$或$(1,0)$.
(2)解:根据定义,可得点$(2,q-3)$在函数$y=-x$的图象上,
$\therefore q-3=-2$,解得$q=1$.
$\because$点$(2,-2)$又在函数$y=px+q$的图象上,
$\therefore -2=2p+1$,解得$p=-\frac{3}{2}$.
(3)解:$\because$直线$y=kx+3$上没有“亮点”,
$\therefore$直线$y=kx+3$与$y=-x$平行,
$\therefore k=-1$,$\therefore y=-x+3$,令$x=0$,则$y=3$,
令$y=0$,则$x=3$,
$\therefore A(3,0),B(0,3)$,$\therefore OA=3,OB=3$.
设$P(x,0)$,$\because S_{△ ABP}=\frac{2}{3}S_{△ AOB}$,
$\frac{1}{2}× AP× OB=\frac{2}{3}× \frac{1}{2}× OA× OB$,
$\therefore AP=\frac{2}{3}OA$,$\therefore |x-3|=\frac{2}{3}× 3$,
即$x-3=2$或$x-3=-2$,
解得$x=5$或$x=1$,$\therefore$点$P$的坐标为$(5,0)$或$(1,0)$.
12.(2025·苏州期末)如图,一次函数$y=-2x+4$的图象与$x$轴、$y$轴分别相交于点A和点B,直线$l$的函数表达式为$y=mx-3m+3$.
(1)求点A和点B的坐标;
(2)当直线$l$经过原点时,求直线$l$与直线AB的交点坐标,并直接写出方程$mx-3m+3=-2x+4$的解;
(3)若直线$l$与线段AB有交点时,直接写出$m$的取值范围.
(1)求点A和点B的坐标;
(2)当直线$l$经过原点时,求直线$l$与直线AB的交点坐标,并直接写出方程$mx-3m+3=-2x+4$的解;
(3)若直线$l$与线段AB有交点时,直接写出$m$的取值范围.
答案：12.解:(1)对于$y=-2x+4$,当$x=0$时,$y=4$,当$y=0$时,$x=2$,$\therefore A(2,0),B(0,4)$.
(2)当直线$l$经过原点时,将点$(0,0)$代入得$0=0-3m+3$,解得$m=1$,直线$l$的函数表达式为$y=x$,
联立两个一次函数:$\begin{cases} y=-2x+4, \\ y=x, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=\frac{4}{3}, \\ y=\frac{4}{3}, \end{cases}$
$\therefore$交点坐标为$(\frac{4}{3},\frac{4}{3})$,
$\therefore$方程$mx-3m+3=-2x+4$的解为$x=\frac{4}{3}$.
(3)直线$l$的函数表达式为$y=mx-3m+3=m(x-3)+3$,
$\therefore$直线$l$恒过点$(3,3)$.
由(1)知$A(2,0),B(0,4)$,当直线$l$经过点$A(2,0)$时,
$0=2m-3m+3$,解得$m=3$;
当直线$l$经过点$B(0,4)$时,$4=-3m+3$,解得$m=-\frac{1}{3}$,
$\therefore -\frac{1}{3}≤ m≤ 3$且$m≠ 0$.
(2)当直线$l$经过原点时,将点$(0,0)$代入得$0=0-3m+3$,解得$m=1$,直线$l$的函数表达式为$y=x$,
联立两个一次函数:$\begin{cases} y=-2x+4, \\ y=x, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=\frac{4}{3}, \\ y=\frac{4}{3}, \end{cases}$
$\therefore$交点坐标为$(\frac{4}{3},\frac{4}{3})$,
$\therefore$方程$mx-3m+3=-2x+4$的解为$x=\frac{4}{3}$.
(3)直线$l$的函数表达式为$y=mx-3m+3=m(x-3)+3$,
$\therefore$直线$l$恒过点$(3,3)$.
由(1)知$A(2,0),B(0,4)$,当直线$l$经过点$A(2,0)$时,
$0=2m-3m+3$,解得$m=3$;
当直线$l$经过点$B(0,4)$时,$4=-3m+3$,解得$m=-\frac{1}{3}$,
$\therefore -\frac{1}{3}≤ m≤ 3$且$m≠ 0$.