1. 如图，在$△ ABC$中，$AB=6$，$AC=10$，$AD$是中线，且$AD⊥ AB$，则$△ ABC$的面积为（
A.30
B.48
C.24
D.18
C
）A.30
B.48
C.24
D.18
答案：
1.C 点拨:如答图,延长 AD 至点 E,使 DE=AD,连接 CE.
∵AD是中线,
∴BD=CD.
又
∵∠ADB=∠EDC,
∴△ABD≌△ECD(SAS),
∴∠E=∠BAD=90°,CE=AB=6. 在Rt△ACE中,由勾股定理,得$AE=\sqrt{AC^2-CE^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$,
∴$S_{△ABC}=S_{△ACE}=\frac{1}{2}AE·CE=\frac{1}{2}×8×6=24$.
1.C 点拨:如答图,延长 AD 至点 E,使 DE=AD,连接 CE.
∵AD是中线,
∴BD=CD.
又
∵∠ADB=∠EDC,
∴△ABD≌△ECD(SAS),
∴∠E=∠BAD=90°,CE=AB=6. 在Rt△ACE中,由勾股定理,得$AE=\sqrt{AC^2-CE^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$,
∴$S_{△ABC}=S_{△ACE}=\frac{1}{2}AE·CE=\frac{1}{2}×8×6=24$.
2.如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=8$,$BC=6$,$D$为线段$AB$上一点,连接$CD$,$CD$与$∠ ABC$的平分线$BE$相交于点$F$.若$△ CEF$是以$EF$为底边的等腰三角形,则$DF$的长为$\underline{\hspace{3em}}$.
答案：
2.$\frac{9}{5}$ 点拨:如答图,过点 E 作 EG⊥AB 于点 G.
∵∠ACB=90°,
∴EC⊥BC.
又
∵BE平分∠ABC,
∴EG=EC.
∵∠ACB=90°,AC=8,BC=6,
∴AB=10.
∵$S_{△ABE}+S_{△EBC}=S_{△ABC}$,
∴$\frac{1}{2}AB·EG+\frac{1}{2}CB·EC=\frac{1}{2}AC·BC$,
即$\frac{1}{2}×10·EG+\frac{1}{2}×6·EC=\frac{1}{2}×8×6$,
∴EG=EC=3.
∵△CEF是以EF为底边的等腰三角形,
∴CF=EC=3,
∴∠CEF=∠CFE.
又
∵∠DFB=∠CFE,∠CBE=∠ABE,∠CBE+∠CEF=90°,
∴∠BFD+∠DBF=90°,
∴∠BDF=90°,
∴CD⊥AB.
∵$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}CD·AB$,
∴$CD=\frac{AC·BC}{AB}=\frac{24}{5}$,
∴$DF=CD-CF=\frac{24}{5}-3=\frac{9}{5}$.
2.$\frac{9}{5}$ 点拨:如答图,过点 E 作 EG⊥AB 于点 G.
∵∠ACB=90°,
∴EC⊥BC.
又
∵BE平分∠ABC,
∴EG=EC.
∵∠ACB=90°,AC=8,BC=6,
∴AB=10.
∵$S_{△ABE}+S_{△EBC}=S_{△ABC}$,
∴$\frac{1}{2}AB·EG+\frac{1}{2}CB·EC=\frac{1}{2}AC·BC$,
即$\frac{1}{2}×10·EG+\frac{1}{2}×6·EC=\frac{1}{2}×8×6$,
∴EG=EC=3.
∵△CEF是以EF为底边的等腰三角形,
∴CF=EC=3,
∴∠CEF=∠CFE.
又
∵∠DFB=∠CFE,∠CBE=∠ABE,∠CBE+∠CEF=90°,
∴∠BFD+∠DBF=90°,
∴∠BDF=90°,
∴CD⊥AB.
∵$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}CD·AB$,
∴$CD=\frac{AC·BC}{AB}=\frac{24}{5}$,
∴$DF=CD-CF=\frac{24}{5}-3=\frac{9}{5}$.
3. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=8\ \mathrm{cm}$,$BC=6\ \mathrm{cm}$,动点$P$从点$C$出发,以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度向终点$A$运动,设运动的时间为$t\ \mathrm{s}$.
(1)当$t$为何值时,线段$BP$把$△ ABC$的面积平分?
(2)当$t$为何值时,$△ ABP$为等腰三角形?
(3)在点$P$的运动过程中,在$AB$边上是否存在一点$D$,使得$PD+PB$的值最小?若存在,请求出这个最小值;若不存在,请说明理由.
(1)当$t$为何值时,线段$BP$把$△ ABC$的面积平分?
(2)当$t$为何值时,$△ ABP$为等腰三角形?
(3)在点$P$的运动过程中,在$AB$边上是否存在一点$D$,使得$PD+PB$的值最小?若存在,请求出这个最小值;若不存在,请说明理由.
答案：
3.解:(1)易知当 P 为 AC 边的中点时,线段 BP 把△ABC的面积平分,此时 t=4.
(2)如答图①,作线段 AB 的垂直平分线 PD,交 AC 边于点 P,垂足为 D,则△ABP 为等腰三角形.
∵CP=t cm,
∴AP=BP=(8-t)cm.
在Rt△BCP中,由勾股定理,得$t^2+6^2=(8-t)^2$,解得$t=\frac{7}{4}$,
∴当 t 的值为$\frac{7}{4}$时,△ABP 为等腰三角形.
(3)存在.如答图②,作点 B 关于直线 AC 的对称点 E,过点 E 作 ED⊥AB 于点 D,交 AC 于点 P,此时 PD+PB的值最小,为 ED 的长.连接 AE,则 BE=2BC=12 cm.
∵$S_{△AEB}=\frac{1}{2}BE·AC=\frac{1}{2}AB·ED$,
∴$ED=\frac{AC·BE}{AB}=\frac{8×12}{10}=9.6(\mathrm{cm})$,
∴PD+PB 的最小值为 9.6 cm.
3.解:(1)易知当 P 为 AC 边的中点时,线段 BP 把△ABC的面积平分,此时 t=4.
(2)如答图①,作线段 AB 的垂直平分线 PD,交 AC 边于点 P,垂足为 D,则△ABP 为等腰三角形.
∵CP=t cm,
∴AP=BP=(8-t)cm.
在Rt△BCP中,由勾股定理,得$t^2+6^2=(8-t)^2$,解得$t=\frac{7}{4}$,
∴当 t 的值为$\frac{7}{4}$时,△ABP 为等腰三角形.
(3)存在.如答图②,作点 B 关于直线 AC 的对称点 E,过点 E 作 ED⊥AB 于点 D,交 AC 于点 P,此时 PD+PB的值最小,为 ED 的长.连接 AE,则 BE=2BC=12 cm.
∵$S_{△AEB}=\frac{1}{2}BE·AC=\frac{1}{2}AB·ED$,
∴$ED=\frac{AC·BE}{AB}=\frac{8×12}{10}=9.6(\mathrm{cm})$,
∴PD+PB 的最小值为 9.6 cm.