1. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=90°$,$D$是$BC$边的中点,点$E,F$分别在边$AB$,$AC$上,连接$DE,EF$.若$AE=CF$,则$DE$与$EF$之间的数量关系为 （
A.$EF=DE$
B.$EF=\frac{3}{2}DE$
C.$EF=\sqrt{2}DE$
D.$EF=\sqrt{3}DE$
第1题图 第2题图
C
）A.$EF=DE$
B.$EF=\frac{3}{2}DE$
C.$EF=\sqrt{2}DE$
D.$EF=\sqrt{3}DE$
第1题图 第2题图
答案：
1.C 点拨:如答图,连接AD,DF.
∵AB=AC,∠BAC=90°,D是BC边的中点,
∴∠ADC=90°,∠DAE=∠C=45°,DA=DB=DC.
又
∵AE=CF,
∴△AED≌△CFD(SAS),
∴DE=DF,∠ADE=∠CDF,
∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠CDF+∠ADF=∠ADC=90°,
∴△DEF是等腰直角三角形,
∴EF=$\sqrt{2}$DE.
第1题答图
1.C 点拨:如答图,连接AD,DF.
∵AB=AC,∠BAC=90°,D是BC边的中点,
∴∠ADC=90°,∠DAE=∠C=45°,DA=DB=DC.
又
∵AE=CF,
∴△AED≌△CFD(SAS),
∴DE=DF,∠ADE=∠CDF,
∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠CDF+∠ADF=∠ADC=90°,
∴△DEF是等腰直角三角形,
∴EF=$\sqrt{2}$DE.
第1题答图2.如图,在四边形ABCD中,CB=CD,∠BCD=∠BAD=90°,则AB+AD与AC之间的数量关系为
AB+AD=$\sqrt{2}$AC
.答案：
2.$AB+AD=\sqrt{2}AC$ 点拨:如答图,过点C作$CM⊥AB$于点M,作$CN⊥AD$,交AD的延长线于点N,
则∠CMA=∠CMB=∠N=∠BAD=90°,
∴∠MCN=∠BCD=90°,
∴∠BCM=∠DCN.
又
∵CB=CD,
∴△BCM≌△DCN(AAS),
∴BM=DN,CM=CN,
∴四边形AMCN为正方形,
∴△CAN是等腰直角三角形,
∴$AM+AN=\sqrt{2}AC$.
∵AB+AD=AM+BM+AD=AM+AD+DN=AM+AN,
∴$AB+AD=\sqrt{2}AC$.
第2题答图
2.$AB+AD=\sqrt{2}AC$ 点拨:如答图,过点C作$CM⊥AB$于点M,作$CN⊥AD$,交AD的延长线于点N,
则∠CMA=∠CMB=∠N=∠BAD=90°,
∴∠MCN=∠BCD=90°,
∴∠BCM=∠DCN.
又
∵CB=CD,
∴△BCM≌△DCN(AAS),
∴BM=DN,CM=CN,
∴四边形AMCN为正方形,
∴△CAN是等腰直角三角形,
∴$AM+AN=\sqrt{2}AC$.
∵AB+AD=AM+BM+AD=AM+AD+DN=AM+AN,
∴$AB+AD=\sqrt{2}AC$.
第2题答图3. 如图，在四边形ABCD中，CB=CD，∠B与∠D互补，∠BCD=120°.
求证：AB+AD=√3AC.
求证：AB+AD=√3AC.
答案：
3. 证明:如答图,延长AB至点E,使BE=AD,连接CE.
第3题答图
∵∠ABC与∠D互补,
∴∠CBE=180°−∠ABC=∠D.
又
∵CB=CD,BE=DA,
∴△ADC≌△EBC(SAS),
∴CA=CE,∠ACD=∠BCE,
∴∠ACE = ∠ACB + ∠BCE = ∠ACB + ∠ACD = ∠BCD=120°.
又
∵CA=CE,
∴∠CAE=∠E=30°,
∴$AE=\sqrt{3}AC$,
∴$AB+AD=\sqrt{3}AC$.
3. 证明:如答图,延长AB至点E,使BE=AD,连接CE.
第3题答图∵∠ABC与∠D互补,
∴∠CBE=180°−∠ABC=∠D.
又
∵CB=CD,BE=DA,
∴△ADC≌△EBC(SAS),
∴CA=CE,∠ACD=∠BCE,
∴∠ACE = ∠ACB + ∠BCE = ∠ACB + ∠ACD = ∠BCD=120°.
又
∵CA=CE,
∴∠CAE=∠E=30°,
∴$AE=\sqrt{3}AC$,
∴$AB+AD=\sqrt{3}AC$.