1. 如图，直线 $y=\frac{1}{2}x+2$ 与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C位于直线AB在第一象限的部分上.若B为线段AC的中点，则直线OC的函数表达式为 （
A.$y=\frac{1}{2}x$
B.$y=\frac{2}{3}x$
C.$y=x$
D.$y=2x$
C
）A.$y=\frac{1}{2}x$
B.$y=\frac{2}{3}x$
C.$y=x$
D.$y=2x$
答案：1.C
2.如图，直线$y=2x-4$与$x$轴交于点$A$，与$y$轴交于点$B$，与直线$y=\frac{1}{2}x$交于点$C$，已知$E$为射线$CO$上一点，且$y$轴平分$∠ EBC$，则点$E$的坐标为
$(-\dfrac{8}{5},-\dfrac{4}{5})$
。答案：
2. $(-\dfrac{8}{5},-\dfrac{4}{5})$ 点拔:如答图,延长 BE 交 x 轴于点 D,
则$∠ BOD=∠ BOA=90°$,易得$A(2,0),B(0,-4)$,
$\therefore OA=2,OB=4$.
$\because y$轴平分$∠ EBC,\therefore ∠ DBO=∠ ABO$.
又$\because BO=BO,\therefore △ AOB≌△ DOB(\mathrm{ASA})$,
$\therefore OD=OA=2,\therefore D(-2,0)$.
设直线 BD 的函数表达式为$y=kx-4$,
则$-2k-4=0$,解得$k=-2$.
$\therefore$ 直线 BD 的函数表达式为$y=-2x-4$.
由$\begin{cases}y=\dfrac{1}{2}x,\\y=-2x-4,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=-\dfrac{8}{5},\\y=-\dfrac{4}{5},\end{cases}$$\therefore E(-\dfrac{8}{5},-\dfrac{4}{5})$.
2. $(-\dfrac{8}{5},-\dfrac{4}{5})$ 点拔:如答图,延长 BE 交 x 轴于点 D,
则$∠ BOD=∠ BOA=90°$,易得$A(2,0),B(0,-4)$,
$\therefore OA=2,OB=4$.
$\because y$轴平分$∠ EBC,\therefore ∠ DBO=∠ ABO$.
又$\because BO=BO,\therefore △ AOB≌△ DOB(\mathrm{ASA})$,
$\therefore OD=OA=2,\therefore D(-2,0)$.
设直线 BD 的函数表达式为$y=kx-4$,
则$-2k-4=0$,解得$k=-2$.
$\therefore$ 直线 BD 的函数表达式为$y=-2x-4$.
由$\begin{cases}y=\dfrac{1}{2}x,\\y=-2x-4,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=-\dfrac{8}{5},\\y=-\dfrac{4}{5},\end{cases}$$\therefore E(-\dfrac{8}{5},-\dfrac{4}{5})$.
3. 在平面直角坐标系中，直线 $y=\frac{1}{2}x+2$ 交 $x$ 轴于点 $A$，交 $y$ 轴于点 $B$，直线 $BC$ 交 $x$ 轴于点 $C(1,0)$。
(1)先判断$△ ABC$的形状，再说明理由；
(2)在线段 $AC$ 上取一点 $D$，使得$△ BCD$是以 $BC$ 为腰的等腰三角形，求点 $D$ 的坐标；
(3)若在 $x$ 轴上有一点 $M$，在直线 $BC$ 上有一点 $N$，满足$△ MNC≌△ AOB$，求点 $M$ 的坐标。
(1)先判断$△ ABC$的形状，再说明理由；
(2)在线段 $AC$ 上取一点 $D$，使得$△ BCD$是以 $BC$ 为腰的等腰三角形，求点 $D$ 的坐标；
(3)若在 $x$ 轴上有一点 $M$，在直线 $BC$ 上有一点 $N$，满足$△ MNC≌△ AOB$，求点 $M$ 的坐标。
答案：
3.解:(1)$△ ABC$的形状为直角三角形,理由如下:
对于$y=\dfrac{1}{2}x+2$,当$x=0$时,$y=2$,令$y=0$,则$x=-4$,
即点 A,B 的坐标分别为$(-4,0),(0,2)$,
由点 A,B,C 的坐标得,$AB^2=20$,$BC^2=5$,$AC^2=25$,
则$AC^2=AB^2+BC^2$,
$\therefore △ ABC$的形状为直角三角形.
(2)当$BC=BD$时,点 C,D 关于 y 轴对称,则点 D 的坐标为$(-1,0)$;
当$BC=CD$时,$\because B(0,2),C(1,0),\therefore OB=2,OC=1$,
$\therefore BC=\sqrt{5}$,则$CD=\sqrt{5}$,$\therefore$ 点 D 的坐标为$(1-\sqrt{5},0)$.
综上,点 D 的坐标为$(-1,0)$或$(1-\sqrt{5},0)$.
(3)如答图,当点 M 在点 C 的右侧时,
$\because △ MNC≌△ AOB,\therefore CM=AB$.
$\because A(-4,0),B(0,2),\therefore OA=4,OB=2$,
$\therefore AB=2\sqrt{5},\therefore CM=2\sqrt{5}$,
$\therefore M(1+2\sqrt{5},0)$;当点 M 在点 C 的左侧时,
同理可得,$\therefore M(1-2\sqrt{5},0)$.
综上,点 M 的坐标为$(1+2\sqrt{5},0)$或$(1-2\sqrt{5},0)$.
3.解:(1)$△ ABC$的形状为直角三角形,理由如下:
对于$y=\dfrac{1}{2}x+2$,当$x=0$时,$y=2$,令$y=0$,则$x=-4$,
即点 A,B 的坐标分别为$(-4,0),(0,2)$,
由点 A,B,C 的坐标得,$AB^2=20$,$BC^2=5$,$AC^2=25$,
则$AC^2=AB^2+BC^2$,
$\therefore △ ABC$的形状为直角三角形.
(2)当$BC=BD$时,点 C,D 关于 y 轴对称,则点 D 的坐标为$(-1,0)$;
当$BC=CD$时,$\because B(0,2),C(1,0),\therefore OB=2,OC=1$,
$\therefore BC=\sqrt{5}$,则$CD=\sqrt{5}$,$\therefore$ 点 D 的坐标为$(1-\sqrt{5},0)$.
综上,点 D 的坐标为$(-1,0)$或$(1-\sqrt{5},0)$.
(3)如答图,当点 M 在点 C 的右侧时,
$\because △ MNC≌△ AOB,\therefore CM=AB$.
$\because A(-4,0),B(0,2),\therefore OA=4,OB=2$,
$\therefore AB=2\sqrt{5},\therefore CM=2\sqrt{5}$,
$\therefore M(1+2\sqrt{5},0)$;当点 M 在点 C 的左侧时,
同理可得,$\therefore M(1-2\sqrt{5},0)$.
综上,点 M 的坐标为$(1+2\sqrt{5},0)$或$(1-2\sqrt{5},0)$.