1. 如图，直线$y=x+4$与两坐标轴分别交于A，B两点，C是线段OB的中点，D，E分别是直线AB，y轴上的动点，则$△ CDE$周长的最小值是（
A.$3\sqrt{7}$
B.$3\sqrt{10}$
C.$2\sqrt{7}$
D.$2\sqrt{10}$
D
）A.$3\sqrt{7}$
B.$3\sqrt{10}$
C.$2\sqrt{7}$
D.$2\sqrt{10}$
答案：
1.D 点拨:作点C关于直线AB的对称点F,关于直线AO的对称点G,连接DF,EG.
∵直线$y=x+4$与两坐标轴分别交于A,B两点,C是线段OB的中点,
∴B(-4,0),C(-2,0),
∴BO=4,OG=2,BG=6.
易得∠ABC=45°,
∴△BCF是等腰直角三角形,
∴BF=BC=2.
由轴对称的性质,可得DF=DC,EC=EG,
如答图,当点F,D,E,G在同一条直线上时,△CDE的周长为CD+DE+CE=DF+DE+EG=FG,此时△DEC的周长最小.
在Rt△BFG中,$FG=\sqrt{BF^2+BG^2}=\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10}$,
∴△CDE周长的最小值是$2\sqrt{10}$.
1.D 点拨:作点C关于直线AB的对称点F,关于直线AO的对称点G,连接DF,EG.
∵直线$y=x+4$与两坐标轴分别交于A,B两点,C是线段OB的中点,
∴B(-4,0),C(-2,0),
∴BO=4,OG=2,BG=6.
易得∠ABC=45°,
∴△BCF是等腰直角三角形,
∴BF=BC=2.
由轴对称的性质,可得DF=DC,EC=EG,
如答图,当点F,D,E,G在同一条直线上时,△CDE的周长为CD+DE+CE=DF+DE+EG=FG,此时△DEC的周长最小.
在Rt△BFG中,$FG=\sqrt{BF^2+BG^2}=\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10}$,
∴△CDE周长的最小值是$2\sqrt{10}$.
2.如图,在平面直角坐标系中,点A(6,0),点P(0,m),将线段PA绕点P逆时针旋转90°,得到线段PB,连接AB,OB,则OB+AB的最小值为
$6\sqrt{5}$
.答案：
2.$6\sqrt{5}$ 点拨:如答图①,作BH⊥y轴于点H.
∵∠BHP=∠BPA=∠AOP=90°,
∴∠BPH+∠APO=90°,∠APO+∠PAO=90°,
∴∠BPH=∠PAO.又
∵PB=PA,
∴△PBH≌△APO(AAS),
∴PH=OA=6,BH=PO=m,
∴B(m,6+m).
∴$OB+AB=\sqrt{m^2+(m+6)^2}+\sqrt{(m-6)^2+(m+6)^2}$.
如答图②,欲求$OB+AB=\sqrt{m^2+(m+6)^2}+\sqrt{(m-6)^2+(m+6)^2}$的最小值,相当于在直线y=x上寻找一点Q(m,m),使得点Q到点M(0,-6),N(6,-6)的距离和最小,作点M关于直线y=x的对称点M'(-6,0),易知QM+QN=QM'+QN≥NM'.
∵$NM'=\sqrt{(6+6)^2+6^2}=6\sqrt{5}$,
∴QM+QN的最小值为$6\sqrt{5}$,
∴$OB+AB=\sqrt{m^2+(m+6)^2}+\sqrt{(m-6)^2+(m+6)^2}$的最小值为$6\sqrt{5}$.
2.$6\sqrt{5}$ 点拨:如答图①,作BH⊥y轴于点H.
∵∠BHP=∠BPA=∠AOP=90°,
∴∠BPH+∠APO=90°,∠APO+∠PAO=90°,
∴∠BPH=∠PAO.又
∵PB=PA,
∴△PBH≌△APO(AAS),
∴PH=OA=6,BH=PO=m,
∴B(m,6+m).
∴$OB+AB=\sqrt{m^2+(m+6)^2}+\sqrt{(m-6)^2+(m+6)^2}$.
如答图②,欲求$OB+AB=\sqrt{m^2+(m+6)^2}+\sqrt{(m-6)^2+(m+6)^2}$的最小值,相当于在直线y=x上寻找一点Q(m,m),使得点Q到点M(0,-6),N(6,-6)的距离和最小,作点M关于直线y=x的对称点M'(-6,0),易知QM+QN=QM'+QN≥NM'.
∵$NM'=\sqrt{(6+6)^2+6^2}=6\sqrt{5}$,
∴QM+QN的最小值为$6\sqrt{5}$,
∴$OB+AB=\sqrt{m^2+(m+6)^2}+\sqrt{(m-6)^2+(m+6)^2}$的最小值为$6\sqrt{5}$.
3.某动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道AB,长度为1 m的金属滑块在上面做往返滑动.如图,滑块首先沿AB从左向右匀速滑动,滑动速度为9 m/s,滑动开始前滑块左端与点A重合,当滑块右端到达点B时,滑块停顿2 s,然后再以小于9 m/s的速度匀速返回,直到滑块的左端与点A重合,滑动停止.设时间为$t$(s)时,滑块左端离点A的距离为$l_1$(m),右端离点B的距离为$l_2$(m),记$d=l_1-l_2$,d与t具有函数关系.已知滑块在从左向右滑动的过程中,当$t=4.5$和$t=5.5$时,与之对应的d的两个值互为相反数;滑块从点A出发到最后返回点A,整个过程总用时27 s(含停顿时间).请你根据所给条件解决下列问题:
(1)滑块从点A到点B的滑动过程中,d的值
(2)滑块从点B到点A的滑动过程中,求d与t之间的函数表达式;
(3)在整个往返过程中,若$d=18$,求$t$的值.
(1)滑块从点A到点B的滑动过程中,d的值
由负到正
;(填“由负到正”或“由正到负”)(2)滑块从点B到点A的滑动过程中,求d与t之间的函数表达式;
(3)在整个往返过程中,若$d=18$,求$t$的值.
答案：3.(1)由负到正
(2)解:设轨道AB的长为n m,当滑块从左向右滑动时,
∵$l_1+l_2+1=n$,
∴$l_2=n-l_1-1$,
∴$d=l_1-l_2=l_1-(n-l_1-1)=2l_1-n+1=2×9t-n+1=18t-n+1$,
∴d是t的一次函数.
∵当t=4.5和t=5.5时,与之对应的d的两个值互为相反数,
∴当t=5时,d=0,
∴18×5-n+1=0,解得n=91.
∴滑块从点A到点B所用的时间为(91-1)÷9=10(s).
∵整个过程总用时27 s(含停顿时间),当滑块右端到达点B时,滑块停顿2 s,
∴滑块从点B返回到点A所用的时间为27-10-2=15(s),
∴滑块返回的速度为(91-1)÷15=6(m/s),
∴当12≤t≤27时,$l_2=6(t-12)$,
∴$l_1=91-1-l_2=90-6(t-12)=162-6t$,
∴$l_1-l_2=162-6t-6(t-12)=-12t+234$,
∴d与t之间的函数表达式为$d=-12t+234(12≤t≤27)$.
(3)解:当d=18时,有两种情况:
由(2)可得,①当0≤t≤10时,18t-90=18,解得t=6;
②当12≤t≤27时,-12t+234=18,解得t=18.
综上所述,当t=6或t=18时,d=18.
(2)解:设轨道AB的长为n m,当滑块从左向右滑动时,
∵$l_1+l_2+1=n$,
∴$l_2=n-l_1-1$,
∴$d=l_1-l_2=l_1-(n-l_1-1)=2l_1-n+1=2×9t-n+1=18t-n+1$,
∴d是t的一次函数.
∵当t=4.5和t=5.5时,与之对应的d的两个值互为相反数,
∴当t=5时,d=0,
∴18×5-n+1=0,解得n=91.
∴滑块从点A到点B所用的时间为(91-1)÷9=10(s).
∵整个过程总用时27 s(含停顿时间),当滑块右端到达点B时,滑块停顿2 s,
∴滑块从点B返回到点A所用的时间为27-10-2=15(s),
∴滑块返回的速度为(91-1)÷15=6(m/s),
∴当12≤t≤27时,$l_2=6(t-12)$,
∴$l_1=91-1-l_2=90-6(t-12)=162-6t$,
∴$l_1-l_2=162-6t-6(t-12)=-12t+234$,
∴d与t之间的函数表达式为$d=-12t+234(12≤t≤27)$.
(3)解:当d=18时,有两种情况:
由(2)可得,①当0≤t≤10时,18t-90=18,解得t=6;
②当12≤t≤27时,-12t+234=18,解得t=18.
综上所述,当t=6或t=18时,d=18.