1.在$△ ABC$中，$∠ A,∠ B,∠ C$所对的边长分别是$a,b,c$，判断下列$△ ABC$是不是直角三角形.若是，请指出哪一个角是直角.
(1)$a=2,b=3,c=4$；
(2)$a=5,b=7,c=9$；
(3)$a=15,b=8,c=17$；
(4)$a=41,b=9,c=40$.
(1)$a=2,b=3,c=4$；
(2)$a=5,b=7,c=9$；
(3)$a=15,b=8,c=17$；
(4)$a=41,b=9,c=40$.
答案：(1)$\because a=2,b=3,c=4,\therefore a^2=4,b^2=9,c^2=16.$
$\because 4+9=13≠16,\therefore a^2+b^2≠ c^2,$
$\therefore△ ABC$不是直角三角形.
(2)$\because a=5,b=7,c=9,\therefore a^2=25,b^2=49,c^2=81.$
$\because 25+49=74≠81,\therefore a^2+b^2≠ c^2,$
$\therefore△ ABC$不是直角三角形.
(3)$\because a=15,b=8,c=17,\therefore a^2=225,b^2=64,c^2=289.$
$\because 225+64=289,\therefore a^2+b^2=c^2,$
$\therefore△ ABC$是直角三角形,$∠ C=90°$.
(4)$\because a=41,b=9,c=40,\therefore a^2=1681,b^2=81,c^2=1600.$
$\because 81+1600=1681,\therefore b^2+c^2=a^2,$
$\therefore△ ABC$是直角三角形,$∠ A=90°$.
$\because 4+9=13≠16,\therefore a^2+b^2≠ c^2,$
$\therefore△ ABC$不是直角三角形.
(2)$\because a=5,b=7,c=9,\therefore a^2=25,b^2=49,c^2=81.$
$\because 25+49=74≠81,\therefore a^2+b^2≠ c^2,$
$\therefore△ ABC$不是直角三角形.
(3)$\because a=15,b=8,c=17,\therefore a^2=225,b^2=64,c^2=289.$
$\because 225+64=289,\therefore a^2+b^2=c^2,$
$\therefore△ ABC$是直角三角形,$∠ C=90°$.
(4)$\because a=41,b=9,c=40,\therefore a^2=1681,b^2=81,c^2=1600.$
$\because 81+1600=1681,\therefore b^2+c^2=a^2,$
$\therefore△ ABC$是直角三角形,$∠ A=90°$.
2.一个三角形三边长的比为$3:4:5$，它的周长是60 cm.求这个三角形的面积.
答案：解:$\because$三角形三边长的比为$3:4:5$,
$\therefore$可设该三角形的三边长分别为$3x\ \mathrm{cm},4x\ \mathrm{cm},5x\ \mathrm{cm}.$
$\because$它的周长是60 cm,$\therefore 3x+4x+5x=60,$解得$x=5$,
$\therefore$该三角形的三边长分别为15 cm,20 cm,25 cm.
$\because 15^2+20^2=25^2,\therefore$该三角形为直角三角形,
这个三角形的面积为$\frac{1}{2}×15×20=150(\mathrm{cm}^2).$
$\therefore$可设该三角形的三边长分别为$3x\ \mathrm{cm},4x\ \mathrm{cm},5x\ \mathrm{cm}.$
$\because$它的周长是60 cm,$\therefore 3x+4x+5x=60,$解得$x=5$,
$\therefore$该三角形的三边长分别为15 cm,20 cm,25 cm.
$\because 15^2+20^2=25^2,\therefore$该三角形为直角三角形,
这个三角形的面积为$\frac{1}{2}×15×20=150(\mathrm{cm}^2).$
3. 如图,在四边形ABDC中,$∠A=90°$,$AB=9$,$AC=12$,$BD=8$,$CD=17$.
(1)连接BC,求BC的长;
(2)求四边形ABDC的面积.
(1)连接BC,求BC的长;
(2)求四边形ABDC的面积.
答案：(1)$\because$在$△ ABC$中,$∠ A=90°,AB=9,AC=12,$
$\therefore BC^2=AB^2+AC^2=9^2+12^2=225,\therefore BC=15.$
(2)$\because BC^2=15^2=225,BD^2=8^2=64,CD^2=17^2=289,$
$\therefore BC^2+BD^2=289=CD^2,\therefore△ BCD$是直角三角形,
$\therefore S_{\mathrm{四边形}ABDC}=S_{△ ABC}+S_{△ BCD}=\frac{1}{2}AB· AC+\frac{1}{2}BD· BC=$$\frac{1}{2}×9×12+\frac{1}{2}×8×15=114.$
$\therefore BC^2=AB^2+AC^2=9^2+12^2=225,\therefore BC=15.$
(2)$\because BC^2=15^2=225,BD^2=8^2=64,CD^2=17^2=289,$
$\therefore BC^2+BD^2=289=CD^2,\therefore△ BCD$是直角三角形,
$\therefore S_{\mathrm{四边形}ABDC}=S_{△ ABC}+S_{△ BCD}=\frac{1}{2}AB· AC+\frac{1}{2}BD· BC=$$\frac{1}{2}×9×12+\frac{1}{2}×8×15=114.$