典例① 如图①中有1个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②，再连接图②中间三角形各边的中点得到图③……按照这样的方法依次进行下去.
（1）图④中有多少个三角形？图ⓜ中有多少个三角形？
（2）图ⓝ中能否得到2 026个三角形？若能，求出n的值；若不能，请说明理由.
【思路点拨】（1）由题意，依次求出图中三角形的个数，发现规律即可解决问题；（2）结合（1）中发现的规律进行计算即可.
【答案】（1）由题图，得图①中三角形的个数为$1=1×4-3$；图②中三角形的个数为$5=2×4-3$；图③中三角形的个数为$9=3×4-3$……所以图ⓜ中三角形的个数为$4m-3$.当$m=4$时，$4m-3=4×4-3=13$.故图④中有13个三角形，图ⓜ中有$(4m-3)$个三角形.
（2）不能.理由如下：由$4n-3=2026$，得$n=507.25$，所以不能得到2 026个三角形.
名师大招▶考查了图形变化的规律，能根据所给图形得出三角形的个数依次增加4是解题的关键.
（1）图④中有多少个三角形？图ⓜ中有多少个三角形？
（2）图ⓝ中能否得到2 026个三角形？若能，求出n的值；若不能，请说明理由.
【思路点拨】（1）由题意，依次求出图中三角形的个数，发现规律即可解决问题；（2）结合（1）中发现的规律进行计算即可.
【答案】（1）由题图，得图①中三角形的个数为$1=1×4-3$；图②中三角形的个数为$5=2×4-3$；图③中三角形的个数为$9=3×4-3$……所以图ⓜ中三角形的个数为$4m-3$.当$m=4$时，$4m-3=4×4-3=13$.故图④中有13个三角形，图ⓜ中有$(4m-3)$个三角形.
（2）不能.理由如下：由$4n-3=2026$，得$n=507.25$，所以不能得到2 026个三角形.
名师大招▶考查了图形变化的规律，能根据所给图形得出三角形的个数依次增加4是解题的关键.
答案：解：
（1）由题图可得：
图①中三角形的个数为$1$，
图②中三角形的个数为$5$，
图③中三角形的个数为$9$，
观察可知，每进行一次操作，三角形的数量增加4个，
因此图④中三角形的个数为$9+4=13$。
由此推导规律，图$m$中三角形的个数为$1+4(m-1)=4m-3$。
（2）不能，理由如下：
令$4n-3=2026$，
解得$n=507.25$。
因为$n$是图形的序号，必须为正整数，$507.25$不是正整数，所以图$n$中不能得到2026个三角形。
（1）由题图可得：
图①中三角形的个数为$1$，
图②中三角形的个数为$5$，
图③中三角形的个数为$9$，
观察可知，每进行一次操作，三角形的数量增加4个，
因此图④中三角形的个数为$9+4=13$。
由此推导规律，图$m$中三角形的个数为$1+4(m-1)=4m-3$。
（2）不能，理由如下：
令$4n-3=2026$，
解得$n=507.25$。
因为$n$是图形的序号，必须为正整数，$507.25$不是正整数，所以图$n$中不能得到2026个三角形。
解析：
【分析】
（1）先统计图①、图②、图③的三角形数量，观察相邻图形的数量变化规律，发现每次操作后三角形数量增加4，先计算图④的三角形个数，再结合图形序号推导第m个图形的三角形个数的通用代数式；
（2）利用（1）得到的规律列关于n的一元一次方程，求解后结合图形序号n必须为正整数的隐含要求，判断是否能得到2026个三角形。
【解析】
（1）观察图形可得：
图①中三角形的个数为1，
图②中三角形的个数为5，
图③中三角形的个数为9，
可发现每进行一次连接中点的操作，三角形的数量比前一个图形多4个，
因此图④的三角形个数为：$9+4=13$；
进一步推导规律：第1个图三角形个数$1=4×1-3$，第2个图$5=4×2-3$，第3个图$9=4×3-3$，因此第m个图中三角形的个数为$4m-3$。
（2）不能，理由如下：
假设图ⓝ能得到2026个三角形，根据规律列方程：
$4n-3=2026$
解得$n=507.25$
由于图形的序号n必须为正整数，507.25不是正整数，不符合要求，因此图ⓝ中不能得到2026个三角形。
【答案】
（1）图④中有13个三角形，图ⓜ中有$\boldsymbol{(4m-3)}$个三角形；
（2）不能，因为解得$n=507.25$不是正整数，不符合图形序号的要求。
【知识点】
图形规律探究，一元一次方程应用，代数式表示规律
【点评】
本题是典型的图形规律探究题，解题核心是通过对比已知图形的数量变化找到固定增量，进而推导通用规律，解题时需注意实际问题中未知数的取值限制，本题中图形序号必须为正整数。
【难度系数】
0.7
（1）先统计图①、图②、图③的三角形数量，观察相邻图形的数量变化规律，发现每次操作后三角形数量增加4，先计算图④的三角形个数，再结合图形序号推导第m个图形的三角形个数的通用代数式；
（2）利用（1）得到的规律列关于n的一元一次方程，求解后结合图形序号n必须为正整数的隐含要求，判断是否能得到2026个三角形。
【解析】
（1）观察图形可得：
图①中三角形的个数为1，
图②中三角形的个数为5，
图③中三角形的个数为9，
可发现每进行一次连接中点的操作，三角形的数量比前一个图形多4个，
因此图④的三角形个数为：$9+4=13$；
进一步推导规律：第1个图三角形个数$1=4×1-3$，第2个图$5=4×2-3$，第3个图$9=4×3-3$，因此第m个图中三角形的个数为$4m-3$。
（2）不能，理由如下：
假设图ⓝ能得到2026个三角形，根据规律列方程：
$4n-3=2026$
解得$n=507.25$
由于图形的序号n必须为正整数，507.25不是正整数，不符合要求，因此图ⓝ中不能得到2026个三角形。
【答案】
（1）图④中有13个三角形，图ⓜ中有$\boldsymbol{(4m-3)}$个三角形；
（2）不能，因为解得$n=507.25$不是正整数，不符合图形序号的要求。
【知识点】
图形规律探究，一元一次方程应用，代数式表示规律
【点评】
本题是典型的图形规律探究题，解题核心是通过对比已知图形的数量变化找到固定增量，进而推导通用规律，解题时需注意实际问题中未知数的取值限制，本题中图形序号必须为正整数。
【难度系数】
0.7
1. 观察下列等式:① $3^2 -1×2=7$;② $4^2 -2×3=10$;③ $5^2 -3×4=13$;…
（1）写出第④个等式：______;
（2）根据上述等式的排列规律,直接写出第$n$个等式.(用含$n$的式子表示)
（1）写出第④个等式：______;
（2）根据上述等式的排列规律,直接写出第$n$个等式.(用含$n$的式子表示)
答案：（1）$6^2 -4×5=16$
（2）$(n+2)^2 -n(n+1)=3n+4$
（2）$(n+2)^2 -n(n+1)=3n+4$
解析：
【分析】
解决此类规律探究题，可将等式拆分为被减数、减数、结果三部分分别找规律：
1. 看被减数：是平方项，①底数为3=1+2，②底数为4=2+2，③底数为5=3+2，可得第n个等式的平方项底数为n+2；
2. 看减数：是两个连续正整数的乘积，①为1×2，②为2×3，③为3×4，可得第n个等式的减数为n(n+1)；
3. 看结果：①为7=3×1+4，②为10=3×2+4，③为13=3×3+4，可得第n个等式的结果为3n+4。
求第④个等式只需将n=4代入找到的规律即可，第n个等式整合三部分规律再验证即可。
【解析】
（1）观察前3个等式的规律：
第1个等式（n=1）：$(1+2)^2 -1×(1+1)=3^2-1×2=7$
第2个等式（n=2）：$(2+2)^2 -2×(2+1)=4^2-2×3=10$
第3个等式（n=3）：$(3+2)^2 -3×(3+1)=5^2-3×4=13$
则第4个等式对应n=4，代入得：
$(4+2)^2 -4×(4+1)=6^2-4×5=36-20=16$
即第④个等式为$6^2 -4×5=16$。
（2）根据上述规律，第n个等式的左边为平方项减两个连续整数的乘积，即$(n+2)^2 -n(n+1)$，对左边化简验证：
$\begin{aligned}(n+2)^2 -n(n+1)&=n^2+4n+4 - (n^2+n)\\&=n^2+4n+4 -n^2 -n\\&=3n+4\end{aligned}$
因此第n个等式为$(n+2)^2 -n(n+1)=3n+4$（n为正整数）。
【答案】
（1）$6^2 -4×5=16$
（2）$(n+2)^2 -n(n+1)=3n+4$
【知识点】
规律探究，整式化简，代数式表示
【点评】
本题属于规律探究类基础题，核心是引导学生学会拆分等式各部分独立找规律，再通过整式运算验证规律的合理性，能有效锻炼学生的观察归纳能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.8
解决此类规律探究题，可将等式拆分为被减数、减数、结果三部分分别找规律：
1. 看被减数：是平方项，①底数为3=1+2，②底数为4=2+2，③底数为5=3+2，可得第n个等式的平方项底数为n+2；
2. 看减数：是两个连续正整数的乘积，①为1×2，②为2×3，③为3×4，可得第n个等式的减数为n(n+1)；
3. 看结果：①为7=3×1+4，②为10=3×2+4，③为13=3×3+4，可得第n个等式的结果为3n+4。
求第④个等式只需将n=4代入找到的规律即可，第n个等式整合三部分规律再验证即可。
【解析】
（1）观察前3个等式的规律：
第1个等式（n=1）：$(1+2)^2 -1×(1+1)=3^2-1×2=7$
第2个等式（n=2）：$(2+2)^2 -2×(2+1)=4^2-2×3=10$
第3个等式（n=3）：$(3+2)^2 -3×(3+1)=5^2-3×4=13$
则第4个等式对应n=4，代入得：
$(4+2)^2 -4×(4+1)=6^2-4×5=36-20=16$
即第④个等式为$6^2 -4×5=16$。
（2）根据上述规律，第n个等式的左边为平方项减两个连续整数的乘积，即$(n+2)^2 -n(n+1)$，对左边化简验证：
$\begin{aligned}(n+2)^2 -n(n+1)&=n^2+4n+4 - (n^2+n)\\&=n^2+4n+4 -n^2 -n\\&=3n+4\end{aligned}$
因此第n个等式为$(n+2)^2 -n(n+1)=3n+4$（n为正整数）。
【答案】
（1）$6^2 -4×5=16$
（2）$(n+2)^2 -n(n+1)=3n+4$
【知识点】
规律探究，整式化简，代数式表示
【点评】
本题属于规律探究类基础题，核心是引导学生学会拆分等式各部分独立找规律，再通过整式运算验证规律的合理性，能有效锻炼学生的观察归纳能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.8
典例② 若$a$，$b$是正整数，且满足$\underbrace{3^a + 3^a + \dots + 3^a}_{9个3^a相加} = \underbrace{3^b × 3^b × \dots × 3^b}_{9个3^b相乘}$，则用含$b$的代数式表示$a$正确的是（）
A.$a=9b-2$
B.$a=\dfrac{9}{2}b$
C.$a=b^9 -2$
D.$a=\dfrac{9+b}{2}$
A.$a=9b-2$
B.$a=\dfrac{9}{2}b$
C.$a=b^9 -2$
D.$a=\dfrac{9+b}{2}$
答案：A
解析：
【分析】
解题时先分别化简等式左右两边的式子：首先左边是9个相同的$3^a$相加，根据乘法的意义可转化为乘法运算，再将系数9改写为$3^2$，利用同底数幂的乘法法则整理成底数为3的幂；右边是9个相同的$3^b$相乘，根据同底数幂的乘法法则（底数不变，指数相加）也整理成底数为3的幂。由于底数为3且相等的两个幂，其指数必然相等，据此建立关于a、b的等式，变形后即可得到a的表达式。
【解析】
第一步：化简等式左边
9个$3^a$相加，根据乘法的意义可得：
$\mathrm{左边}=9× 3^a$
又因为$9=3^2$，结合同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”，可得：
$\mathrm{左边}=3^2× 3^a=3^{a+2}$
第二步：化简等式右边
9个$3^b$相乘，根据同底数幂的乘法法则，指数为9个b相加，可得：
$\mathrm{右边}=3^{\underbrace{b+b+\dots+b}_{9个b}}=3^{9b}$
第三步：建立等式求解
因为左右两边相等，即$3^{a+2}=3^{9b}$，底数$3≠1$且大于0，所以指数相等：
$a+2=9b$
移项得：$a=9b-2$
因此选A选项。
【答案】
A
【知识点】
同底数幂的乘法；乘方的意义；等式变形
【点评】
本题核心考查幂的相关运算法则的应用，解题的关键是区分相同加数求和与相同因数求积的不同运算规则，将等式两侧统一为同底数幂的形式后利用指数相等建立关系，属于对基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题时先分别化简等式左右两边的式子：首先左边是9个相同的$3^a$相加，根据乘法的意义可转化为乘法运算，再将系数9改写为$3^2$，利用同底数幂的乘法法则整理成底数为3的幂；右边是9个相同的$3^b$相乘，根据同底数幂的乘法法则（底数不变，指数相加）也整理成底数为3的幂。由于底数为3且相等的两个幂，其指数必然相等，据此建立关于a、b的等式，变形后即可得到a的表达式。
【解析】
第一步：化简等式左边
9个$3^a$相加，根据乘法的意义可得：
$\mathrm{左边}=9× 3^a$
又因为$9=3^2$，结合同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”，可得：
$\mathrm{左边}=3^2× 3^a=3^{a+2}$
第二步：化简等式右边
9个$3^b$相乘，根据同底数幂的乘法法则，指数为9个b相加，可得：
$\mathrm{右边}=3^{\underbrace{b+b+\dots+b}_{9个b}}=3^{9b}$
第三步：建立等式求解
因为左右两边相等，即$3^{a+2}=3^{9b}$，底数$3≠1$且大于0，所以指数相等：
$a+2=9b$
移项得：$a=9b-2$
因此选A选项。
【答案】
A
【知识点】
同底数幂的乘法；乘方的意义；等式变形
【点评】
本题核心考查幂的相关运算法则的应用，解题的关键是区分相同加数求和与相同因数求积的不同运算规则，将等式两侧统一为同底数幂的形式后利用指数相等建立关系，属于对基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.7