典例⑨ 如图①，长方形纸片的一条边经过直角三角形纸片的直角顶点。若长方形纸片的一组对边与直角三角形纸片的两条直角边相交形成∠1，∠2，则∠2−∠1=。
【思路点拨】如图②，由平行线的性质，得∠2=∠3。因为∠1+∠4=90°，∠3+∠4=180°，所以∠3−∠1=90°，所以∠2−∠1=90°。
【答案】90°
名师大招▶利用平行线的性质进行角的加减运算时，若直接运算无法得出结果，则可以合理利用补角、余角等进行整体代入运算。
【思路点拨】如图②，由平行线的性质，得∠2=∠3。因为∠1+∠4=90°，∠3+∠4=180°，所以∠3−∠1=90°，所以∠2−∠1=90°。
【答案】90°
名师大招▶利用平行线的性质进行角的加减运算时，若直接运算无法得出结果，则可以合理利用补角、余角等进行整体代入运算。
答案：$\boldsymbol{90°}$
解析：
【分析】
解题时首先结合图形特征提取已知条件：长方形对边互相平行，直角三角形存在90°的直角。要求∠2与∠1的差，无法直接得到两角的数量关系，因此需要引入中间角进行等量代换：第一步利用平行线的性质将∠2转化为与之相等的∠3；第二步结合平角和直角的性质，分别得到∠3与∠4的和、∠1与∠4的和，通过消去公共角∠4，即可推导出∠2与∠1的差值。
【解析】
∵长方形的对边互相平行，
∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等），
∵∠3和∠4组成平角，
∴∠3+∠4=180°，即∠4=180°-∠3=180°-∠2，
又
∵直角三角形的直角为90°，
∴∠1+∠4=90°，
将∠4=180°-∠2代入上式得：
∠1+180°-∠2=90°，
移项整理可得：∠2-∠1=90°。
【答案】
90°
【知识点】
平行线的性质、平角的定义、直角的性质
【点评】
本题是基础几何运算题型，核心考查平行线性质与角的和差计算，解题关键是合理选择中间角搭建已知角和待求角的关联，通过等量代换完成计算，是平面图形初步认识章节的典型常考题。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合图形特征提取已知条件：长方形对边互相平行，直角三角形存在90°的直角。要求∠2与∠1的差，无法直接得到两角的数量关系，因此需要引入中间角进行等量代换：第一步利用平行线的性质将∠2转化为与之相等的∠3；第二步结合平角和直角的性质，分别得到∠3与∠4的和、∠1与∠4的和，通过消去公共角∠4，即可推导出∠2与∠1的差值。
【解析】
∵长方形的对边互相平行，
∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等），
∵∠3和∠4组成平角，
∴∠3+∠4=180°，即∠4=180°-∠3=180°-∠2，
又
∵直角三角形的直角为90°，
∴∠1+∠4=90°，
将∠4=180°-∠2代入上式得：
∠1+180°-∠2=90°，
移项整理可得：∠2-∠1=90°。
【答案】
90°
【知识点】
平行线的性质、平角的定义、直角的性质
【点评】
本题是基础几何运算题型，核心考查平行线性质与角的和差计算，解题关键是合理选择中间角搭建已知角和待求角的关联，通过等量代换完成计算，是平面图形初步认识章节的典型常考题。
【难度系数】
0.7
9. 小明研究两条平行线间的拐点问题在生活中的应用. 书桌上有一款长臂折叠LED护眼灯,其示意图如图所示,EF与桌面MN垂直. 当发光的灯管AB恰好与桌面MN平行时,若∠DEF=126°,∠BCD=104°,则∠CDE的度数为
$112°$
.答案：9. $112°$ 解析: 分别延长 CD,DE,交 MN 于 G,H 两点. 因为 AB//MN,所以 $∠BCD+∠DGF=180°$. 因为 $∠BCD=104°$,所以 $∠DGF=76°$. 因为 $∠DEF=126°$,$∠DEF+∠FEH=180°$,$∠FEH+∠EFH+∠EHF=180°$,所以 $∠DEF=∠EFH+∠EHF$. 因为 EF⊥MN,所以 $∠EFH=90°$,所以 $∠EHF=∠DEF−∠EFH=36°$. 同理,得 $∠CDE=∠EHF+∠DGF=112°$.
解析：
【分析】
这是典型的平行线间拐点问题，解题核心是通过构造辅助线建立已知角和未知角的联系。遇到两条平行线之间存在多个拐点时，我们可以通过延长线段与平行线相交，利用平行线的性质、垂直的性质以及角的和差关系逐步推导所求角的度数。
【解析】
解：分别延长CD，DE，交MN于G，H两点。
∵AB//MN，
∴∠BCD + ∠DGF = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠BCD=104°，
∴∠DGF=180°-104°=76°。
∵∠DEF=126°，∠DEF + ∠FEH=180°（平角的定义），
在△EFH中，∠FEH + ∠EFH + ∠EHF=180°（三角形内角和为180°），
∴∠DEF=∠EFH + ∠EHF。
又
∵EF⊥MN，
∴∠EFH=90°（垂直的定义），
∴∠EHF=∠DEF - ∠EFH=126°-90°=36°。
∴∠CDE=∠EHF + ∠DGF=36°+76°=112°。
【答案】
$112°$
【知识点】
平行线的性质，垂直的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是平行线性质在实际生活中的应用，重点考查平行线间拐点问题的处理方法，通过构造延长线作为辅助线，可快速将分散的角关联起来，熟练掌握平行线、垂直的相关性质，以及辅助线的构造技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.6
这是典型的平行线间拐点问题，解题核心是通过构造辅助线建立已知角和未知角的联系。遇到两条平行线之间存在多个拐点时，我们可以通过延长线段与平行线相交，利用平行线的性质、垂直的性质以及角的和差关系逐步推导所求角的度数。
【解析】
解：分别延长CD，DE，交MN于G，H两点。
∵AB//MN，
∴∠BCD + ∠DGF = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠BCD=104°，
∴∠DGF=180°-104°=76°。
∵∠DEF=126°，∠DEF + ∠FEH=180°（平角的定义），
在△EFH中，∠FEH + ∠EFH + ∠EHF=180°（三角形内角和为180°），
∴∠DEF=∠EFH + ∠EHF。
又
∵EF⊥MN，
∴∠EFH=90°（垂直的定义），
∴∠EHF=∠DEF - ∠EFH=126°-90°=36°。
∴∠CDE=∠EHF + ∠DGF=36°+76°=112°。
【答案】
$112°$
【知识点】
平行线的性质，垂直的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是平行线性质在实际生活中的应用，重点考查平行线间拐点问题的处理方法，通过构造延长线作为辅助线，可快速将分散的角关联起来，熟练掌握平行线、垂直的相关性质，以及辅助线的构造技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.6
典例⑩ 如图，图中有个多边形，它们分别是.
答案：3；三角形ABE、四边形BCDE、五边形ABCDE
解析：
【分析】
解题时先回忆多边形的定义：平面内由线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。计数时按照边数从少到多的顺序逐一查找，先找三角形，再找四边形，最后找五边形，这样可以避免漏数、重复计数。首先观察图形，先找由3条线段围成的多边形，再找4条线段围成的，最后找5条线段围成的，汇总即可得到结果。
【解析】
根据多边形的定义逐一识别：
1. 由线段AB、BE、EA首尾顺次相接组成封闭图形，为三角形ABE；
2. 由线段BC、CD、DE、EB首尾顺次相接组成封闭图形，为四边形BCDE；
3. 由线段AB、BC、CD、DE、EA首尾顺次相接组成封闭图形，为五边形ABCDE。
综上，共有3个多边形。
【答案】
3；三角形ABE、四边形BCDE、五边形ABCDE
【知识点】
1. 多边形的定义
2. 多边形的计数
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心考查对多边形定义的理解和图形识别能力，计数时按边数从小到大的顺序梳理，能有效降低出错概率。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆多边形的定义：平面内由线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。计数时按照边数从少到多的顺序逐一查找，先找三角形，再找四边形，最后找五边形，这样可以避免漏数、重复计数。首先观察图形，先找由3条线段围成的多边形，再找4条线段围成的，最后找5条线段围成的，汇总即可得到结果。
【解析】
根据多边形的定义逐一识别：
1. 由线段AB、BE、EA首尾顺次相接组成封闭图形，为三角形ABE；
2. 由线段BC、CD、DE、EB首尾顺次相接组成封闭图形，为四边形BCDE；
3. 由线段AB、BC、CD、DE、EA首尾顺次相接组成封闭图形，为五边形ABCDE。
综上，共有3个多边形。
【答案】
3；三角形ABE、四边形BCDE、五边形ABCDE
【知识点】
1. 多边形的定义
2. 多边形的计数
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心考查对多边形定义的理解和图形识别能力，计数时按边数从小到大的顺序梳理，能有效降低出错概率。
【难度系数】
0.9