5. 已知一次函数 $ y = kx + b $ 的图象经过点 $ (2, -1) $ 和 $ (-1, 5) $。
（1）求 $ k, b $ 的值；
（2）画出该一次函数的图象，并说明函数图象可由正比例函数 $ y = kx $ 的图象如何平移得到。
（1）求 $ k, b $ 的值；
（2）画出该一次函数的图象，并说明函数图象可由正比例函数 $ y = kx $ 的图象如何平移得到。
答案：解：
(1) 将点$(2, -1)$和$(-1, 5)$代入$y=kx+b$，得方程组：
$\begin{cases}2k + b = -1 \\-k + b = 5\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得$3k=-6$，解得$k=-2$。
把$k=-2$代入$-k + b=5$，得$2 + b=5$，解得$b=3$。
(2) 由(1)得该一次函数解析式为$y=-2x+3$。
取两点：当$x=0$时，$y=3$；当$y=0$时，$x=\frac{3}{2}$，在平面直角坐标系中描出点$(0,3)$和$(\frac{3}{2},0)$，过这两点画直线，即为该一次函数的图象。
该函数图象可由正比例函数$y=-2x$的图象向上平移3个单位长度得到。
(1) 将点$(2, -1)$和$(-1, 5)$代入$y=kx+b$，得方程组：
$\begin{cases}2k + b = -1 \\-k + b = 5\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得$3k=-6$，解得$k=-2$。
把$k=-2$代入$-k + b=5$，得$2 + b=5$，解得$b=3$。
(2) 由(1)得该一次函数解析式为$y=-2x+3$。
取两点：当$x=0$时，$y=3$；当$y=0$时，$x=\frac{3}{2}$，在平面直角坐标系中描出点$(0,3)$和$(\frac{3}{2},0)$，过这两点画直线，即为该一次函数的图象。
该函数图象可由正比例函数$y=-2x$的图象向上平移3个单位长度得到。
6. 一次函数$y=-2x+3$的图象与坐标轴围成的三角形的面积为。
答案：$\boldsymbol{\frac{9}{4}}$
解析：
解：
当$x=0$时，$y = -2×0 + 3 = 3$，
∴一次函数图象与$y$轴的交点坐标为$(0, 3)$。
当$y=0$时，$0 = -2x + 3$，解得$x = \frac{3}{2}$，
∴一次函数图象与$x$轴的交点坐标为$(\frac{3}{2}, 0)$。
∴围成的直角三角形的两条直角边长分别为$3$和$\frac{3}{2}$，
面积$S = \frac{1}{2} × 3 × \frac{3}{2} = \frac{9}{4}$。
最终
当$x=0$时，$y = -2×0 + 3 = 3$，
∴一次函数图象与$y$轴的交点坐标为$(0, 3)$。
当$y=0$时，$0 = -2x + 3$，解得$x = \frac{3}{2}$，
∴一次函数图象与$x$轴的交点坐标为$(\frac{3}{2}, 0)$。
∴围成的直角三角形的两条直角边长分别为$3$和$\frac{3}{2}$，
面积$S = \frac{1}{2} × 3 × \frac{3}{2} = \frac{9}{4}$。
最终
7. 小明认为,在一次函数$y=kx+b$中,$x$每增加1,$kx$增加了$k$,$b$没变,因此$y$也增加了$k$.在如图所示的一次函数图象中,$x$从1变成2时,函数值从3变为5,增加了2,因此该一次函数中$k$的值是2.小明确定$k$的这种方法有道理吗?说说你的认识.
已知一次函数的图象经过$(-1,1)$,$(0,-1)$两点,用两种不同的方法求这个一次函数的表达式.
已知一次函数的图象经过$(-1,1)$,$(0,-1)$两点,用两种不同的方法求这个一次函数的表达式.
答案：解：
小明的方法有道理。
对于一次函数$y=kx+b$，当自变量取值为$x$时，对应函数值为$y=kx+b$；当自变量取值为$x+1$时，对应函数值为$y'=k(x+1)+b=kx+k+b$。计算差值$y'-y=(kx+k+b)-(kx+b)=k$，因此$x$每增加1，$y$相应增加$k$，小明的推导是正确的。
方法一：常规待定系数法
设该一次函数的表达式为$y=kx+b$。
将点$(-1,1)$、$(0,-1)$分别代入表达式，得：
$\begin{cases}-k + b = 1 \\b = -1\end{cases}$
将$b=-1$代入$-k+b=1$，得$-k-1=1$，解得$k=-2$。
因此该一次函数的表达式为$y=-2x-1$。
方法二：利用小明的结论求解
已知两点$(-1,1)$和$(0,-1)$，自变量$x$从$-1$增加到$0$时，$x$增加了1，对应的函数值从$1$变为$-1$，函数值的增量为$-1-1=-2$，根据小明的结论可得$k=-2$。
又因为函数图象过点$(0,-1)$，即$x=0$时$y=-1$，所以一次函数的截距$b=-1$。
因此该一次函数的表达式为$y=-2x-1$。
小明的方法有道理。
对于一次函数$y=kx+b$，当自变量取值为$x$时，对应函数值为$y=kx+b$；当自变量取值为$x+1$时，对应函数值为$y'=k(x+1)+b=kx+k+b$。计算差值$y'-y=(kx+k+b)-(kx+b)=k$，因此$x$每增加1，$y$相应增加$k$，小明的推导是正确的。
方法一：常规待定系数法
设该一次函数的表达式为$y=kx+b$。
将点$(-1,1)$、$(0,-1)$分别代入表达式，得：
$\begin{cases}-k + b = 1 \\b = -1\end{cases}$
将$b=-1$代入$-k+b=1$，得$-k-1=1$，解得$k=-2$。
因此该一次函数的表达式为$y=-2x-1$。
方法二：利用小明的结论求解
已知两点$(-1,1)$和$(0,-1)$，自变量$x$从$-1$增加到$0$时，$x$增加了1，对应的函数值从$1$变为$-1$，函数值的增量为$-1-1=-2$，根据小明的结论可得$k=-2$。
又因为函数图象过点$(0,-1)$，即$x=0$时$y=-1$，所以一次函数的截距$b=-1$。
因此该一次函数的表达式为$y=-2x-1$。