例1 已知关于x的一次函数$y=(2k-1)x+(2k+1)$。
（1）当k满足什么条件时，函数值y随x的增大而增大？
（2）当k取何值时，$y=(2k-1)x+(2k+1)$的图象经过原点？
（3）当k满足什么条件时，函数$y=(2k-1)x+(2k+1)$的图象与y轴的交点在x轴的上方？
（1）当k满足什么条件时，函数值y随x的增大而增大？
（2）当k取何值时，$y=(2k-1)x+(2k+1)$的图象经过原点？
（3）当k满足什么条件时，函数$y=(2k-1)x+(2k+1)$的图象与y轴的交点在x轴的上方？
答案：解：
(1) 一次函数的函数值y随x的增大而增大时，一次项系数大于0，
即 $2k - 1 ＞ 0$，
解得 $k ＞ \frac{1}{2}$。
(2) 将原点坐标$(0,0)$代入函数解析式，得：
$0 = 2k + 1$，
解得 $k = -\frac{1}{2}$，
此时一次项系数$2k-1=-2≠0$，符合一次函数定义。
(3) 函数图象与y轴的交点在x轴上方，需满足常数项大于0，且一次项系数不为0，
可得不等式组：
$\begin{cases}2k + 1 ＞ 0 \\2k - 1 ≠ 0\end{cases}$
解得 $k ＞ -\frac{1}{2}$ 且 $k ≠ \frac{1}{2}$。
(1) 一次函数的函数值y随x的增大而增大时，一次项系数大于0，
即 $2k - 1 ＞ 0$，
解得 $k ＞ \frac{1}{2}$。
(2) 将原点坐标$(0,0)$代入函数解析式，得：
$0 = 2k + 1$，
解得 $k = -\frac{1}{2}$，
此时一次项系数$2k-1=-2≠0$，符合一次函数定义。
(3) 函数图象与y轴的交点在x轴上方，需满足常数项大于0，且一次项系数不为0，
可得不等式组：
$\begin{cases}2k + 1 ＞ 0 \\2k - 1 ≠ 0\end{cases}$
解得 $k ＞ -\frac{1}{2}$ 且 $k ≠ \frac{1}{2}$。
例2 从甲地到乙地，先是一段平路，然后是一段上坡路.小明骑车从甲地出发，到达乙地后立即原路返回甲地，途中休息了一段时间.假设小明骑车在平路、上坡、下坡时分别保持匀速前进，已知上坡的速度比在平路上的速度每小时少5 km，下坡的速度比在平路上的速度每小时多5 km.设小明出发x h后，到达离甲地y km的地方，图5-5中的折线OABCDE表示y与x之间的函数关系.
（1）小明在平路上的骑车速度为km/h，他途中休息了h；
（2）求线段AB，BC相应的函数表达式；
（3）如果小明两次经过途中某一地点的时间间隔为0.15 h，那么该地点距离甲地多远？
（1）小明在平路上的骑车速度为km/h，他途中休息了h；
（2）求线段AB，BC相应的函数表达式；
（3）如果小明两次经过途中某一地点的时间间隔为0.15 h，那么该地点距离甲地多远？
答案：$\boldsymbol{15}$，$\boldsymbol{0.1}$。
(2) 设线段$AB$的函数表达式为$y=k_1x+b_1$，将$A(0.3,4.5)$、$B(0.5,6.5)$代入：
$\begin{cases}0.3k_1+b_1=4.5\\0.5k_1+b_1=6.5\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_1=10\\b_1=1.5\end{cases}$，
故线段$AB$的函数表达式为 $\boldsymbol{y=10x+1.5\ (0.3≤ x≤ 0.5)}$。
设线段$BC$的函数表达式为$y=k_2x+b_2$，将$B(0.5,6.5)$、$C(0.6,4.5)$代入：
$\begin{cases}0.5k_2+b_2=6.5\\0.6k_2+b_2=4.5\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_2=-20\\b_2=16.5\end{cases}$，
故线段$BC$的函数表达式为 $\boldsymbol{y=-20x+16.5\ (0.5≤ x≤ 0.6)}$。
(3) 由题意可知，该地点位于上坡路段（$y＞4.5$），设第一次经过该地点的时间为$t\ \mathrm{h}$，则第二次经过该地点的时间为$(t+0.15)\ \mathrm{h}$。
代入两段函数表达式得：
$10t+1.5=-20(t+0.15)+16.5$
解得$t=0.4$，
则$y=10×0.4+1.5=5.5$。
答：该地点距离甲地$5.5\ \mathrm{km}$。
(2) 设线段$AB$的函数表达式为$y=k_1x+b_1$，将$A(0.3,4.5)$、$B(0.5,6.5)$代入：
$\begin{cases}0.3k_1+b_1=4.5\\0.5k_1+b_1=6.5\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_1=10\\b_1=1.5\end{cases}$，
故线段$AB$的函数表达式为 $\boldsymbol{y=10x+1.5\ (0.3≤ x≤ 0.5)}$。
设线段$BC$的函数表达式为$y=k_2x+b_2$，将$B(0.5,6.5)$、$C(0.6,4.5)$代入：
$\begin{cases}0.5k_2+b_2=6.5\\0.6k_2+b_2=4.5\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_2=-20\\b_2=16.5\end{cases}$，
故线段$BC$的函数表达式为 $\boldsymbol{y=-20x+16.5\ (0.5≤ x≤ 0.6)}$。
(3) 由题意可知，该地点位于上坡路段（$y＞4.5$），设第一次经过该地点的时间为$t\ \mathrm{h}$，则第二次经过该地点的时间为$(t+0.15)\ \mathrm{h}$。
代入两段函数表达式得：
$10t+1.5=-20(t+0.15)+16.5$
解得$t=0.4$，
则$y=10×0.4+1.5=5.5$。
答：该地点距离甲地$5.5\ \mathrm{km}$。
解析：
解：
(1) 小明在平路上的速度为 $\frac{4.5}{0.3}=15\ \mathrm{km/h}$，
上坡速度为 $15-5=10\ \mathrm{km/h}$，下坡速度为 $15+5=20\ \mathrm{km/h}$。
上坡路程为 $6.5-4.5=2\ \mathrm{km}$，上坡用时 $\frac{2}{10}=0.2\ \mathrm{h}$，故点$B$坐标为$(0.5,6.5)$。
下坡用时 $\frac{2}{20}=0.1\ \mathrm{h}$，故点$C$坐标为$(0.6,4.5)$。
返回时平路用时 $\frac{4.5}{15}=0.3\ \mathrm{h}$，故点$D$坐标为$(1-0.3,4.5)=(0.7,4.5)$。
途中休息时间为 $0.7-0.6=0.1\ \mathrm{h}$。
(1) 小明在平路上的速度为 $\frac{4.5}{0.3}=15\ \mathrm{km/h}$，
上坡速度为 $15-5=10\ \mathrm{km/h}$，下坡速度为 $15+5=20\ \mathrm{km/h}$。
上坡路程为 $6.5-4.5=2\ \mathrm{km}$，上坡用时 $\frac{2}{10}=0.2\ \mathrm{h}$，故点$B$坐标为$(0.5,6.5)$。
下坡用时 $\frac{2}{20}=0.1\ \mathrm{h}$，故点$C$坐标为$(0.6,4.5)$。
返回时平路用时 $\frac{4.5}{15}=0.3\ \mathrm{h}$，故点$D$坐标为$(1-0.3,4.5)=(0.7,4.5)$。
途中休息时间为 $0.7-0.6=0.1\ \mathrm{h}$。
（1）在函数 $y=\frac{2}{x-1}$ 中，自变量 $x$ 的取值范围是 ；
$y_1=k_1x$
$y_2=k_2x+1000$
4000
3000
2000
$y_1=k_1x$
$y_2=k_2x+1000$
4000
3000
2000
答案：解：要使分式$\frac{2}{x-1}$有意义，需满足分母不为0，即
$x-1≠0$
解得$x≠1$
故自变量$x$的取值范围是$x≠1$。
$x-1≠0$
解得$x≠1$
故自变量$x$的取值范围是$x≠1$。
(2) 一次函数 $ y_1 = k_1x $ 和 $ y_2 = k_2x + 1000 $ 的图象如图所示，当 $ x $ 时，$ y_1 ＞ y_2 $；
答案：$\boldsymbol{＞1000}$
解析：
解：
令$y_1=y_2$，得：
$k_1x = k_2x + 1000$
移项整理得：
$(k_1 - k_2)x = 1000$
由图象可知$y_1$的图象斜率更大，即$k_1＞k_2$，$k_1-k_2＞0$，结合图象两函数交点的横坐标为1000，可得当$x＞1000$时，$y_1＞y_2$。
令$y_1=y_2$，得：
$k_1x = k_2x + 1000$
移项整理得：
$(k_1 - k_2)x = 1000$
由图象可知$y_1$的图象斜率更大，即$k_1＞k_2$，$k_1-k_2＞0$，结合图象两函数交点的横坐标为1000，可得当$x＞1000$时，$y_1＞y_2$。
(3) 将函数$y=2x+3$的图象平移，使它经过点$(2,-1)$，平移后图象对应的函数表达式是________；[第1(2)题]
(4) 在函数$y=x+4$中，若自变量$x$的取值范围是$-3＜x＜-1$，则函数值$y$的取值范围为________；
(5) 如图，一扇长方形推拉窗的高为$1.5\ \mathrm{m}$，活动窗户的通风面积$S\ \mathrm{m}^2$关于拉开长度$a\ \mathrm{m}$的函数表达式是________；
[第1(5)题]
(6) 祖孙两人进行爬山比赛，孙子让爷爷先行，然后追赶爷爷，图中两条线段分别表示祖孙两人离开山脚的距离$y\ \mathrm{m}$与比赛时间$t\ \mathrm{min}$之间的关系，孙子让爷爷先行了$\_\_\_\_\_\_\mathrm{m}$，两个人的速度分别为________，山脚距山顶$\_\_\_\_\_\_\mathrm{m}$；
[第1(6)题]
(4) 在函数$y=x+4$中，若自变量$x$的取值范围是$-3＜x＜-1$，则函数值$y$的取值范围为________；
(5) 如图，一扇长方形推拉窗的高为$1.5\ \mathrm{m}$，活动窗户的通风面积$S\ \mathrm{m}^2$关于拉开长度$a\ \mathrm{m}$的函数表达式是________；
[第1(5)题](6) 祖孙两人进行爬山比赛，孙子让爷爷先行，然后追赶爷爷，图中两条线段分别表示祖孙两人离开山脚的距离$y\ \mathrm{m}$与比赛时间$t\ \mathrm{min}$之间的关系，孙子让爷爷先行了$\_\_\_\_\_\_\mathrm{m}$，两个人的速度分别为________，山脚距山顶$\_\_\_\_\_\_\mathrm{m}$；
[第1(6)题]答案：解：(3) 平移后一次函数的斜率不变，设平移后函数表达式为$y=2x+b$，
将点$(2,-1)$代入得：$-1=2×2 + b$，
解得$b=-5$，
所以平移后图象对应的函数表达式是$\boldsymbol{y=2x-5}$。
(4) 函数$y=x+4$中$y$随$x$的增大而增大，
当$x=-3$时，$y=-3+4=1$；当$x=-1$时，$y=-1+4=3$，
结合$-3＜x＜-1$，可得函数值$y$的取值范围为$\boldsymbol{1＜y＜3}$。
(5) 由长方形面积公式，通风面积$S$等于拉开长度$a$乘以窗户高度$1.5\ \mathrm{m}$，
所以函数表达式是$\boldsymbol{S=1.5a}$。
(6) 由图可知，$t=0$时爷爷距离山脚$60\ \mathrm{m}$，即孙子让爷爷先行了$\boldsymbol{60}\ \mathrm{m}$；
爷爷的速度为$\frac{120-60}{10}=6\ \mathrm{m/min}$，孙子的速度为$\frac{120}{8}=15\ \mathrm{m/min}$，即两人速度分别为$\boldsymbol{6\ \mathrm{m/min}、15\ \mathrm{m/min}}$；
两人最终到达的山顶距离山脚为$\boldsymbol{120}\ \mathrm{m}$。
将点$(2,-1)$代入得：$-1=2×2 + b$，
解得$b=-5$，
所以平移后图象对应的函数表达式是$\boldsymbol{y=2x-5}$。
(4) 函数$y=x+4$中$y$随$x$的增大而增大，
当$x=-3$时，$y=-3+4=1$；当$x=-1$时，$y=-1+4=3$，
结合$-3＜x＜-1$，可得函数值$y$的取值范围为$\boldsymbol{1＜y＜3}$。
(5) 由长方形面积公式，通风面积$S$等于拉开长度$a$乘以窗户高度$1.5\ \mathrm{m}$，
所以函数表达式是$\boldsymbol{S=1.5a}$。
(6) 由图可知，$t=0$时爷爷距离山脚$60\ \mathrm{m}$，即孙子让爷爷先行了$\boldsymbol{60}\ \mathrm{m}$；
爷爷的速度为$\frac{120-60}{10}=6\ \mathrm{m/min}$，孙子的速度为$\frac{120}{8}=15\ \mathrm{m/min}$，即两人速度分别为$\boldsymbol{6\ \mathrm{m/min}、15\ \mathrm{m/min}}$；
两人最终到达的山顶距离山脚为$\boldsymbol{120}\ \mathrm{m}$。