【分析】
要判断一个式子是不是完全平方式，首先要牢记完全平方式的结构特征：形如$a^2\pm2ab+b^2$的多项式就是完全平方式，可简记为“首平方，尾平方，首尾乘积的2倍在中央，符号可正可负”。解题时只需将每个选项对照该结构逐一验证即可。
【解析】
首先明确完全平方式的标准形式为$a^2\pm2ab+b^2$，逐一分析选项：
选项A：$x^2 - x + \frac{1}{4}$中，首项为$x^2=(x)^2$，尾项为$\frac{1}{4}=(\frac{1}{2})^2$，中间项$-x=-2× x×\frac{1}{2}$，完全符合$a^2-2ab+b^2$的结构，是完全平方式，可因式分解为$(x-\frac{1}{2})^2$。
选项B：$1+4x^2=(2x)^2+1^2$，缺少首尾乘积的2倍项$\pm4x$，不符合完全平方式结构。
选项C：$a^2+ab+b^2$中，中间项应为$\pm2ab$，该项仅为$ab$，不符合结构要求。
选项D：$x^2+2x-1$中，尾项为负数，无法写成某个整式的平方，不符合完全平方式的结构。
综上，只有选项A是完全平方式。
【答案】
A
【知识点】
1. 完全平方式的判定
2. 整式乘法公式
【点评】
本题主要考查对完全平方式结构特征的理解与应用，只要牢记完全平方式的结构口诀，逐一验证选项即可快速得出答案，属于基础类题型，需要熟练掌握，避免因忽略中间项系数或尾项符号出错。
【难度系数】
0.8

【分析】
要解决这道题，首先回忆配方法变形一元二次方程的思路：对于二次项系数为1的方程，第一步先把常数项移到等号右侧，第二步在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，就能把左侧凑成完全平方式，计算右侧结果即可得到变形后的方程。本题二次项系数已经是1，直接按上述步骤操作即可。
【解析】
第一步：对原方程移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 + 4x = -1$
第二步：配方，一次项系数为4，它的一半是2，平方为$2^2=4$，给方程左右两边同时加4：
$x^2 + 4x + 4 = -1 + 4$
第三步：左侧根据完全平方公式整理，右侧计算结果：
$(x+2)^2 = 3$
因此变形后的方程为$(x+2)^2=3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查配方法的基础操作，只要牢记配方法的步骤，注意配方时是加“一次项系数一半的平方”，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8

【分析】
本题考查用配方法变形一元二次方程，解题思路如下：首先回忆配方法的操作步骤：第一步将方程中的常数项移到等号右侧，只保留含未知数的项在左侧；第二步给等式左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，此时等号右侧的数值就是m的值。
【解析】
解：对原方程$x^2 -4x -2=0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧，得：$x^2 -4x = 2$
2. 一次项系数为$-4$，其一半的平方为$(\frac{-4}{2})^2=4$，给等式两边同时加4，得：
$x^2 -4x +4 = 2 + 4$
3. 左侧根据完全平方公式整理为$(x-2)^2$，右侧计算得6，即：
$(x-2)^2 = 6$
对照$(x-2)^2=m$的形式，可得$m=6$。
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题是一元二次方程配方变形的基础题型，重点考查配方法的基本操作步骤，熟练掌握配方的核心要领（凑完全平方式）是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8

【分析】
我们可以根据完全平方式的结构特征来解题。完全平方公式为$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，完全平方式包含三项：两项平方项，一项两倍乘积项。解题时先将已知式子和完全平方式的结构对应，先确定平方项对应的$a$，再根据中间项的系数求出$b$，最后常数项$m$就是$b^2$。
【解析】
解：完全平方公式的展开形式为$(x-b)^2=x^2-2bx+b^2$，
将题干中的$x^2-8x+m$和上述展开式对应可得：
中间项$-2bx=-8x$，解得$2b=8$，即$b=4$，
则常数项$m=b^2=4^2=16$。
【答案】
$\boldsymbol{16}$
【知识点】
完全平方公式；完全平方式的特征
【点评】
本题是基础题型，重点考查对完全平方公式结构的掌握，解题的核心是找准完全平方式中各项的对应关系，需注意完全平方式的常数项是平方项，恒为非负数，熟练掌握公式即可快速求解。
【难度系数】
0.9

【分析】
配方法解一元二次方程遵循固定步骤：①若二次项系数不为1，先将方程两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1；②移项，将常数项移到方程等号右侧，左侧只留含x的二次项和一次项；③配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧整理为完全平方式，右侧合并为常数；④对右侧常数开平方，将一元二次方程降次为两个一元一次方程；⑤分别求解两个一元一次方程，得到原方程的根。本题5个小题按上述步骤逐步计算即可。
【解析】
(1)
移项，得 $x^2 -14x = -21$，
配方，两边加$7^2$，得 $x^2 -14x +49 = -21 +49$，
即 $(x-7)^2 = 28$，
开方，得 $x-7 = \pm 2\sqrt{7}$，
解得 $x_1=7+2\sqrt{7}$，$x_2=7-2\sqrt{7}$。
(2)
二次项系数化为1，得 $x^2 -2x -\frac{7}{2}=0$，
移项，得 $x^2 -2x = \frac{7}{2}$，
配方，两边加$1^2$，得 $x^2 -2x +1 = \frac{7}{2} +1$，
即 $(x-1)^2 = \frac{9}{2}$，
开方，得 $x-1 = \pm \frac{3\sqrt{2}}{2}$，
解得 $x_1=1+\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$x_2=1-\frac{3\sqrt{2}}{2}$。
(3)
移项，得 $x^2 -2x =8$，
配方，两边加$1^2$，得 $x^2 -2x +1 =8+1$，
即 $(x-1)^2 =9$，
开方，得 $x-1=\pm3$，
解得 $x_1=4$，$x_2=-2$。
(4)
二次项系数化为1，得 $x^2 -\frac{1}{2}x -\frac{1}{2}=0$，
移项，得 $x^2 -\frac{1}{2}x =\frac{1}{2}$，
配方，两边加$(\frac{1}{4})^2$，得 $x^2 -\frac{1}{2}x +\frac{1}{16} =\frac{1}{2}+\frac{1}{16}$，
即 $(x-\frac{1}{4})^2 =\frac{9}{16}$，
开方，得 $x-\frac{1}{4}=\pm\frac{3}{4}$，
解得 $x_1=1$，$x_2=-\frac{1}{2}$。
(5)
二次项系数化为1，得 $x^2 -\frac{7}{2}x +\frac{3}{2}=0$，
移项，得 $x^2 -\frac{7}{2}x =-\frac{3}{2}$，
配方，两边加$(\frac{7}{4})^2$，得 $x^2 -\frac{7}{2}x +\frac{49}{16} =-\frac{3}{2}+\frac{49}{16}$，
即 $(x-\frac{7}{4})^2 =\frac{25}{16}$，
开方，得 $x-\frac{7}{4}=\pm\frac{5}{4}$，
解得 $x_1=3$，$x_2=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $x_1=7+2\sqrt{7}$，$x_2=7-2\sqrt{7}$；
(2) $x_1=1+\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$x_2=1-\frac{3\sqrt{2}}{2}$；
(3) $x_1=4$，$x_2=-2$；
(4) $x_1=1$，$x_2=-\frac{1}{2}$；
(5) $x_1=3$，$x_2=\frac{1}{2}$。
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、直接开平方法
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，覆盖了二次项系数为1和不为1的两类常见题型，能帮助同学们熟练掌握配方法的操作步骤，核心易错点是配方时忘记给等号右侧也加一次项系数一半的平方，以及二次项系数化1时漏除常数项，只要按步骤规范计算就能准确求解。
【难度系数】
0.8