14. 已知$△ ABC$的三边分别为$a$，$b$，$c$，且$a+b=3$，$ab=1$，$c=\sqrt{7}$.
（1）求$a^2+b^2$的值；
（2）试判断$△ ABC$的形状，并说明理由.
（1）求$a^2+b^2$的值；
（2）试判断$△ ABC$的形状，并说明理由.
答案：14. (1)
∵ a+b=3,ab=1,
∴ a²+b²=(a+b)²−2ab=9−2=7
(2) △ABC 是直角三角形,理由:
∵ a²+b²=7,c²=($\sqrt{7}$)²=7,
∴ a²+b²=c²,
∴ △ABC 是直角三角形
∵ a+b=3,ab=1,
∴ a²+b²=(a+b)²−2ab=9−2=7
(2) △ABC 是直角三角形,理由:
∵ a²+b²=7,c²=($\sqrt{7}$)²=7,
∴ a²+b²=c²,
∴ △ABC 是直角三角形
解析：
【分析】
（1）第一问未给出a、b的具体值，已知a+b的和与ab的积，求a²+b²可联想完全平方公式的变形关系：a²+b²=(a+b)²-2ab，采用整体代入的方法计算即可，无需单独求解a、b的数值。
（2）判断三角形形状可结合三边的平方关系分析，根据勾股定理的逆定理，若三角形两条短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。先计算c²的取值，再和第一问求得的a²+b²对比即可得出结论。
【解析】
（1）
∵ $a+b=3$，$ab=1$
∴ 根据完全平方公式变形可得：
$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=3^2-2×1=9-2=7$
（2）△ABC是直角三角形，理由如下：
∵ $c=\sqrt{7}$，
∴ $c^2=(\sqrt{7})^2=7$
由（1）可知$a^2+b^2=7$，因此$a^2+b^2=c^2$
根据勾股定理的逆定理，可得△ABC是直角三角形。
【答案】
（1）$a^2+b^2=7$；（2）△ABC是直角三角形。
【知识点】
完全平方公式，勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础题型，重点考查整体代入的代数求值思想和直角三角形的判定方法，解题时无需单独求出a、b的具体值，熟练掌握完全平方公式的变形和勾股逆定理的应用即可快速求解。
【难度系数】
0.8
（1）第一问未给出a、b的具体值，已知a+b的和与ab的积，求a²+b²可联想完全平方公式的变形关系：a²+b²=(a+b)²-2ab，采用整体代入的方法计算即可，无需单独求解a、b的数值。
（2）判断三角形形状可结合三边的平方关系分析，根据勾股定理的逆定理，若三角形两条短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。先计算c²的取值，再和第一问求得的a²+b²对比即可得出结论。
【解析】
（1）
∵ $a+b=3$，$ab=1$
∴ 根据完全平方公式变形可得：
$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=3^2-2×1=9-2=7$
（2）△ABC是直角三角形，理由如下：
∵ $c=\sqrt{7}$，
∴ $c^2=(\sqrt{7})^2=7$
由（1）可知$a^2+b^2=7$，因此$a^2+b^2=c^2$
根据勾股定理的逆定理，可得△ABC是直角三角形。
【答案】
（1）$a^2+b^2=7$；（2）△ABC是直角三角形。
【知识点】
完全平方公式，勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础题型，重点考查整体代入的代数求值思想和直角三角形的判定方法，解题时无需单独求出a、b的具体值，熟练掌握完全平方公式的变形和勾股逆定理的应用即可快速求解。
【难度系数】
0.8
15. 如图，在△EFG中，EF=15，FG=14，EG=13，求△EFG的面积. 
（第15题）
（第15题）答案：
15. 如图,过点E作EH⊥FG,垂足为H.在Rt△EFH 和Rt△EGH 中,由勾股定理,得EH²=EF²−FH²,EH²=EG²−GH²,
∴ EG²−GH²=EF²−FH².设 FH=x,则 GH=14−x.
∵ EF=15,FG=14,EG=13,
∴ 13²−(14−x)²=15²−x²,解得 x=9.
∴ EH=$\sqrt{15^2−9^2}$=12,
∴ $S_{△EFG}=\frac{1}{2}×FG · EH=\frac{1}{2}×14×12=84$,
∴ △EFG 的面积为 84
15. 如图,过点E作EH⊥FG,垂足为H.在Rt△EFH 和Rt△EGH 中,由勾股定理,得EH²=EF²−FH²,EH²=EG²−GH²,
∴ EG²−GH²=EF²−FH².设 FH=x,则 GH=14−x.
∵ EF=15,FG=14,EG=13,
∴ 13²−(14−x)²=15²−x²,解得 x=9.
∴ EH=$\sqrt{15^2−9^2}$=12,
∴ $S_{△EFG}=\frac{1}{2}×FG · EH=\frac{1}{2}×14×12=84$,
∴ △EFG 的面积为 84
解析：
【分析】
要求△EFG的面积，已知底FG的长度，只需要求出FG边上的高即可。我们可以过顶点E作FG的垂线，将原三角形分成两个直角三角形，两个直角三角形共享这条高，因此可以利用勾股定理分别表示出高的平方，建立方程求解底边被高分成的两段长度，再计算出高的长度，最后代入三角形面积公式即可求出结果。
【解析】
过点E作EH⊥FG，垂足为H。
在Rt△EFH 和Rt△EGH 中，由勾股定理，得：
$EH^2=EF^2−FH^2$，$EH^2=EG^2−GH^2$
∴ $EG^2−GH^2=EF^2−FH^2$
设 $FH=x$，则 $GH=14−x$。
∵ $EF=15$，$FG=14$，$EG=13$，
∴ $13^2−(14−x)^2=15^2−x^2$
展开计算得：$169-(196-28x+x^2)=225-x^2$
整理后解得 $x=9$。
∴ $EH=\sqrt{15^2−9^2}=12$，
∴ $S_{△EFG}=\frac{1}{2}×FG · EH=\frac{1}{2}×14×12=84$。
【答案】
△EFG 的面积为 84
【知识点】
勾股定理、三角形面积计算、方程法解几何问题
【点评】
本题是已知三角形三边求面积的典型题型，解题的关键是作高构造直角三角形，利用公共高的等量关系结合勾股定理列方程求解，这种将几何问题转化为方程问题的思路在几何计算中应用非常广泛，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
要求△EFG的面积，已知底FG的长度，只需要求出FG边上的高即可。我们可以过顶点E作FG的垂线，将原三角形分成两个直角三角形，两个直角三角形共享这条高，因此可以利用勾股定理分别表示出高的平方，建立方程求解底边被高分成的两段长度，再计算出高的长度，最后代入三角形面积公式即可求出结果。
【解析】
过点E作EH⊥FG，垂足为H。
在Rt△EFH 和Rt△EGH 中，由勾股定理，得：
$EH^2=EF^2−FH^2$，$EH^2=EG^2−GH^2$
∴ $EG^2−GH^2=EF^2−FH^2$
设 $FH=x$，则 $GH=14−x$。
∵ $EF=15$，$FG=14$，$EG=13$，
∴ $13^2−(14−x)^2=15^2−x^2$
展开计算得：$169-(196-28x+x^2)=225-x^2$
整理后解得 $x=9$。
∴ $EH=\sqrt{15^2−9^2}=12$，
∴ $S_{△EFG}=\frac{1}{2}×FG · EH=\frac{1}{2}×14×12=84$。
【答案】
△EFG 的面积为 84
【知识点】
勾股定理、三角形面积计算、方程法解几何问题
【点评】
本题是已知三角形三边求面积的典型题型，解题的关键是作高构造直角三角形，利用公共高的等量关系结合勾股定理列方程求解，这种将几何问题转化为方程问题的思路在几何计算中应用非常广泛，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
16. 如图，某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的竖直高度，通过测量，得到手和风筝的水平距离 BC 的长为 15 m，手到地面的距离为 1.7 m. 根据手中剩余线的长度计算出风筝线 AB 的长为 17 m.
（1）求风筝的高度 AD；
（2）如果想要风筝沿 DA 方向再上升 12 m，BC 的长度保持不变，则放风筝者应该再放出多少米的风筝线？
（1）求风筝的高度 AD；
（2）如果想要风筝沿 DA 方向再上升 12 m，BC 的长度保持不变，则放风筝者应该再放出多少米的风筝线？
答案：16. (1) 在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,BC=15,AB=17,由勾股定理,得 AC=$\sqrt{AB^2−BC^2}=\sqrt{17^2−15^2}=8$,则 AD=AC+CD=8+1.7=9.7(m)
(2) 风筝沿 DA 方向再上升 12 m 后,风筝的高度为 20 m,此时风筝线的长为$\sqrt{20^2+15^2}=25(m)$,25−17=8(m).他应该再放出 8 m 长的线
(2) 风筝沿 DA 方向再上升 12 m 后,风筝的高度为 20 m,此时风筝线的长为$\sqrt{20^2+15^2}=25(m)$,25−17=8(m).他应该再放出 8 m 长的线
解析：
【分析】
解题时首先将实际问题转化为直角三角形的数学模型：
(1) 要求风筝高度AD，AD可拆分为AC与CD两段之和，CD是手到地面的已知高度1.7m，仅需在Rt△ABC中利用勾股定理，结合已知的斜边AB和直角边BC的长度，求出另一条直角边AC的长度，即可计算得到AD。
(2) 风筝上升12m后，BC长度不变，竖直方向的直角边变为原AC长度加12m，再次利用勾股定理求出新的风筝线总长度，减去原线长即可得到需要再放出的线长。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$BC=15\ \mathrm{m}$，$AB=17\ \mathrm{m}$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{17^2-15^2}=\sqrt{289-225}=\sqrt{64}=8\ \mathrm{m}$
已知手到地面的高度$CD=1.7\ \mathrm{m}$，因此$AD=AC+CD=8+1.7=9.7\ \mathrm{m}$。
(2) 风筝沿$DA$方向再上升12m后，风筝到手的竖直高度为$8+12=20\ \mathrm{m}$，$BC$长度仍为15m，设此时风筝线长为$A'B$，在$\mathrm{Rt}△ A'BC$中：
$A'B=\sqrt{20^2+15^2}=\sqrt{400+225}=\sqrt{625}=25\ \mathrm{m}$
则需要再放出的线长为$25-17=8\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 风筝的高度$AD$为$9.7\ \mathrm{m}$；
(2) 放风筝者应该再放出$8\ \mathrm{m}$的风筝线。
【知识点】
勾股定理，实际问题建模，线段和差计算
【点评】
本题结合放风筝的生活场景考查勾股定理的实际应用，解题核心是准确将实际场景中的量对应到直角三角形的边，灵活运用勾股定理计算线段长度，题目贴合生活，能有效锻炼学生将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先将实际问题转化为直角三角形的数学模型：
(1) 要求风筝高度AD，AD可拆分为AC与CD两段之和，CD是手到地面的已知高度1.7m，仅需在Rt△ABC中利用勾股定理，结合已知的斜边AB和直角边BC的长度，求出另一条直角边AC的长度，即可计算得到AD。
(2) 风筝上升12m后，BC长度不变，竖直方向的直角边变为原AC长度加12m，再次利用勾股定理求出新的风筝线总长度，减去原线长即可得到需要再放出的线长。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$BC=15\ \mathrm{m}$，$AB=17\ \mathrm{m}$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{17^2-15^2}=\sqrt{289-225}=\sqrt{64}=8\ \mathrm{m}$
已知手到地面的高度$CD=1.7\ \mathrm{m}$，因此$AD=AC+CD=8+1.7=9.7\ \mathrm{m}$。
(2) 风筝沿$DA$方向再上升12m后，风筝到手的竖直高度为$8+12=20\ \mathrm{m}$，$BC$长度仍为15m，设此时风筝线长为$A'B$，在$\mathrm{Rt}△ A'BC$中：
$A'B=\sqrt{20^2+15^2}=\sqrt{400+225}=\sqrt{625}=25\ \mathrm{m}$
则需要再放出的线长为$25-17=8\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 风筝的高度$AD$为$9.7\ \mathrm{m}$；
(2) 放风筝者应该再放出$8\ \mathrm{m}$的风筝线。
【知识点】
勾股定理，实际问题建模，线段和差计算
【点评】
本题结合放风筝的生活场景考查勾股定理的实际应用，解题核心是准确将实际场景中的量对应到直角三角形的边，灵活运用勾股定理计算线段长度，题目贴合生活，能有效锻炼学生将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.8