19. 在平面直角坐标系中，对于点$ A(x, y) $，若点$ B $的坐标为$ (kx+y, x+ky) $（其中$ k $为常数且$ k≠0 $），则称点$ B $是点$ A $的“$ k $级关联点”。例如，点$ A(1, 4) $的“3级关联点”$ B $的坐标为$ (3×1+4, 1+3×4) $，即$ B(7, 13) $。
（1）点$ (1, 2) $的“2级关联点”的坐标为
（2）若点$ A(2, -1) $的“$ k $级关联点”坐标为$ (9, m) $，求$ k+m $的值；
（3）若点$ M(a-1, 2a) $的“$-4$级关联点”$ N $位于坐标轴上，求点$ N $的坐标。
（1）点$ (1, 2) $的“2级关联点”的坐标为
(4,5)
；（2）若点$ A(2, -1) $的“$ k $级关联点”坐标为$ (9, m) $，求$ k+m $的值；
（3）若点$ M(a-1, 2a) $的“$-4$级关联点”$ N $位于坐标轴上，求点$ N $的坐标。
答案：19.（1）(4,5) （2）2 （3）$N(\frac{30}{7},0)$或$N(0,-15)$
解析：
【分析】
本题属于新定义类问题，解题核心是准确理解“k级关联点”的坐标运算规则：已知点$A(x,y)$，则其k级关联点的横坐标为$kx+y$，纵坐标为$x+ky$。解题思路如下：（1）直接将对应x、y、k的值代入公式计算即可；（2）先根据关联点的横坐标列方程求出k的值，再代入纵坐标公式求出m，最后计算$k+m$；（3）先写出N点的坐标表达式，再分N在x轴（纵坐标为0）和y轴（横坐标为0）两种情况列方程求解a的值，进而得到N的坐标。
【解析】
（1）已知点坐标为$(1,2)$，$k=2$，代入关联点坐标公式：
横坐标：$2×1 + 2 = 4$，纵坐标：$1 + 2×2 = 5$，故坐标为$(4,5)$。
（2）点$A(2,-1)$的k级关联点横坐标为$2k + (-1) = 2k-1$，由题意得$2k-1=9$，解得$k=5$。
关联点纵坐标$m = 2 + k×(-1) = 2 - 5 = -3$，因此$k+m=5+(-3)=2$。
（3）先求点$M(a-1,2a)$的“$-4$级关联点”N的坐标：
横坐标：$-4(a-1) + 2a = -4a + 4 + 2a = -2a + 4$
纵坐标：$(a-1) + (-4)×2a = a - 1 - 8a = -7a -1$
分两种情况讨论：
①当N在x轴上时，纵坐标为0，即$-7a - 1 = 0$，解得$a=-\frac{1}{7}$。
代入横坐标得：$-2×(-\frac{1}{7}) +4 = \frac{2}{7} + \frac{28}{7} = \frac{30}{7}$，此时$N(\frac{30}{7},0)$。
②当N在y轴上时，横坐标为0，即$-2a +4 =0$，解得$a=2$。
代入纵坐标得：$-7×2 -1 = -15$，此时$N(0,-15)$。
综上，N的坐标为$(\frac{30}{7},0)$或$(0,-15)$。
【答案】
（1）$\boxed{(4,5)}$ （2）$\boxed{2}$ （3）$\boxed{(\frac{30}{7},0)}$或$\boxed{(0,-15)}$
【知识点】
新定义运算，平面直角坐标系点的坐标特征，解一元一次方程
【点评】
本题考查新定义下的坐标运算，解题关键是读懂题意，正确套用关联点的坐标公式，第三问需要注意坐标轴上的点包含x轴、y轴两种情况，要分类讨论避免漏解。
【难度系数】
0.7
本题属于新定义类问题，解题核心是准确理解“k级关联点”的坐标运算规则：已知点$A(x,y)$，则其k级关联点的横坐标为$kx+y$，纵坐标为$x+ky$。解题思路如下：（1）直接将对应x、y、k的值代入公式计算即可；（2）先根据关联点的横坐标列方程求出k的值，再代入纵坐标公式求出m，最后计算$k+m$；（3）先写出N点的坐标表达式，再分N在x轴（纵坐标为0）和y轴（横坐标为0）两种情况列方程求解a的值，进而得到N的坐标。
【解析】
（1）已知点坐标为$(1,2)$，$k=2$，代入关联点坐标公式：
横坐标：$2×1 + 2 = 4$，纵坐标：$1 + 2×2 = 5$，故坐标为$(4,5)$。
（2）点$A(2,-1)$的k级关联点横坐标为$2k + (-1) = 2k-1$，由题意得$2k-1=9$，解得$k=5$。
关联点纵坐标$m = 2 + k×(-1) = 2 - 5 = -3$，因此$k+m=5+(-3)=2$。
（3）先求点$M(a-1,2a)$的“$-4$级关联点”N的坐标：
横坐标：$-4(a-1) + 2a = -4a + 4 + 2a = -2a + 4$
纵坐标：$(a-1) + (-4)×2a = a - 1 - 8a = -7a -1$
分两种情况讨论：
①当N在x轴上时，纵坐标为0，即$-7a - 1 = 0$，解得$a=-\frac{1}{7}$。
代入横坐标得：$-2×(-\frac{1}{7}) +4 = \frac{2}{7} + \frac{28}{7} = \frac{30}{7}$，此时$N(\frac{30}{7},0)$。
②当N在y轴上时，横坐标为0，即$-2a +4 =0$，解得$a=2$。
代入纵坐标得：$-7×2 -1 = -15$，此时$N(0,-15)$。
综上，N的坐标为$(\frac{30}{7},0)$或$(0,-15)$。
【答案】
（1）$\boxed{(4,5)}$ （2）$\boxed{2}$ （3）$\boxed{(\frac{30}{7},0)}$或$\boxed{(0,-15)}$
【知识点】
新定义运算，平面直角坐标系点的坐标特征，解一元一次方程
【点评】
本题考查新定义下的坐标运算，解题关键是读懂题意，正确套用关联点的坐标公式，第三问需要注意坐标轴上的点包含x轴、y轴两种情况，要分类讨论避免漏解。
【难度系数】
0.7
20. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为$(a, 0)$，点D的坐标为$(6, 4)$，平移线段AD得到线段BC，其中，点B的坐标为$(0, b)$，且$a$，$b$满足$|a - 2| + \sqrt{b + 6} = 0$，延长BC交$x$轴于点E.
(1) 点A的坐标是
(2) 求点C和点E的坐标；
(3) 设P是$x$轴上的一个动点(不与A，E两点重合)，且$PA ＞ AE$，探究$∠ APC$与$∠ PCB$之间的数量关系.
(1) 点A的坐标是
(2,0)
，点B的坐标是(0,-6)
，$∠ DAE =$ 45
°；(2) 求点C和点E的坐标；
(3) 设P是$x$轴上的一个动点(不与A，E两点重合)，且$PA ＞ AE$，探究$∠ APC$与$∠ PCB$之间的数量关系.
答案：20.（1）(2,0),(0,-6),45 （2）提示:由平移的性质,可知点C的坐标为(4,-2),再证OE=OB,得点E的坐标为(6,0) （3）$∠PCB - ∠APC=45°$或$∠PCB - ∠APC=135°$
解析：
【分析】
(1) 利用绝对值和算术平方根的非负性：两个非负数的和为0，则两个非负数各自为0，可求出a、b的值，得到A、B的坐标；再通过点A、D的坐标计算水平、竖直方向的距离，判断三角形形状即可得到∠DAE的度数。
(2) 根据平移的性质，平移前后对应点的坐标变化规律一致，由点A到点B的坐标变化，推导点D平移后得到的点C的坐标；再用待定系数法求直线BC的解析式，令y=0即可求出x轴上点E的坐标。
(3) 动点P满足PA＞AE，需分两种情况讨论：P在E的右侧、P在A的左侧，结合平行线性质或三角形外角定理推导两个角的数量关系，避免漏解。
【解析】
(1)
∵$|a-2|≥0$，$\sqrt{b+6}≥0$，且$|a - 2| + \sqrt{b + 6} = 0$
∴$a-2=0$，$b+6=0$，解得$a=2$，$b=-6$
∴$A(2,0)$，$B(0,-6)$
过D作$DF⊥ x$轴于F，
∵$D(6,4)$，
∴$AF=6-2=4$，$DF=4-0=4$，$△ ADF$为等腰直角三角形
∴$∠ DAE=45°$
(2)
∵线段AD平移得到BC，A对应B，D对应C，A$(2,0)$平移到B$(0,-6)$的规律是横坐标减2，纵坐标减6
∴C的坐标为$(6-2,4-6)$，即$C(4,-2)$
设直线BC解析式为$y=kx+c$，代入B$(0,-6)$、C$(4,-2)$得：
$\begin{cases}c=-6\\4k-6=-2\end{cases}$，解得$k=1$，$c=-6$，即$y=x-6$
令$y=0$，得$x=6$，
∴$E(6,0)$
(3) 由$AE=6-2=4$，$PA＞4$，分两种情况：
①当P在E右侧时：
∵$AD// BC$，
∴$∠ PEC=∠ DAE=45°$
∵$∠ PCB$是$△ PCE$的外角，
∴$∠ PCB=∠ APC+∠ PEC$
即$∠ PCB-∠ APC=45°$
②当P在A左侧时：
$∠ PEC=180°-45°=135°$，同理$∠ PCB$是$△ PCE$的外角
∴$∠ PCB=∠ APC+∠ PEC$
即$∠ PCB-∠ APC=135°$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(2,0)}$，$\boldsymbol{(0,-6)}$，$\boldsymbol{45}$
(2) $\boldsymbol{C(4,-2)}$，$\boldsymbol{E(6,0)}$
(3) $\boldsymbol{∠ PCB - ∠ APC=45°}$或$\boldsymbol{∠ PCB - ∠ APC=135°}$
【知识点】
非负数的性质，平移的性质，三角形外角性质
【点评】
本题综合了代数计算与几何探究，既考查了基础的非负性、平移坐标变化规律，又需要用到分类讨论思想处理动点问题，解题时注意不要遗漏P在A左侧的情况。
【难度系数】
0.6
(1) 利用绝对值和算术平方根的非负性：两个非负数的和为0，则两个非负数各自为0，可求出a、b的值，得到A、B的坐标；再通过点A、D的坐标计算水平、竖直方向的距离，判断三角形形状即可得到∠DAE的度数。
(2) 根据平移的性质，平移前后对应点的坐标变化规律一致，由点A到点B的坐标变化，推导点D平移后得到的点C的坐标；再用待定系数法求直线BC的解析式，令y=0即可求出x轴上点E的坐标。
(3) 动点P满足PA＞AE，需分两种情况讨论：P在E的右侧、P在A的左侧，结合平行线性质或三角形外角定理推导两个角的数量关系，避免漏解。
【解析】
(1)
∵$|a-2|≥0$，$\sqrt{b+6}≥0$，且$|a - 2| + \sqrt{b + 6} = 0$
∴$a-2=0$，$b+6=0$，解得$a=2$，$b=-6$
∴$A(2,0)$，$B(0,-6)$
过D作$DF⊥ x$轴于F，
∵$D(6,4)$，
∴$AF=6-2=4$，$DF=4-0=4$，$△ ADF$为等腰直角三角形
∴$∠ DAE=45°$
(2)
∵线段AD平移得到BC，A对应B，D对应C，A$(2,0)$平移到B$(0,-6)$的规律是横坐标减2，纵坐标减6
∴C的坐标为$(6-2,4-6)$，即$C(4,-2)$
设直线BC解析式为$y=kx+c$，代入B$(0,-6)$、C$(4,-2)$得：
$\begin{cases}c=-6\\4k-6=-2\end{cases}$，解得$k=1$，$c=-6$，即$y=x-6$
令$y=0$，得$x=6$，
∴$E(6,0)$
(3) 由$AE=6-2=4$，$PA＞4$，分两种情况：
①当P在E右侧时：
∵$AD// BC$，
∴$∠ PEC=∠ DAE=45°$
∵$∠ PCB$是$△ PCE$的外角，
∴$∠ PCB=∠ APC+∠ PEC$
即$∠ PCB-∠ APC=45°$
②当P在A左侧时：
$∠ PEC=180°-45°=135°$，同理$∠ PCB$是$△ PCE$的外角
∴$∠ PCB=∠ APC+∠ PEC$
即$∠ PCB-∠ APC=135°$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(2,0)}$，$\boldsymbol{(0,-6)}$，$\boldsymbol{45}$
(2) $\boldsymbol{C(4,-2)}$，$\boldsymbol{E(6,0)}$
(3) $\boldsymbol{∠ PCB - ∠ APC=45°}$或$\boldsymbol{∠ PCB - ∠ APC=135°}$
【知识点】
非负数的性质，平移的性质，三角形外角性质
【点评】
本题综合了代数计算与几何探究，既考查了基础的非负性、平移坐标变化规律，又需要用到分类讨论思想处理动点问题，解题时注意不要遗漏P在A左侧的情况。
【难度系数】
0.6