【分析】
1. 对于（1），先根据点P平移前后的坐标变化，确定平移规则为向左平移4个单位、向上平移2个单位，先写出△ABC三个顶点的坐标，再按平移规则计算平移后各顶点的坐标，描点连线即可得到△A₁B₁C₁，直接得到A₁的坐标。
2. 对于（2），平移不改变图形的面积，可通过割补法计算△A₁B₁C₁的面积：用包围三角形的矩形面积减去周围三个直角三角形的面积即可。
3. 对于（3），属于最短路径问题，利用轴对称的性质，作其中一个点关于y轴的对称点，连接对称点与另一个点，连线和y轴的交点即为所求Q，依据两点之间线段最短，此时QB₁+QC₁的值最小。
4. 对于（4），设M的坐标为(0,m)，△MOC₁以OM为底，高为C₁到y轴的距离（即C₁横坐标的绝对值），根据三角形面积公式列方程求解即可，注意M可在y轴正半轴或负半轴，要考虑绝对值。
【解析】
首先确定△ABC各点坐标：A(4,3)，B(3,1)，C(1,2)。
（1）由平移规则：点(x,y)平移后为(x-4,y+2)，即向左平移4个单位，向上平移2个单位，因此：
A₁的坐标为(4-4, 3+2)=(0,5)，B₁(3-4,1+2)=(-1,3)，C₁(1-4,2+2)=(-3,4)，在坐标系中描出A₁、B₁、C₁三点，顺次连接即得到△A₁B₁C₁。
（2）用割补法计算△A₁B₁C₁的面积：
取包围△A₁B₁C₁的矩形，矩形横向长为$\left|-3-0\right|=3$，纵向高为$\left|5-3\right|=2$，矩形面积$=3×2=6$。
减去周围三个直角三角形的面积：
① 左上角三角形面积：$\frac{1}{2}×3×1=\frac{3}{2}$；
② 左下角三角形面积：$\frac{1}{2}×2×1=1$；
③ 右下角三角形面积：$\frac{1}{2}×1×2=1$；
因此△A₁B₁C₁的面积$=6-\frac{3}{2}-1-1=\frac{5}{2}$。
（3）作点B₁关于y轴的对称点B'(1,3)，连接B'C₁，线段B'C₁与y轴的交点即为所求的点Q（画图略）。
（4）设点M的坐标为(0,m)，C₁坐标为(-3,4)，则点C₁到y轴的距离为3，OM的长度为$\left|m\right|$。
由三角形面积公式得：$\frac{1}{2}×\left|m\right|×3=6$，
解得$\left|m\right|=4$，即m=4或m=-4，因此M的坐标为(0,4)或(0,-4)。
【答案】
（1）$\boldsymbol{(0,5)}$；（2）$\boldsymbol{\frac{5}{2}}$；（3）略；（4）$\boldsymbol{(0,4)}$或$\boldsymbol{(0,-4)}$
【知识点】
1. 坐标与平移变换
2. 格点三角形面积计算
3. 最短路径问题
【点评】
本题综合考查了平面直角坐标系中的平移变换、面积计算、最短路径构造等内容，既考查基础知识点的掌握，也考查了数形结合的应用能力，易错点为计算三角形面积时漏减部分面积、求M坐标时忽略y轴负半轴的情况。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1) 点B在x轴上，因此纵坐标固定为0，已知AB长度为3、点A坐标为(-1,0)，需分两种情况讨论：点B在点A左侧、点B在点A右侧，分别计算横坐标即可得到B的坐标。
(2) 求△ABC的面积时，AB边在x轴上，可将AB作为底，高为点C到x轴的垂直距离（即C点纵坐标的绝对值），代入三角形面积公式即可求解。
(3) 判断y轴上是否存在点P满足△ABP面积为10时，仍以AB为底，高为点P到x轴的距离（即P点纵坐标的绝对值），根据面积列方程求解纵坐标，结合P在y轴上横坐标为0的特点，即可得到P的坐标。
【解析】
(1)
∵点B在x轴上，
∴点B的纵坐标为0。
已知点A坐标为(-1,0)，AB=3，分两种情况讨论：
①当点B在点A右侧时，点B的横坐标为$-1+3=2$，此时$B(2,0)$；
②当点B在点A左侧时，点B的横坐标为$-1-3=-4$，此时$B(-4,0)$。
(2) △ABC中，底AB的长度为3，点C坐标为(1,4)，因此AB边上的高为点C到x轴的距离，即4。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×3×4=6$。
(3) 存在。设点P的坐标为$(0,y)$，△ABP中，底AB长度为3，AB边上的高为点P到x轴的距离，即$|y|$。
由题意得：$\frac{1}{2}×3×|y|=10$，
解得$|y|=\frac{20}{3}$，即$y=\frac{20}{3}$或$y=-\frac{20}{3}$，
因此点P的坐标为$(0,\frac{20}{3})$或$(0,-\frac{20}{3})$。
【答案】
(1) $(2,0)$或$(-4,0)$
(2) $6$
(3) $(0,\frac{20}{3})$或$(0,-\frac{20}{3})$
【知识点】
平面直角坐标系中点的坐标、三角形面积计算、分类讨论思想
【点评】
本题考查平面直角坐标系内线段长度、图形面积的计算，解题时要注意点的位置的多种可能性，避免漏解，用坐标表示线段长度和高是解决这类问题的常用思路。
【难度系数】
0.7

【分析】
（1）要使PA=PB，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可知点P在AB的垂直平分线上，因此先作AB的垂直平分线，它与CD的交点即为所求点P。求坐标时先根据A、B坐标确定AB垂直平分线的解析式，再求出CD所在直线的解析式，联立两个解析式即可得到P点坐标。
（2）要使△QAD和△QOB的面积相等，经计算可得AD=OB=10，根据三角形面积公式，底相等时只需对应高相等，即点Q到AD的距离等于点Q到x轴（OB）的距离，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边距离相等，因此作对应角的平分线，与BC的交点即为所求点Q。
【解析】
（1）求AB的垂直平分线：
已知A(-6,0)，B(10,0)，AB中点的横坐标为$\frac{-6+10}{2}=2$，纵坐标为0，即中点坐标为(2,0)。
因为AB在x轴上，所以AB的垂直平分线为垂直于x轴的直线$x=2$。
求CD所在直线的解析式：
设CD的解析式为$y=kx+b$，将D(0,8)代入得$b=8$；再将C(4,10)代入得$10=4k+8$，解得$k=\frac{1}{2}$，因此CD的解析式为$y=\frac{1}{2}x+8$。
联立$x=2$和$y=\frac{1}{2}x+8$，将x=2代入得$y=\frac{1}{2}×2+8=9$，即点P坐标为(2,9)。
（2）根据角平分线的性质作图，作图痕迹符合要求即可。
【答案】
（1）$\boldsymbol{(2,9)}$
（2）作图见
【知识点】
垂直平分线的性质；一次函数解析式求解；角平分线的性质
【点评】
本题将尺规作图与平面直角坐标系运算结合，既考查了线段垂直平分线、角平分线的几何性质应用，也考查了一次函数解析式求解、坐标计算的代数能力，需要学生灵活结合几何性质与代数运算解决问题。
【难度系数】
0.65