10. 如图，在x轴、y轴上分别截取OA，OB，使OA＝OB，再分别以点A，B为圆心，以大于AB一半的长为半径画弧，两弧交于点P.若点P的坐标为(a，2a－3)，则a的值为
3
.答案：10.3
解析：
【分析】
首先识别题目中的尺规作图是作∠AOB的角平分线，因此点P在x轴与y轴正半轴夹角的角平分线上，也就是第一象限的角平分线上。回忆第一象限角平分线上的点的坐标特征：横坐标与纵坐标相等，据此可列出关于a的方程，解方程即可求得a的值。
【解析】
由尺规作图的步骤可知，点P在∠AOB（x轴正半轴与y轴正半轴的夹角）的角平分线上，因此点P到x轴、y轴的距离相等。
又因为点P在第一象限，横坐标与纵坐标均为正数，所以点P的横坐标等于纵坐标，可得：
$\boldsymbol{a = 2a - 3}$
移项计算：$2a - a = 3$
解得：$a=3$
验证：当$a=3$时，$a=3＞0$，$2a-3=3＞0$，符合点P在第一象限的特征。
【答案】
3
【知识点】
1. 尺规作角平分线
2. 角平分线的性质
3. 象限角平分线的坐标特征
【点评】
本题是尺规作图与平面直角坐标系结合的基础题，解题核心是通过作图步骤判断点P的位置特征，再结合坐标性质列方程求解，考查对基础作图方法和坐标规律的掌握。
【难度系数】
0.7
首先识别题目中的尺规作图是作∠AOB的角平分线，因此点P在x轴与y轴正半轴夹角的角平分线上，也就是第一象限的角平分线上。回忆第一象限角平分线上的点的坐标特征：横坐标与纵坐标相等，据此可列出关于a的方程，解方程即可求得a的值。
【解析】
由尺规作图的步骤可知，点P在∠AOB（x轴正半轴与y轴正半轴的夹角）的角平分线上，因此点P到x轴、y轴的距离相等。
又因为点P在第一象限，横坐标与纵坐标均为正数，所以点P的横坐标等于纵坐标，可得：
$\boldsymbol{a = 2a - 3}$
移项计算：$2a - a = 3$
解得：$a=3$
验证：当$a=3$时，$a=3＞0$，$2a-3=3＞0$，符合点P在第一象限的特征。
【答案】
3
【知识点】
1. 尺规作角平分线
2. 角平分线的性质
3. 象限角平分线的坐标特征
【点评】
本题是尺规作图与平面直角坐标系结合的基础题，解题核心是通过作图步骤判断点P的位置特征，再结合坐标性质列方程求解，考查对基础作图方法和坐标规律的掌握。
【难度系数】
0.7
11. 在平面直角坐标系中，点$P(m-1,m+2)$在第二象限，且点$P$到$y$轴的距离是1，则点$P$的坐标为
(-1,2)
。答案：11.(-1,2)
解析：
【分析】
解题时首先回忆第二象限内点的坐标特征：横坐标小于0，纵坐标大于0；再明确点到y轴的距离等于该点横坐标的绝对值。结合题目给出的“点P到y轴的距离是1”这一条件，先列方程求出m的值，再代入计算点P的横、纵坐标即可。
【解析】
∵点$P(m-1,m+2)$在第二象限，
∴横坐标$m-1＜0$，纵坐标$m+2＞0$。
又
∵点P到y轴的距离是1，点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，
∴$|m-1|=1$。
结合$m-1＜0$，去绝对值得：$-(m-1)=1$，
解得$m=0$。
将$m=0$代入点P的坐标：
横坐标：$m-1=0-1=-1$，
纵坐标：$m+2=0+2=2$，
∴点P的坐标为$(-1,2)$。
【答案】
$(-1,2)$
【知识点】
1. 象限内点的坐标特征 2. 点到坐标轴的距离
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题型，核心是掌握各象限内点的横、纵坐标的符号规律，以及点到坐标轴的距离与坐标的对应关系，只要理清这两个知识点就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆第二象限内点的坐标特征：横坐标小于0，纵坐标大于0；再明确点到y轴的距离等于该点横坐标的绝对值。结合题目给出的“点P到y轴的距离是1”这一条件，先列方程求出m的值，再代入计算点P的横、纵坐标即可。
【解析】
∵点$P(m-1,m+2)$在第二象限，
∴横坐标$m-1＜0$，纵坐标$m+2＞0$。
又
∵点P到y轴的距离是1，点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，
∴$|m-1|=1$。
结合$m-1＜0$，去绝对值得：$-(m-1)=1$，
解得$m=0$。
将$m=0$代入点P的坐标：
横坐标：$m-1=0-1=-1$，
纵坐标：$m+2=0+2=2$，
∴点P的坐标为$(-1,2)$。
【答案】
$(-1,2)$
【知识点】
1. 象限内点的坐标特征 2. 点到坐标轴的距离
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题型，核心是掌握各象限内点的横、纵坐标的符号规律，以及点到坐标轴的距离与坐标的对应关系，只要理清这两个知识点就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
12. 如图，点A的坐标为(0，1)，点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转$90°$得到线段AC. 若点C的坐标为(m，4)，则点B的坐标为
(3,0)
.答案：12.(3,0)
解析：
【分析】
遇到平面直角坐标系中线段旋转90°的问题，可通过构造直角三角形证明全等求解。首先过点C作CH垂直y轴于点H，根据旋转性质可得AB=AC、∠BAC=90°，通过角的互余关系推导得到对应角相等，进而证明△AOB与△CHA全等，再利用全等三角形对应边相等求出OB的长度，即可得到点B的坐标。
【解析】
过点C作CH⊥y轴于点H，则∠CHA=∠AOB=90°。
已知点A坐标为(0,1)，点C坐标为(m,4)，则OA=1，AH=4-1=3。
∵线段AB绕点A逆时针旋转90°得到AC，
∴AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠OAB + ∠CAH=90°。
又
∵在Rt△AOB中，∠OAB + ∠OBA=90°，
∴∠CAH=∠OBA。
在△AOB和△CHA中：
$\{\begin{array}{l}∠AOB=∠CHA \\∠OBA=∠CAH \\AB=CA\end{array} $
∴△AOB≌△CHA（AAS），
∴OB=AH=3。
∵点B在x轴正半轴上，
∴点B的坐标为(3,0)。
【答案】
(3,0)
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；平面直角坐标系
【点评】
本题是坐标系与几何变换的综合题，构造辅助线得到全等三角形是解题的突破口，重点考查学生对旋转性质和三角形全等的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
遇到平面直角坐标系中线段旋转90°的问题，可通过构造直角三角形证明全等求解。首先过点C作CH垂直y轴于点H，根据旋转性质可得AB=AC、∠BAC=90°，通过角的互余关系推导得到对应角相等，进而证明△AOB与△CHA全等，再利用全等三角形对应边相等求出OB的长度，即可得到点B的坐标。
【解析】
过点C作CH⊥y轴于点H，则∠CHA=∠AOB=90°。
已知点A坐标为(0,1)，点C坐标为(m,4)，则OA=1，AH=4-1=3。
∵线段AB绕点A逆时针旋转90°得到AC，
∴AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠OAB + ∠CAH=90°。
又
∵在Rt△AOB中，∠OAB + ∠OBA=90°，
∴∠CAH=∠OBA。
在△AOB和△CHA中：
$\{\begin{array}{l}∠AOB=∠CHA \\∠OBA=∠CAH \\AB=CA\end{array} $
∴△AOB≌△CHA（AAS），
∴OB=AH=3。
∵点B在x轴正半轴上，
∴点B的坐标为(3,0)。
【答案】
(3,0)
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；平面直角坐标系
【点评】
本题是坐标系与几何变换的综合题，构造辅助线得到全等三角形是解题的突破口，重点考查学生对旋转性质和三角形全等的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
13. 在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点$(x,y)$，规定以下两种变化：
① $f(x,y)=(-x,y)$，② $g(x,y)=(x,x-y)$。
按照该规定：$f(g(-1,2))=$
① $f(x,y)=(-x,y)$，② $g(x,y)=(x,x-y)$。
按照该规定：$f(g(-1,2))=$
(1,-3)
。答案：13.(1,-3)
解析：
【分析】
本题是新定义下的坐标复合运算，解题时需遵循“先算内层括号，再算外层运算”的顺序：第一步先根据g的变换规则计算出g(-1,2)的坐标结果，第二步再将该结果代入f的变换规则中计算最终值，运算过程中要注意符号处理，避免出错。
【解析】
① 先计算内层运算g(-1,2)：
根据规则②$g(x,y)=(x,x-y)$，将$x=-1,y=2$代入，
横坐标为$x=-1$，纵坐标为$x-y=-1-2=-3$，
因此$g(-1,2)=(-1,-3)$。
② 再计算外层运算$f(g(-1,2))=f(-1,-3)$：
根据规则①$f(x,y)=(-x,y)$，将$x=-1,y=-3$代入，
横坐标为$-x=-(-1)=1$，纵坐标为$y=-3$，
因此$f(-1,-3)=(1,-3)$。
【答案】
$(1,-3)$
【知识点】
新定义运算，点的坐标变换
【点评】
本题考查新定义规则下的运算能力，难度较低，核心是准确理解给定的变换规则，严格按照运算顺序代入计算，注意符号运算的准确性即可得分。
【难度系数】
0.8
本题是新定义下的坐标复合运算，解题时需遵循“先算内层括号，再算外层运算”的顺序：第一步先根据g的变换规则计算出g(-1,2)的坐标结果，第二步再将该结果代入f的变换规则中计算最终值，运算过程中要注意符号处理，避免出错。
【解析】
① 先计算内层运算g(-1,2)：
根据规则②$g(x,y)=(x,x-y)$，将$x=-1,y=2$代入，
横坐标为$x=-1$，纵坐标为$x-y=-1-2=-3$，
因此$g(-1,2)=(-1,-3)$。
② 再计算外层运算$f(g(-1,2))=f(-1,-3)$：
根据规则①$f(x,y)=(-x,y)$，将$x=-1,y=-3$代入，
横坐标为$-x=-(-1)=1$，纵坐标为$y=-3$，
因此$f(-1,-3)=(1,-3)$。
【答案】
$(1,-3)$
【知识点】
新定义运算，点的坐标变换
【点评】
本题考查新定义规则下的运算能力，难度较低，核心是准确理解给定的变换规则，严格按照运算顺序代入计算，注意符号运算的准确性即可得分。
【难度系数】
0.8
14. 如图，在平面直角坐标系中，$\mathrm{Rt}△ ABC$的顶点$A$在$x$轴上，顶点$B$在$y$轴上，$∠ ACB=90°$，$OB// AC$，点$C$的坐标为$(1,2)$，点$D$和点$C$关于$AB$成轴对称，且$AD$交$y$轴于点$E$.点$E$的坐标为________.
答案：14.$(0,\frac{3}{4})$
解析：
【分析】
解题首先根据点C的坐标、OB平行AC和∠ACB=90°的特征，先确定A、B两点的坐标；再利用轴对称的性质得到△ABD和△ABC全等，结合勾股定理求出对称点D的坐标；最后求出直线AD的解析式，计算AD与y轴的交点即可得到E的坐标。
【解析】
1. 求A、B两点坐标
已知$C(1,2)$，$∠ ACB=90°$，$OB// AC$（OB在y轴上），可得AC垂直x轴、BC平行x轴。
因此A点横坐标与C相同，纵坐标为0，即$A(1,0)$；B点纵坐标与C相同，横坐标为0，即$B(0,2)$。
2. 求对称点D的坐标
因为D和C关于AB轴对称，所以$△ ABD≌△ ABC$，可得$AD=AC=2$，$BD=BC=1$，$∠ ADB=90°$。
设$D(x,y)$，根据勾股定理列方程：
$\begin{cases}(x-1)^2+y^2=2^2\\x^2+(y-2)^2=1^2\end{cases}$
化简消去$x^2+y^2$得$x=2y-3$，代入第二个方程解得$y=\frac{6}{5}$（$y=2$对应点C，舍去），计算得$x=-\frac{3}{5}$，即$D(-\frac{3}{5},\frac{6}{5})$。
3. 求直线AD解析式及E点坐标
设直线AD的解析式为$y=kx+b$，代入$A(1,0)$和$D(-\frac{3}{5},\frac{6}{5})$：
$\begin{cases}k+b=0\\-\frac{3}{5}k+b=\frac{6}{5}\end{cases}$
解得$k=-\frac{3}{4},b=\frac{3}{4}$，即AD解析式为$y=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}$。
当$x=0$时，$y=\frac{3}{4}$，即E点坐标为$(0,\frac{3}{4})$。
【答案】
$(0,\frac{3}{4})$
【知识点】
1. 平面直角坐标系坐标特征；2. 轴对称的性质；3. 一次函数的应用
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何结合的典型题型，需要将几何性质和函数知识结合运用，解题时要先明确已知点坐标，再逐步推导未知量，能够锻炼学生的综合解题能力。
【难度系数】
0.6
解题首先根据点C的坐标、OB平行AC和∠ACB=90°的特征，先确定A、B两点的坐标；再利用轴对称的性质得到△ABD和△ABC全等，结合勾股定理求出对称点D的坐标；最后求出直线AD的解析式，计算AD与y轴的交点即可得到E的坐标。
【解析】
1. 求A、B两点坐标
已知$C(1,2)$，$∠ ACB=90°$，$OB// AC$（OB在y轴上），可得AC垂直x轴、BC平行x轴。
因此A点横坐标与C相同，纵坐标为0，即$A(1,0)$；B点纵坐标与C相同，横坐标为0，即$B(0,2)$。
2. 求对称点D的坐标
因为D和C关于AB轴对称，所以$△ ABD≌△ ABC$，可得$AD=AC=2$，$BD=BC=1$，$∠ ADB=90°$。
设$D(x,y)$，根据勾股定理列方程：
$\begin{cases}(x-1)^2+y^2=2^2\\x^2+(y-2)^2=1^2\end{cases}$
化简消去$x^2+y^2$得$x=2y-3$，代入第二个方程解得$y=\frac{6}{5}$（$y=2$对应点C，舍去），计算得$x=-\frac{3}{5}$，即$D(-\frac{3}{5},\frac{6}{5})$。
3. 求直线AD解析式及E点坐标
设直线AD的解析式为$y=kx+b$，代入$A(1,0)$和$D(-\frac{3}{5},\frac{6}{5})$：
$\begin{cases}k+b=0\\-\frac{3}{5}k+b=\frac{6}{5}\end{cases}$
解得$k=-\frac{3}{4},b=\frac{3}{4}$，即AD解析式为$y=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}$。
当$x=0$时，$y=\frac{3}{4}$，即E点坐标为$(0,\frac{3}{4})$。
【答案】
$(0,\frac{3}{4})$
【知识点】
1. 平面直角坐标系坐标特征；2. 轴对称的性质；3. 一次函数的应用
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何结合的典型题型，需要将几何性质和函数知识结合运用，解题时要先明确已知点坐标，再逐步推导未知量，能够锻炼学生的综合解题能力。
【难度系数】
0.6
三、解答题
15. 如图，某智能机器人的行走路径是梯形$ABCD$，其中$AB // CD$，$BC ⊥ AB$，$AB=5$，$BC=4$，$CD=3$. 在原图中建立适当的平面直角坐标系，并写出各顶点的坐标.
15. 如图，某智能机器人的行走路径是梯形$ABCD$，其中$AB // CD$，$BC ⊥ AB$，$AB=5$，$BC=4$，$CD=3$. 在原图中建立适当的平面直角坐标系，并写出各顶点的坐标.
答案：15. 答案不唯一.例:以AB所在直线为x轴,BC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则坐标为A(-5,0),B(0,0),C(0,4),D(-3,4)
解析：
【分析】
本题是开放型题目，解题时优先利用图形中的垂直关系建立平面直角坐标系，可简化坐标计算。观察图形可知BC⊥AB，因此可选择交点B为坐标原点，将AB、BC分别放在x轴、y轴上，再结合各边的长度、AB与CD平行的性质，逐一推导各顶点的坐标即可，建系方式不同，最终坐标也不唯一。
【解析】
解：以点B为坐标原点，AB所在直线为x轴，BC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，规定x轴向右为正方向，y轴向上为正方向。
1. 点B为坐标原点，因此B的坐标为$(0, 0)$；
2. $AB=5$，点A在x轴上且位于点B左侧，因此A的坐标为$(-5, 0)$；
3. $BC=4$，点C在y轴上且位于点B上方，因此C的坐标为$(0, 4)$；
4. 因为$AB// CD$，所以CD为水平线段，点D的纵坐标与C相同，为4；又$CD=3$，点D位于点C左侧，因此横坐标为$0-3=-3$，即D的坐标为$(-3, 4)$。
注：建立坐标系的方式不同，各点坐标也会不同，合理即可。
【答案】
答案不唯一.例:以AB所在直线为x轴,BC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则坐标为A(-5,0),B(0,0),C(0,4),D(-3,4)
【知识点】
平面直角坐标系建立；点的坐标确定；直角梯形性质
【点评】
本题属于基础开放题，核心是灵活选择坐标系的建立方式，利用图形的垂直、平行性质简化坐标计算，考查对平面直角坐标系的基础运用能力。
【难度系数】
0.85
本题是开放型题目，解题时优先利用图形中的垂直关系建立平面直角坐标系，可简化坐标计算。观察图形可知BC⊥AB，因此可选择交点B为坐标原点，将AB、BC分别放在x轴、y轴上，再结合各边的长度、AB与CD平行的性质，逐一推导各顶点的坐标即可，建系方式不同，最终坐标也不唯一。
【解析】
解：以点B为坐标原点，AB所在直线为x轴，BC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，规定x轴向右为正方向，y轴向上为正方向。
1. 点B为坐标原点，因此B的坐标为$(0, 0)$；
2. $AB=5$，点A在x轴上且位于点B左侧，因此A的坐标为$(-5, 0)$；
3. $BC=4$，点C在y轴上且位于点B上方，因此C的坐标为$(0, 4)$；
4. 因为$AB// CD$，所以CD为水平线段，点D的纵坐标与C相同，为4；又$CD=3$，点D位于点C左侧，因此横坐标为$0-3=-3$，即D的坐标为$(-3, 4)$。
注：建立坐标系的方式不同，各点坐标也会不同，合理即可。
【答案】
答案不唯一.例:以AB所在直线为x轴,BC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则坐标为A(-5,0),B(0,0),C(0,4),D(-3,4)
【知识点】
平面直角坐标系建立；点的坐标确定；直角梯形性质
【点评】
本题属于基础开放题，核心是灵活选择坐标系的建立方式，利用图形的垂直、平行性质简化坐标计算，考查对平面直角坐标系的基础运用能力。
【难度系数】
0.85