【分析】
要证明BD=BE，根据线段垂直平分线的性质，只需证明点B在线段DE的垂直平分线上即可。首先结合已知AD=AE，利用线段垂直平分线的判定定理可推出点A在线段DE的垂直平分线上；再由CD=CE同理推出点C也在线段DE的垂直平分线上，根据两点确定一条直线，可得过A、C的直线l就是DE的垂直平分线，点B在直线l上，即可推导得到BD=BE。
【解析】
证明：
∵ AD=AE，
∴ 点A在线段 $\boldsymbol{DE}$ 的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）。
同理，点C在线段 $\boldsymbol{DE}$ 的垂直平分线上。
∴ 直线l是线段DE的垂直平分线，即点B在线段DE的垂直平分线上。
∴ BD=BE（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。
【答案】
DE，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，DE，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
【知识点】
线段垂直平分线的判定，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是线段垂直平分线相关定理的基础应用题，解题时要注意区分判定定理和性质定理的使用场景，通过两点确定一条直线得到线段的垂直平分线是解题的核心。
【难度系数】
0.9

【分析】
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。我们可以设三角形三边垂直平分线的交点为P，分别分析P在三条边的垂直平分线上时满足的距离关系，通过等量代换就能得出该点的距离特征。
【解析】
根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
设三角形三边AB、BC、AC的垂直平分线交于点P：
1. 因为点P在AB的垂直平分线上，所以P到点A、点B的距离相等，即PA=PB；
2. 因为点P在BC的垂直平分线上，所以P到点B、点C的距离相等，即PB=PC；
由PA=PB、PB=PC可推导得PA=PB=PC，因此这个交点到三角形三个顶点的距离相等。
【答案】
三个顶点
【知识点】
线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查对线段垂直平分线性质的掌握，只要熟记相关性质即可快速得出结论，是几何基础部分的常考题型。
【难度系数】
0.9

【分析】
本题考查线段垂直平分线的性质与判定，解题时先回忆相关定理：①线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；②到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；③两点确定一条直线。再逐一分析每个选项，判断说法是否正确，最终选出错误选项即可。
【解析】
我们结合线段垂直平分线的相关定理逐一分析选项：
选项A：根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，因此若点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB，该说法正确，不符合题意。
选项B：PA=PB说明点P在线段AB的垂直平分线上，QA=QB说明点Q也在线段AB的垂直平分线上，由“两点确定一条直线”可知，直线PQ就是线段AB的垂直平分线，该说法正确，不符合题意。
选项C：根据线段垂直平分线的判定，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，因此若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上，该说法正确，不符合题意。
选项D：PA=PB只能证明点P在线段AB的垂直平分线上，而过点P的直线有无数条，只有同时满足垂直于AB、平分AB的直线才是线段AB的垂直平分线，并非所有过点P的直线都是，该说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题属于基础概念辨析题，重点考查对线段垂直平分线性质和判定定理的准确理解，解题时要注意区分“点在垂直平分线上”和“直线是垂直平分线”的不同要求，避免对定理的片面理解。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，由此可得等腰三角形，再根据等边对等角得到角的等量关系；接着结合三角形内角和定理求出∠B与∠C的和；最后通过角的和差关系代换计算出∠EAF的度数即可。
【解析】
解：
∵AB的垂直平分线交BC于点E
∴EA=EB，根据等边对等角得∠B=∠BAE
∵AC的垂直平分线交BC于点F
∴FA=FC，根据等边对等角得∠C=∠CAF
在△ABC中，由三角形内角和定理可得：
∠BAC+∠B+∠C=180°
已知∠BAC=105°，则∠B+∠C=180°-105°=75°
∴∠BAE+∠CAF=∠B+∠C=75°
∴∠EAF=∠BAC-(∠BAE+∠CAF)=105°-75°=30°
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是利用线段垂直平分线的性质完成角的等量转化，结合三角形内角和定理即可求解，熟练掌握相关性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7

【分析】
要解决$PB+PD$的最小值问题，首先利用线段垂直平分线的性质做线段转化：因为EF是AB的垂直平分线，所以EF上任意一点P到A、B两点的距离相等，即$PB=PA$，因此求$PB+PD$的最小值可转化为求$PA+PD$的最小值。根据两点之间线段最短，当P落在AD与EF的交点处时，$PA+PD$的和最小，最小值就是线段AD的长度。
【解析】
解：$\because EF$垂直平分$AB$，点$P$在$EF$上
$\therefore$ 根据线段垂直平分线的性质，可得$PB=PA$
$\therefore PB+PD=PA+PD$
根据两点之间线段最短，当$A、P、D$三点共线时，$PA+PD$取得最小值，最小值为$AD$的长度
已知$AD=12$
$\therefore PB+PD$的最小值为12
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质；最短路径问题；两点之间线段最短
【点评】
本题解题的核心是通过线段垂直平分线的性质将未知的线段和转化为可直接求解的线段和，把求两条动线段和的最小值问题转化为两点之间的线段长度问题，是轴对称最短路径的典型应用。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时首先关注已知条件中的垂直平分线，回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。我们要求△PAQ的周长，即求PA+PQ+QA的和，结合垂直平分线的性质可将PA转化为PB、QA转化为QC，此时三条线段的和恰好对应BC的长度，代入已知BC的数值即可得到结果。
【解析】
解：
∵MP垂直平分AB，点P在MP上
∴PA = PB（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
∵NQ垂直平分AC，点Q在NQ上
∴QA = QC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
△PAQ的周长为：$C_{△ PAQ}=PA + PQ + QA$
将$PA=PB$、$QA=QC$代入上式，可得：
$C_{△ PAQ}=PB + PQ + QC = BC$
已知$BC=9$，因此$△ PAQ$的周长为9。
【答案】
9
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算；等量代换
【点评】
本题属于基础题，核心考查线段垂直平分线性质的应用，解题关键是通过性质将未知三角形的周长转化为已知线段的长度，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题思路可分为三步：第一步，看到线段垂直平分线，立刻想到其核心性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此连接辅助线OB，可得到OA=OB=OC，进而得到三个等腰三角形；第二步，要求∠AOC的度数，可利用三角形外角的性质，将∠AOC拆分为两个等腰三角形外角的和，推导得出∠AOC=2∠ABC，将问题转化为求∠ABC的度数；第三步，结合垂直平分线的定义可知两条垂直平分线分别与AB、BC垂直，利用四边形内角和定理找到∠ABC和已知∠1的等量关系，代入数值计算即可得到最终结果。
【解析】
连接OB，延长BO到点P，设$l_1$与AB交于点M，$l_2$与BC交于点N。
1. 由线段垂直平分线的性质可得：$l_1⊥ AB$，$l_2⊥ BC$，$OA=OB$，$OB=OC$，因此$OA=OB=OC$。
2. 根据等边对等角的性质：$∠ OAB=∠ OBA$，$∠ OBC=∠ OCB$。
3. 由三角形外角的性质：$∠ AOP$是$△ AOB$的外角，故$∠ AOP=∠ OAB+∠ OBA=2∠ OBA$；$∠ COP$是$△ BOC$的外角，故$∠ COP=∠ OBC+∠ OCB=2∠ OBC$。
4. 因此$∠ AOC=∠ AOP+∠ COP=2(∠ OBA+∠ OBC)=2∠ ABC$。
5. 在四边形$OMBN$中，$∠ OMB=∠ ONB=90°$，$∠ MON=180°-∠1=180°-39°=141°$，结合四边形内角和为$360°$，可得：
$∠ ABC + 90°+90°+141°=360°$，解得$∠ ABC=39°$。
6. 代入得$∠ AOC=2×39°=78°$。
【答案】
$78°$
【知识点】
线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题考查几何中线段垂直平分线相关的角度计算，解题的关键是合理添加辅助线OB，将未知角转化为与已知角相关的倍数关系，解题过程中用到的转化思想是几何问题常用的解题思路。
【难度系数】
0.65