4. 把代数式$3x^3 -12x^2 +12x$分解因式，结果正确的是（
A.$3x(x^2 -4x +4)$
B.$3x(x -4)^2$
C.$3x(x +2)(x -2)$
D.$3x(x -2)^2$
a
D
）A.$3x(x^2 -4x +4)$
B.$3x(x -4)^2$
C.$3x(x +2)(x -2)$
D.$3x(x -2)^2$
a
答案：D
解析：
【分析】
因式分解需遵循“一提二套三查”的步骤：第一步先提取公因式，观察代数式各项都含公因式3x，先提取公因式；第二步查看提取公因式后剩下的多项式是否符合乘法公式的形式，本题剩下的是二次三项式，对照完全平方公式的特征判断是否可以继续分解；第三步检查分解结果是否彻底、是否正确，再对应选项选出答案。
【解析】
对代数式$3x^3 -12x^2 +12x$分解因式：
第一步，提取公因式$3x$：
$3x^3 -12x^2 +12x = 3x(x^2 -4x +4)$
第二步，观察括号内的二次三项式$x^2 -4x +4$，符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的形式，其中$a=x$，$b=2$，因此：
$x^2 -4x +4 = (x-2)^2$
第三步，综上可得原式分解结果为$3x(x-2)^2$。
对选项逐一验证：
A选项：未将$x^2 -4x +4$继续分解，分解不彻底，错误；
B选项：$(x-4)^2=x^2-8x+16$，与提取公因式后剩余的多项式不符，错误；
C选项：是平方差公式的分解形式，本题剩余多项式为完全平方式，不符合平方差特征，错误；
D选项：分解结果正确。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法，完全平方公式，因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，需牢记因式分解的常规步骤，提取公因式后要判断剩余多项式是否可继续分解，同时要准确区分完全平方公式和平方差公式，避免因公式混淆或分解不彻底失分。
【难度系数】
0.8
因式分解需遵循“一提二套三查”的步骤：第一步先提取公因式，观察代数式各项都含公因式3x，先提取公因式；第二步查看提取公因式后剩下的多项式是否符合乘法公式的形式，本题剩下的是二次三项式，对照完全平方公式的特征判断是否可以继续分解；第三步检查分解结果是否彻底、是否正确，再对应选项选出答案。
【解析】
对代数式$3x^3 -12x^2 +12x$分解因式：
第一步，提取公因式$3x$：
$3x^3 -12x^2 +12x = 3x(x^2 -4x +4)$
第二步，观察括号内的二次三项式$x^2 -4x +4$，符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的形式，其中$a=x$，$b=2$，因此：
$x^2 -4x +4 = (x-2)^2$
第三步，综上可得原式分解结果为$3x(x-2)^2$。
对选项逐一验证：
A选项：未将$x^2 -4x +4$继续分解，分解不彻底，错误；
B选项：$(x-4)^2=x^2-8x+16$，与提取公因式后剩余的多项式不符，错误；
C选项：是平方差公式的分解形式，本题剩余多项式为完全平方式，不符合平方差特征，错误；
D选项：分解结果正确。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法，完全平方公式，因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，需牢记因式分解的常规步骤，提取公因式后要判断剩余多项式是否可继续分解，同时要准确区分完全平方公式和平方差公式，避免因公式混淆或分解不彻底失分。
【难度系数】
0.8
5. 把多项式$ax^2 + 2a^2x + a^3$分解因式的结果是
a(x+a)²
.答案：$a(x+a)^2$
解析：
【分析】
解决这道因式分解题需遵循常规解题思路：第一步先观察多项式各项是否存在公因式，本题中三项均含有公因式a，因此优先提取公因式；提取公因式后得到多项式$x^2+2ax+a^2$，对照完全平方公式的结构“两个数的平方和加这两个数乘积的2倍，等于两数和的平方”，发现该式恰好符合完全平方公式的特征，因此可继续用公式法分解，直到结果不能再分解为止。
【解析】
对多项式分步分解：
1. 提取公因式$a$：
$ax^2 + 2a^2x + a^3 = a(x^2 + 2ax + a^2)$
2. 对括号内的多项式用完全平方公式分解：
$x^2 + 2ax + a^2 = (x + a)^2$
综上可得最终分解结果。
【答案】
$a(x+a)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式、完全平方公式分解因式
【点评】
本题属于因式分解的基础考查题，解题时要遵循“先提公因式，后用公式”的顺序，同时注意因式分解要彻底，直到每个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.9
解决这道因式分解题需遵循常规解题思路：第一步先观察多项式各项是否存在公因式，本题中三项均含有公因式a，因此优先提取公因式；提取公因式后得到多项式$x^2+2ax+a^2$，对照完全平方公式的结构“两个数的平方和加这两个数乘积的2倍，等于两数和的平方”，发现该式恰好符合完全平方公式的特征，因此可继续用公式法分解，直到结果不能再分解为止。
【解析】
对多项式分步分解：
1. 提取公因式$a$：
$ax^2 + 2a^2x + a^3 = a(x^2 + 2ax + a^2)$
2. 对括号内的多项式用完全平方公式分解：
$x^2 + 2ax + a^2 = (x + a)^2$
综上可得最终分解结果。
【答案】
$a(x+a)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式、完全平方公式分解因式
【点评】
本题属于因式分解的基础考查题，解题时要遵循“先提公因式，后用公式”的顺序，同时注意因式分解要彻底，直到每个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.9
6. 如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于a，b的恒等式：
$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$
。答案：$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$
解析：
【分析】
我们可以通过“整体面积”和“拆分后各部分面积和”两种方式表示图形面积，进而推导恒等式：首先确定拼出的大正方形的边长，计算整体面积；再分别计算空白小正方形的面积和4个全等矩形的总面积；最后根据整体面积等于各部分面积之和的等量关系，即可得到对应的恒等式。
【解析】
1. 观察图形可得，拼接后得到的大正方形边长为$a+b$，因此大正方形的面积为$S_{\mathrm{大}}=(a+b)^2$。
2. 空白部分为小正方形，它的边长为矩形的长减宽，即$a-b$，因此空白小正方形的面积为$S_{\mathrm{空}}=(a-b)^2$。
3. 每张矩形纸片的面积为$ab$，4张矩形的总面积为$S_{\mathrm{矩形总}}=4ab$。
4. 根据大正方形面积=空白小正方形面积+4个矩形的总面积，可得恒等式：$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$。
【答案】
$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$
【知识点】
完全平方公式，面积法推导恒等式，数形结合思想
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，通过几何图形的面积关系验证代数恒等式，解题核心是准确表示各部分图形的边长和对应面积，理清整体和部分的面积等量关系。
【难度系数】
0.7
我们可以通过“整体面积”和“拆分后各部分面积和”两种方式表示图形面积，进而推导恒等式：首先确定拼出的大正方形的边长，计算整体面积；再分别计算空白小正方形的面积和4个全等矩形的总面积；最后根据整体面积等于各部分面积之和的等量关系，即可得到对应的恒等式。
【解析】
1. 观察图形可得，拼接后得到的大正方形边长为$a+b$，因此大正方形的面积为$S_{\mathrm{大}}=(a+b)^2$。
2. 空白部分为小正方形，它的边长为矩形的长减宽，即$a-b$，因此空白小正方形的面积为$S_{\mathrm{空}}=(a-b)^2$。
3. 每张矩形纸片的面积为$ab$，4张矩形的总面积为$S_{\mathrm{矩形总}}=4ab$。
4. 根据大正方形面积=空白小正方形面积+4个矩形的总面积，可得恒等式：$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$。
【答案】
$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$
【知识点】
完全平方公式，面积法推导恒等式，数形结合思想
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，通过几何图形的面积关系验证代数恒等式，解题核心是准确表示各部分图形的边长和对应面积，理清整体和部分的面积等量关系。
【难度系数】
0.7
7. 分解因式：
(1) $16a^2b^2c^2 - 9$；
(2) $(x+y)^2 - 4(x+y) + 4$；
(3) $(p-4)(p+1) + 3p$；
(4) $x - 2xy + xy^2$；
(5) $(a^2 + b^2)^2 - 4a^2b^2$；
(6) $9(x+2y)^2 - 4(x-y)^2$；
(1) $16a^2b^2c^2 - 9$；
(2) $(x+y)^2 - 4(x+y) + 4$；
(3) $(p-4)(p+1) + 3p$；
(4) $x - 2xy + xy^2$；
(5) $(a^2 + b^2)^2 - 4a^2b^2$；
(6) $9(x+2y)^2 - 4(x-y)^2$；
答案：(1) $(4abc-3)(4abc+3)$；(2) $(x+y-2)^2$；(3) $(p+2)(p-2)$；(4) $x(1-y)^2$；(5) $(a+b)^2(a-b)^2$；(6) $(5x+4y)(x+8y)$
解析：
【分析】
这组因式分解题可按照“一提、二套、三查”的思路求解：①先观察多项式是否有公因式，有公因式先提取公因式；②再观察多项式的项数：两项优先考虑平方差公式，三项优先考虑完全平方公式，结构不明显的先化简整理成标准形式；③最后检查分解结果是否彻底，是否分解到不能再分解为止。
(1)是两项平方作差的形式，直接套用平方差公式即可；
(2)将$(x+y)$看作整体，是三项的完全平方结构，套用完全平方差公式；
(3)先展开多项式乘法、合并同类项整理成标准形式，再套用公式；
(4)先提取公因式$x$，剩余三项符合完全平方结构；
(5)先将整体看作两项平方作差，套用平方差公式后，剩余两个因式均符合完全平方结构，继续分解；
(6)将两个整体看作平方项，套用平方差公式后合并同类项即可。
【解析】
(1) 原式可变形为平方差形式：
$16a^2b^2c^2 - 9=(4abc)^2 - 3^2$
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，得：
原式$=(4abc+3)(4abc-3)$
(2) 将$(x+y)$看作整体，原式符合完全平方差结构：
$(x+y)^2 - 4(x+y) + 4=(x+y)^2 - 2·(x+y)·2 + 2^2$
根据完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，得：
原式$=(x+y-2)^2$
(3) 先展开多项式乘法，合并同类项：
$(p-4)(p+1) + 3p=p^2 + p -4p -4 + 3p=p^2 -4$
再套用平方差公式：
原式$=p^2 - 2^2=(p+2)(p-2)$
(4) 先提取公因式$x$：
$x - 2xy + xy^2=x(1 - 2y + y^2)$
剩余部分符合完全平方差结构，得：
原式$=x(1-y)^2$
(5) 先将原式变形为平方差形式：
$(a^2 + b^2)^2 - 4a^2b^2=(a^2 + b^2)^2 - (2ab)^2$
套用平方差公式得：
原式$=(a^2 + b^2 - 2ab)(a^2 + b^2 + 2ab)$
两个因式分别符合完全平方公式，继续分解：
原式$=(a-b)^2(a+b)^2$
(6) 将原式变形为平方差形式：
$9(x+2y)^2 - 4(x-y)^2=[3(x+2y)]^2 - [2(x-y)]^2$
套用平方差公式得：
原式$=[3(x+2y)+2(x-y)][3(x+2y)-2(x-y)]$
分别化简两个括号内的式子：
$3(x+2y)+2(x-y)=3x+6y+2x-2y=5x+4y$
$3(x+2y)-2(x-y)=3x+6y-2x+2y=x+8y$
因此原式$=(5x+4y)(x+8y)$
【答案】
(1) $(4abc-3)(4abc+3)$；(2) $(x+y-2)^2$；(3) $(p+2)(p-2)$；(4) $x(1-y)^2$；(5) $(a+b)^2(a-b)^2$；(6) $(5x+4y)(x+8y)$
【知识点】
因式分解的步骤，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的常规基础题型，考查了提公因式法和公式法的综合运用，解题时要注意整体思想的应用，因式分解要做到彻底，直到不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
这组因式分解题可按照“一提、二套、三查”的思路求解：①先观察多项式是否有公因式，有公因式先提取公因式；②再观察多项式的项数：两项优先考虑平方差公式，三项优先考虑完全平方公式，结构不明显的先化简整理成标准形式；③最后检查分解结果是否彻底，是否分解到不能再分解为止。
(1)是两项平方作差的形式，直接套用平方差公式即可；
(2)将$(x+y)$看作整体，是三项的完全平方结构，套用完全平方差公式；
(3)先展开多项式乘法、合并同类项整理成标准形式，再套用公式；
(4)先提取公因式$x$，剩余三项符合完全平方结构；
(5)先将整体看作两项平方作差，套用平方差公式后，剩余两个因式均符合完全平方结构，继续分解；
(6)将两个整体看作平方项，套用平方差公式后合并同类项即可。
【解析】
(1) 原式可变形为平方差形式：
$16a^2b^2c^2 - 9=(4abc)^2 - 3^2$
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，得：
原式$=(4abc+3)(4abc-3)$
(2) 将$(x+y)$看作整体，原式符合完全平方差结构：
$(x+y)^2 - 4(x+y) + 4=(x+y)^2 - 2·(x+y)·2 + 2^2$
根据完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，得：
原式$=(x+y-2)^2$
(3) 先展开多项式乘法，合并同类项：
$(p-4)(p+1) + 3p=p^2 + p -4p -4 + 3p=p^2 -4$
再套用平方差公式：
原式$=p^2 - 2^2=(p+2)(p-2)$
(4) 先提取公因式$x$：
$x - 2xy + xy^2=x(1 - 2y + y^2)$
剩余部分符合完全平方差结构，得：
原式$=x(1-y)^2$
(5) 先将原式变形为平方差形式：
$(a^2 + b^2)^2 - 4a^2b^2=(a^2 + b^2)^2 - (2ab)^2$
套用平方差公式得：
原式$=(a^2 + b^2 - 2ab)(a^2 + b^2 + 2ab)$
两个因式分别符合完全平方公式，继续分解：
原式$=(a-b)^2(a+b)^2$
(6) 将原式变形为平方差形式：
$9(x+2y)^2 - 4(x-y)^2=[3(x+2y)]^2 - [2(x-y)]^2$
套用平方差公式得：
原式$=[3(x+2y)+2(x-y)][3(x+2y)-2(x-y)]$
分别化简两个括号内的式子：
$3(x+2y)+2(x-y)=3x+6y+2x-2y=5x+4y$
$3(x+2y)-2(x-y)=3x+6y-2x+2y=x+8y$
因此原式$=(5x+4y)(x+8y)$
【答案】
(1) $(4abc-3)(4abc+3)$；(2) $(x+y-2)^2$；(3) $(p+2)(p-2)$；(4) $x(1-y)^2$；(5) $(a+b)^2(a-b)^2$；(6) $(5x+4y)(x+8y)$
【知识点】
因式分解的步骤，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的常规基础题型，考查了提公因式法和公式法的综合运用，解题时要注意整体思想的应用，因式分解要做到彻底，直到不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
1.【阅读材料】把代数式通过配凑等手段,得到局部完全平方式,再进行有关运算和解题,这种解题方法叫作配方法.例如:对于$a^2+6a+8$.
(1) 用配方法分解因式.
(2) 当$a$取何值时,代数式$a^2+6a+8$有最小值? 最小值是多少?
解:(1) 原式$=a^2+6a+8+1-1$
$=a^2+6a+9-1$
$=(a+3)^2-1$
$=[(a+3)+1][(a+3)-1]$
$=(a+4)(a+2)$.
(2) 因为$a^2+6a+8=(a+3)^2-1,(a+3)^2≥0$,
所以,当$a=-3$时,代数式$a^2+6a+8$有最小值,最小值是$-1$.
【问题解决】利用配方法解决下列问题.
(1) 分解因式:$x^2+2x-3$.
(2) 当$x$取何值时,代数式$x^2+2x-3$有最小值? 最小值是多少?
(1) 用配方法分解因式.
(2) 当$a$取何值时,代数式$a^2+6a+8$有最小值? 最小值是多少?
解:(1) 原式$=a^2+6a+8+1-1$
$=a^2+6a+9-1$
$=(a+3)^2-1$
$=[(a+3)+1][(a+3)-1]$
$=(a+4)(a+2)$.
(2) 因为$a^2+6a+8=(a+3)^2-1,(a+3)^2≥0$,
所以,当$a=-3$时,代数式$a^2+6a+8$有最小值,最小值是$-1$.
【问题解决】利用配方法解决下列问题.
(1) 分解因式:$x^2+2x-3$.
(2) 当$x$取何值时,代数式$x^2+2x-3$有最小值? 最小值是多少?
答案：(1) 解:原式$=x^2+2x-3+4-4=x^2+2x+1-4=(x+1)^2-4=[(x+1)-2][(x+1)+2]=(x-1)(x+3)$.
(2) 由(1)得 $x^2+2x-3=(x+1)^2-4$,因为$(x+1)^2≥0$,所以,当$x=-1$时,代数式$x^2+2x-3$有最小值,最小值是$-4$.
(2) 由(1)得 $x^2+2x-3=(x+1)^2-4$,因为$(x+1)^2≥0$,所以,当$x=-1$时,代数式$x^2+2x-3$有最小值,最小值是$-4$.
解析：
【分析】
本题可结合材料给出的配方法思路求解：
(1) 分解因式时，先针对二次项$x^2$和一次项$2x$凑完全平方式，需加1使前三项成为$(x+1)^2$，为保证代数式值不变，加1后需再减1，将原式变形为平方差的形式，再用平方差公式分解即可。
(2) 求最值时，利用完全平方的非负性（任意实数的平方≥0），当完全平方式取最小值0时，整个代数式取得最小值，对应求出x的取值和最小值即可。
【解析】
(1) 原式$=x^2+2x-3+1-1$
$=x^2+2x+1-4$
$=(x+1)^2-2^2$
$=[(x+1)-2][(x+1)+2]$
$=(x-1)(x+3)$
(2) 由(1)可知$x^2+2x-3=(x+1)^2-4$，
∵$(x+1)^2≥0$，
∴当$(x+1)^2=0$时，代数式取得最小值，此时$x+1=0$，即$x=-1$，
最小值为$0-4=-4$。
【答案】
(1) $(x-1)(x+3)$；
(2) 当$x=-1$时，代数式有最小值，最小值是$-4$。
【知识点】
配方法的应用，因式分解，完全平方的非负性
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，既考查了配方法凑完全平方式的变形技巧，又结合了平方差公式分解因式、完全平方非负性求最值的知识点，解题核心是保证配凑完全平方式的过程中代数式的值不变。
【难度系数】
0.8
本题可结合材料给出的配方法思路求解：
(1) 分解因式时，先针对二次项$x^2$和一次项$2x$凑完全平方式，需加1使前三项成为$(x+1)^2$，为保证代数式值不变，加1后需再减1，将原式变形为平方差的形式，再用平方差公式分解即可。
(2) 求最值时，利用完全平方的非负性（任意实数的平方≥0），当完全平方式取最小值0时，整个代数式取得最小值，对应求出x的取值和最小值即可。
【解析】
(1) 原式$=x^2+2x-3+1-1$
$=x^2+2x+1-4$
$=(x+1)^2-2^2$
$=[(x+1)-2][(x+1)+2]$
$=(x-1)(x+3)$
(2) 由(1)可知$x^2+2x-3=(x+1)^2-4$，
∵$(x+1)^2≥0$，
∴当$(x+1)^2=0$时，代数式取得最小值，此时$x+1=0$，即$x=-1$，
最小值为$0-4=-4$。
【答案】
(1) $(x-1)(x+3)$；
(2) 当$x=-1$时，代数式有最小值，最小值是$-4$。
【知识点】
配方法的应用，因式分解，完全平方的非负性
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，既考查了配方法凑完全平方式的变形技巧，又结合了平方差公式分解因式、完全平方非负性求最值的知识点，解题核心是保证配凑完全平方式的过程中代数式的值不变。
【难度系数】
0.8