2. 已知$x^2+y^2+4x-6y+13=0$,求$x+y$的值.
答案：1
解析：
【分析】
本题是含两个未知数的方程求代数式值的问题，只有一个方程无法直接解方程，因此需要利用完全平方公式对左边的多项式进行配方。首先将常数项13拆分为4和9，分别与含x的项、含y的项组合，凑成两个完全平方式，再根据“若两个非负数的和为0，则这两个非负数均为0”的性质，分别求出x、y的值，最后代入计算x+y即可。
【解析】
解：对已知等式进行变形：
$x^2+4x+y^2-6y+13=0$
将13拆分为4+9，分组得：
$(x^2+4x+4)+(y^2-6y+9)=0$
根据完全平方公式因式分解得：
$(x+2)^2+(y-3)^2=0$
∵ 平方数具有非负性，即$(x+2)^2≥0$，$(y-3)^2≥0$，两个非负数相加得0，说明两个式子均为0
∴ $\begin{cases}x+2=0\\y-3=0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}x=-2\\y=3\end{cases}$
将x、y代入$x+y$得：$x+y=-2+3=1$
【答案】
1
【知识点】
完全平方公式，非负数的性质，配方法
【点评】
本题是因式分解与非负数性质结合的典型题型，解题核心是掌握拆项配方的技巧，将原式转化为平方和为0的形式即可快速求解，是代数部分的基础常考题型。
【难度系数】
0.8
本题是含两个未知数的方程求代数式值的问题，只有一个方程无法直接解方程，因此需要利用完全平方公式对左边的多项式进行配方。首先将常数项13拆分为4和9，分别与含x的项、含y的项组合，凑成两个完全平方式，再根据“若两个非负数的和为0，则这两个非负数均为0”的性质，分别求出x、y的值，最后代入计算x+y即可。
【解析】
解：对已知等式进行变形：
$x^2+4x+y^2-6y+13=0$
将13拆分为4+9，分组得：
$(x^2+4x+4)+(y^2-6y+9)=0$
根据完全平方公式因式分解得：
$(x+2)^2+(y-3)^2=0$
∵ 平方数具有非负性，即$(x+2)^2≥0$，$(y-3)^2≥0$，两个非负数相加得0，说明两个式子均为0
∴ $\begin{cases}x+2=0\\y-3=0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}x=-2\\y=3\end{cases}$
将x、y代入$x+y$得：$x+y=-2+3=1$
【答案】
1
【知识点】
完全平方公式，非负数的性质，配方法
【点评】
本题是因式分解与非负数性质结合的典型题型，解题核心是掌握拆项配方的技巧，将原式转化为平方和为0的形式即可快速求解，是代数部分的基础常考题型。
【难度系数】
0.8
1. 把$m^2(a-2)+m(2-a)$分解因式，结果为 （
A.$(a-2)^2(m+m)$
B.$(a-2)(m^2 - m)$
C.$m(a-2)(m-1)$
D.$m(a-2)(m+1)$
C
）A.$(a-2)^2(m+m)$
B.$(a-2)(m^2 - m)$
C.$m(a-2)(m-1)$
D.$m(a-2)(m+1)$
答案：C
解析：
【分析】
首先观察待分解的式子，发现两项中分别含有$(a-2)$和$(2-a)$，二者互为相反数，可先将$(2-a)$变形为$-(a-2)$，统一公因式的形式；再找出两项的公因式$m(a-2)$，提取公因式后检查剩余部分是否还能继续分解，保证因式分解彻底即可得到结果。
【解析】
第一步：统一含$a$的项的形式
$\because 2-a=-(a-2)$
$\therefore$ 原式 $=m^2(a-2)-m(a-2)$
第二步：提取公因式$m(a-2)$
提取公因式后，第一项剩余$m$，第二项剩余$-1$，因此：
原式 $=m(a-2)(m-1)$
可逐一排除错误选项：选项A公因式提取错误，不符合因式分解要求；选项B提取公因式不彻底，$(m^2-m)$还能继续提取公因式$m$；选项D提取公因式后剩余项符号计算错误。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法分解因式，因式分解的彻底性，相反数的整式变形
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题的关键是正确识别互为相反数的因式、准确找出公因式，注意因式分解要分解到每一个因式都不能再分解为止，避免出现提取不彻底的错误。
【难度系数】
0.7
首先观察待分解的式子，发现两项中分别含有$(a-2)$和$(2-a)$，二者互为相反数，可先将$(2-a)$变形为$-(a-2)$，统一公因式的形式；再找出两项的公因式$m(a-2)$，提取公因式后检查剩余部分是否还能继续分解，保证因式分解彻底即可得到结果。
【解析】
第一步：统一含$a$的项的形式
$\because 2-a=-(a-2)$
$\therefore$ 原式 $=m^2(a-2)-m(a-2)$
第二步：提取公因式$m(a-2)$
提取公因式后，第一项剩余$m$，第二项剩余$-1$，因此：
原式 $=m(a-2)(m-1)$
可逐一排除错误选项：选项A公因式提取错误，不符合因式分解要求；选项B提取公因式不彻底，$(m^2-m)$还能继续提取公因式$m$；选项D提取公因式后剩余项符号计算错误。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法分解因式，因式分解的彻底性，相反数的整式变形
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题的关键是正确识别互为相反数的因式、准确找出公因式，注意因式分解要分解到每一个因式都不能再分解为止，避免出现提取不彻底的错误。
【难度系数】
0.7
2. 分解因式$(x-1)^2 -2(x-1)+1$的结果是 （
A.$(x-1)(x-2)$
B.$x^2$
C.$(x+1)^2$
D.$(x-2)^2$
D
）A.$(x-1)(x-2)$
B.$x^2$
C.$(x+1)^2$
D.$(x-2)^2$
答案：D
解析：
【分析】
首先观察待分解的式子，发现它是三项式，符合完全平方公式的结构特征：首项是$(x-1)$的平方，末项是$1$的平方，中间项是$(x-1)$与$1$的乘积的$-2$倍。解题时可以把$(x-1)$看作一个整体，直接套用完全平方差公式分解，也可以先展开原式合并同类项后再用公式分解，其中整体代入法更简便。
【解析】
方法一（整体代入法）：
将$(x-1)$看作整体，对比完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，可得本题中$a=x-1$，$b=1$。
代入公式得：
$\begin{aligned}&(x-1)^2 -2(x-1)+1\\=&[(x-1)-1]^2\\=&(x-2)^2\end{aligned}$
方法二（展开化简法）：
先展开原式合并同类项，再分解因式：
$\begin{aligned}&(x-1)^2 -2(x-1)+1\\=&x^2-2x+1 -2x+2 +1\\=&x^2-4x+4\\=&(x-2)^2\end{aligned}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 因式分解
3. 整体思想
【点评】
本题主要考查因式分解中公式法的应用，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，灵活运用整体思想简化计算，若选择展开计算的方法需注意去括号时的符号问题。
【难度系数】
0.8
首先观察待分解的式子，发现它是三项式，符合完全平方公式的结构特征：首项是$(x-1)$的平方，末项是$1$的平方，中间项是$(x-1)$与$1$的乘积的$-2$倍。解题时可以把$(x-1)$看作一个整体，直接套用完全平方差公式分解，也可以先展开原式合并同类项后再用公式分解，其中整体代入法更简便。
【解析】
方法一（整体代入法）：
将$(x-1)$看作整体，对比完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，可得本题中$a=x-1$，$b=1$。
代入公式得：
$\begin{aligned}&(x-1)^2 -2(x-1)+1\\=&[(x-1)-1]^2\\=&(x-2)^2\end{aligned}$
方法二（展开化简法）：
先展开原式合并同类项，再分解因式：
$\begin{aligned}&(x-1)^2 -2(x-1)+1\\=&x^2-2x+1 -2x+2 +1\\=&x^2-4x+4\\=&(x-2)^2\end{aligned}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 因式分解
3. 整体思想
【点评】
本题主要考查因式分解中公式法的应用，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，灵活运用整体思想简化计算，若选择展开计算的方法需注意去括号时的符号问题。
【难度系数】
0.8
3. 若多项式$4x^2 + kxy + 36y^2$是一个完全平方式，则$k=$
±24
。答案：$\pm24$
解析：
【分析】
要解决这道题，首先回忆完全平方式的结构特征：完全平方式符合$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$的形式，包含两个平方项和一个交叉项，交叉项的符号可正可负。解题时第一步先将已知多项式的首尾两项转化为某个式子的平方，确定公式中对应的a和b；第二步根据交叉项等于$\pm2ab$的关系，对应系数相等求出k的值，注意不要漏掉交叉项为负的情况。
【解析】
根据完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$
已知多项式$4x^2 + kxy + 36y^2$是完全平方式，先将首尾两项写为平方形式：
$4x^2=(2x)^2$，$36y^2=(6y)^2$
对比完全平方公式，可得$a=2x$，$b=6y$
则交叉项$kxy=\pm 2ab=\pm 2×2x×6y=\pm24xy$
等式两边对应系数相等，因此$k=\pm24$
【答案】
$\pm24$
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 完全平方式的特征
【点评】
本题是完全平方式的基础常考题，解题核心是熟练掌握完全平方公式的两种展开形式，解题时需注意交叉项有正负两种可能，避免漏解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆完全平方式的结构特征：完全平方式符合$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$的形式，包含两个平方项和一个交叉项，交叉项的符号可正可负。解题时第一步先将已知多项式的首尾两项转化为某个式子的平方，确定公式中对应的a和b；第二步根据交叉项等于$\pm2ab$的关系，对应系数相等求出k的值，注意不要漏掉交叉项为负的情况。
【解析】
根据完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$
已知多项式$4x^2 + kxy + 36y^2$是完全平方式，先将首尾两项写为平方形式：
$4x^2=(2x)^2$，$36y^2=(6y)^2$
对比完全平方公式，可得$a=2x$，$b=6y$
则交叉项$kxy=\pm 2ab=\pm 2×2x×6y=\pm24xy$
等式两边对应系数相等，因此$k=\pm24$
【答案】
$\pm24$
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 完全平方式的特征
【点评】
本题是完全平方式的基础常考题，解题核心是熟练掌握完全平方公式的两种展开形式，解题时需注意交叉项有正负两种可能，避免漏解。
【难度系数】
0.7
4. 计算：$535^2 × 6 - 6 × 465^2 =$
420000
。答案：$420\ 000$
解析：
【分析】
首先观察算式结构，发现两项都含有公因式6，因此第一步先提取公因式6，得到$6×(535^2 - 465^2)$；再观察括号内的部分，符合平方差公式$a^2-b^2$的结构，因此可以套用平方差公式进一步分解，将大数的平方运算转化为简单的加减法和小数字乘法运算，避免直接计算大数平方导致的计算错误，简化计算过程。
【解析】
解：$\begin{aligned}&535^2 × 6 - 6 × 465^2 \\=&6×(535^2 - 465^2) \quad \mathrm{（提取公因式6）} \\=&6×(535 - 465)×(535 + 465) \quad \mathrm{（套用平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$）} \\=&6×70×1000 \\=&420000\end{aligned}$
【答案】
$420000$
【知识点】
提取公因式法分解因式；平方差公式
【点评】
本题考查因式分解在简便运算中的应用，解题核心是先观察式子结构特征，优先提取公因式，再结合乘法公式简化运算，能有效降低计算量，提升计算准确率。
【难度系数】
0.8
首先观察算式结构，发现两项都含有公因式6，因此第一步先提取公因式6，得到$6×(535^2 - 465^2)$；再观察括号内的部分，符合平方差公式$a^2-b^2$的结构，因此可以套用平方差公式进一步分解，将大数的平方运算转化为简单的加减法和小数字乘法运算，避免直接计算大数平方导致的计算错误，简化计算过程。
【解析】
解：$\begin{aligned}&535^2 × 6 - 6 × 465^2 \\=&6×(535^2 - 465^2) \quad \mathrm{（提取公因式6）} \\=&6×(535 - 465)×(535 + 465) \quad \mathrm{（套用平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$）} \\=&6×70×1000 \\=&420000\end{aligned}$
【答案】
$420000$
【知识点】
提取公因式法分解因式；平方差公式
【点评】
本题考查因式分解在简便运算中的应用，解题核心是先观察式子结构特征，优先提取公因式，再结合乘法公式简化运算，能有效降低计算量，提升计算准确率。
【难度系数】
0.8
问题 将下列各多项式因式分解，并指出分解结果中不含有因式 $a+1$ 的是哪一个？
(1) $a^2 -1$； (2) $a^2 +a$； (3) $a^2 +a -2$； (4) $(a+2)^2 -2(a+2)+1$。
名师指导
先把各个多项式分解因式，观察即可得出哪个的分解结果中不含有因式 $a+1$。
解题示范 (学生在教师指导下，独立完成)
解：
(1) $a^2 -1$； (2) $a^2 +a$； (3) $a^2 +a -2$； (4) $(a+2)^2 -2(a+2)+1$。
名师指导
先把各个多项式分解因式，观察即可得出哪个的分解结果中不含有因式 $a+1$。
解题示范 (学生在教师指导下，独立完成)
解：
答案：解：
(1) $a^2 - 1 = (a+1)(a-1)$，分解结果中含有因式$a+1$；
(2) $a^2 + a = a(a+1)$，分解结果中含有因式$a+1$；
(3) $a^2 + a - 2 = (a+2)(a-1)$，分解结果中不含有因式$a+1$；
(4) $(a+2)^2 - 2(a+2) + 1 = [(a+2)-1]^2 = (a+1)^2$，分解结果中含有因式$a+1$。
综上，分解结果中不含有因式$a+1$的是多项式(3)。
(1) $a^2 - 1 = (a+1)(a-1)$，分解结果中含有因式$a+1$；
(2) $a^2 + a = a(a+1)$，分解结果中含有因式$a+1$；
(3) $a^2 + a - 2 = (a+2)(a-1)$，分解结果中不含有因式$a+1$；
(4) $(a+2)^2 - 2(a+2) + 1 = [(a+2)-1]^2 = (a+1)^2$，分解结果中含有因式$a+1$。
综上，分解结果中不含有因式$a+1$的是多项式(3)。
解析：
【分析】
要解决本题，需先对4个多项式分别进行因式分解，再逐一排查分解结果中是否含有因式$a+1$。具体思考路径：①式子$a^2-1$是平方差形式，用平方差公式分解；②式子$a^2+a$有公因式$a$，用提公因式法分解；③式子$a^2+a-2$是二次三项式，用十字相乘法分解；④式子$(a+2)^2 -2(a+2)+1$可将$a+2$看作整体，符合完全平方公式的结构，用完全平方公式分解；最后对比每个分解结果的因式即可得到答案。
【解析】
(1) 根据平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，可得：
$a^2 - 1 = (a+1)(a-1)$，分解结果中含有因式$a+1$；
(2) 提取公因式$a$，可得：
$a^2 + a = a(a+1)$，分解结果中含有因式$a+1$；
(3) 用十字相乘法分解二次三项式，常数项$-2$拆为$2×(-1)$，且$2+(-1)=1$等于一次项系数，可得：
$a^2 + a - 2 = (a+2)(a-1)$，分解结果中不含有因式$a+1$；
(4) 将$a+2$看作整体，根据完全平方公式$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$，可得：
$(a+2)^2 - 2(a+2) + 1 = [(a+2)-1]^2 = (a+1)^2$，分解结果中含有因式$a+1$。
综上，分解结果中不含有因式$a+1$的是多项式(3)。
【答案】
分解结果中不含有因式$a+1$的是多项式(3)。
【知识点】
因式分解、提公因式法、公式法分解因式
【点评】
本题侧重考查因式分解常用方法的应用，解题时要熟练掌握不同因式分解方法的适用场景，遇到可看作整体的结构时优先用整体思想简化运算，是因式分解部分的基础题型，主要检验学生对基础方法的掌握程度。
【难度系数】
0.85
要解决本题，需先对4个多项式分别进行因式分解，再逐一排查分解结果中是否含有因式$a+1$。具体思考路径：①式子$a^2-1$是平方差形式，用平方差公式分解；②式子$a^2+a$有公因式$a$，用提公因式法分解；③式子$a^2+a-2$是二次三项式，用十字相乘法分解；④式子$(a+2)^2 -2(a+2)+1$可将$a+2$看作整体，符合完全平方公式的结构，用完全平方公式分解；最后对比每个分解结果的因式即可得到答案。
【解析】
(1) 根据平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，可得：
$a^2 - 1 = (a+1)(a-1)$，分解结果中含有因式$a+1$；
(2) 提取公因式$a$，可得：
$a^2 + a = a(a+1)$，分解结果中含有因式$a+1$；
(3) 用十字相乘法分解二次三项式，常数项$-2$拆为$2×(-1)$，且$2+(-1)=1$等于一次项系数，可得：
$a^2 + a - 2 = (a+2)(a-1)$，分解结果中不含有因式$a+1$；
(4) 将$a+2$看作整体，根据完全平方公式$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$，可得：
$(a+2)^2 - 2(a+2) + 1 = [(a+2)-1]^2 = (a+1)^2$，分解结果中含有因式$a+1$。
综上，分解结果中不含有因式$a+1$的是多项式(3)。
【答案】
分解结果中不含有因式$a+1$的是多项式(3)。
【知识点】
因式分解、提公因式法、公式法分解因式
【点评】
本题侧重考查因式分解常用方法的应用，解题时要熟练掌握不同因式分解方法的适用场景，遇到可看作整体的结构时优先用整体思想简化运算，是因式分解部分的基础题型，主要检验学生对基础方法的掌握程度。
【难度系数】
0.85