3. 如图，$△ ABC$的角平分线$BD$，$CE$相交于点$O$，$∠ A=70°$，则$∠ COD$等于（
A.$70°$
B.$60°$
C.$55°$
D.$40°$
C
）A.$70°$
B.$60°$
C.$55°$
D.$40°$
答案：3. C.
解析：
【分析】
要求∠COD的度数，可先利用三角形外角的性质，将∠COD转化为△BOC的两个不相邻内角之和，即∠OBC+∠OCB；再结合角平分线的定义，可知∠OBC是∠ABC的一半，∠OCB是∠ACB的一半，因此只需先根据三角形内角和定理算出∠ABC与∠ACB的和，再整体求出它们一半的和，即可得到∠COD的度数。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和定理得：
∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A = 180° - 70° = 110°
∵BD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的角平分线
∴∠OBC = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB = $\frac{1}{2}$∠ACB
∴∠OBC + ∠OCB = $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB) = $\frac{1}{2}$×110° = 55°
∵∠COD是△BOC的外角，根据三角形外角的性质，外角等于与它不相邻的两个内角的和
∴∠COD = ∠OBC + ∠OCB = 55°
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题，解题的关键是熟练运用角平分线性质和三角形内外角的相关定理，通过整体代换的方法计算角度，避免单独求每个角的度数，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
要求∠COD的度数，可先利用三角形外角的性质，将∠COD转化为△BOC的两个不相邻内角之和，即∠OBC+∠OCB；再结合角平分线的定义，可知∠OBC是∠ABC的一半，∠OCB是∠ACB的一半，因此只需先根据三角形内角和定理算出∠ABC与∠ACB的和，再整体求出它们一半的和，即可得到∠COD的度数。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和定理得：
∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A = 180° - 70° = 110°
∵BD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的角平分线
∴∠OBC = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB = $\frac{1}{2}$∠ACB
∴∠OBC + ∠OCB = $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB) = $\frac{1}{2}$×110° = 55°
∵∠COD是△BOC的外角，根据三角形外角的性质，外角等于与它不相邻的两个内角的和
∴∠COD = ∠OBC + ∠OCB = 55°
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题，解题的关键是熟练运用角平分线性质和三角形内外角的相关定理，通过整体代换的方法计算角度，避免单独求每个角的度数，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
4. 如图,已知$a// b$,$∠ 1=50°$,$∠ 2=115°$,则$∠ 3=$
（第4题）
65°
.（第4题）答案：4. 65°.
解析：
【分析】
解题时首先观察到已知条件有$a// b$，可先利用平行线的同位角相等得到$∠4$的度数；再观察$∠2$是图中三角形的外角，结合三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，代入已知角度即可求出$∠3$的度数。
【解析】
解：$\because a// b$，$∠1$和$∠4$是同位角，
$\therefore ∠4=∠1=50°$（两直线平行，同位角相等）。
$\because ∠2$是三角形的外角，
$\therefore ∠2=∠3+∠4$（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
$\therefore ∠3=∠2-∠4=115°-50°=65°$。
【答案】
$65°$
【知识点】
平行线的性质、三角形外角的性质、角度计算
【点评】
本题属于基础综合题，核心是结合平行线性质和三角形外角性质求解角度，解题时要准确识别同位角和三角形的外角，理清角度之间的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察到已知条件有$a// b$，可先利用平行线的同位角相等得到$∠4$的度数；再观察$∠2$是图中三角形的外角，结合三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，代入已知角度即可求出$∠3$的度数。
【解析】
解：$\because a// b$，$∠1$和$∠4$是同位角，
$\therefore ∠4=∠1=50°$（两直线平行，同位角相等）。
$\because ∠2$是三角形的外角，
$\therefore ∠2=∠3+∠4$（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
$\therefore ∠3=∠2-∠4=115°-50°=65°$。
【答案】
$65°$
【知识点】
平行线的性质、三角形外角的性质、角度计算
【点评】
本题属于基础综合题，核心是结合平行线性质和三角形外角性质求解角度，解题时要准确识别同位角和三角形的外角，理清角度之间的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5. 如图,在三角形纸片$ABC$中,$∠A=65°,∠B=75°$. 将纸片的一角折叠,使点$C$落在$△ ABC$内,若$∠2=20°$,则$∠1=$
60
$°$.答案：5. 60.
解析：
【分析】
解题思路如下：第一步，先根据三角形内角和为180°，计算出△ABC中∠C的度数；第二步，利用折叠的性质，折叠前后对应角相等，可知折痕两侧对应的角分别相等；第三步，结合平角为180°的性质，将两个平角的等式相加，代入已知的∠2和已求得的相关角度值，即可求出∠1的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 65° - 75° = 40°$
设折痕与BC交于点F，与AC交于点E，折叠后点C落在点D处，由折叠的性质可得：
$∠ CFE = ∠ DFE$，$∠ CEF = ∠ DEF$
在△CEF中，$∠ CEF + ∠ CFE = 180° - ∠ C = 180° - 40° = 140°$
根据平角的定义：
$∠ 1 + 2∠ CFE = 180°$ ①
$∠ 2 + 2∠ CEF = 180°$ ②
将①+②得：
$∠ 1 + ∠ 2 + 2(∠ CFE + ∠ CEF) = 360°$
代入$∠ 2=20°$，$∠ CFE+∠ CEF=140°$：
$∠ 1 + 20° + 2×140° = 360°$
$∠ 1 + 300° = 360°$
解得$∠ 1=60°$
【答案】
60
【知识点】
三角形内角和定理，折叠的性质，平角的性质
【点评】
本题属于角度计算的基础综合题，解题的核心是抓住折叠前后对应角相等的性质，结合三角形内角和与平角的性质建立角度之间的等量关系，即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，先根据三角形内角和为180°，计算出△ABC中∠C的度数；第二步，利用折叠的性质，折叠前后对应角相等，可知折痕两侧对应的角分别相等；第三步，结合平角为180°的性质，将两个平角的等式相加，代入已知的∠2和已求得的相关角度值，即可求出∠1的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 65° - 75° = 40°$
设折痕与BC交于点F，与AC交于点E，折叠后点C落在点D处，由折叠的性质可得：
$∠ CFE = ∠ DFE$，$∠ CEF = ∠ DEF$
在△CEF中，$∠ CEF + ∠ CFE = 180° - ∠ C = 180° - 40° = 140°$
根据平角的定义：
$∠ 1 + 2∠ CFE = 180°$ ①
$∠ 2 + 2∠ CEF = 180°$ ②
将①+②得：
$∠ 1 + ∠ 2 + 2(∠ CFE + ∠ CEF) = 360°$
代入$∠ 2=20°$，$∠ CFE+∠ CEF=140°$：
$∠ 1 + 20° + 2×140° = 360°$
$∠ 1 + 300° = 360°$
解得$∠ 1=60°$
【答案】
60
【知识点】
三角形内角和定理，折叠的性质，平角的性质
【点评】
本题属于角度计算的基础综合题，解题的核心是抓住折叠前后对应角相等的性质，结合三角形内角和与平角的性质建立角度之间的等量关系，即可快速求解。
【难度系数】
0.7
6. 如图，分别含有$30°$和$45°$角的两个直角三角板，拼成如图所示图形，其中$∠ C=90°$，$∠ B=45°$，$∠ E=30°$，则$∠ BFD$的度数是
15°
。答案：6. 15°.
解析：
【分析】
解题时先利用直角三角形的内角和求出△CDE中∠CDE的度数，再结合三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，∠CDE恰好是△BDF的外角，已知∠B的度数，就可以直接求出∠BFD的度数，用外角性质计算更加简便。
【解析】
在$Rt△ CDE$中，$∠ C=90°$，$∠ E=30°$，根据三角形内角和为$180°$可得：
$∠ CDE=180°-∠ C-∠ E=180°-90°-30°=60°$
观察图形可知$∠ CDE$是$△ BDF$的外角，根据三角形外角的性质：
$∠ CDE=∠ B+∠ BFD$
已知$∠ B=45°$，代入得：
$∠ BFD=∠ CDE-∠ B=60°-45°=15°$
【答案】
$15°$
【知识点】
三角形内角和定理，三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题型，解题关键是结合特殊三角板的已知角度，找到所求角对应的外角关系，熟练运用三角形外角性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先利用直角三角形的内角和求出△CDE中∠CDE的度数，再结合三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，∠CDE恰好是△BDF的外角，已知∠B的度数，就可以直接求出∠BFD的度数，用外角性质计算更加简便。
【解析】
在$Rt△ CDE$中，$∠ C=90°$，$∠ E=30°$，根据三角形内角和为$180°$可得：
$∠ CDE=180°-∠ C-∠ E=180°-90°-30°=60°$
观察图形可知$∠ CDE$是$△ BDF$的外角，根据三角形外角的性质：
$∠ CDE=∠ B+∠ BFD$
已知$∠ B=45°$，代入得：
$∠ BFD=∠ CDE-∠ B=60°-45°=15°$
【答案】
$15°$
【知识点】
三角形内角和定理，三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题型，解题关键是结合特殊三角板的已知角度，找到所求角对应的外角关系，熟练运用三角形外角性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
7. 如图,在△ABC中,∠A=m°,∠ABC和∠ACD的平分线交于点A₁,得∠A₁；∠A₁BC和∠A₁CD的平分线交于点A₂,得∠A₂；……；∠A₂₀₂₆BC和∠A₂₀₂₆CD的平分线交于点A₂₀₂₇,得∠A₂₀₂₇,则∠A₂₀₂₇=
$\frac{m}{2^{2027}}$
度.答案：7. $\frac{m}{2^{2027}}$.
解析：
【分析】
解题时先利用三角形外角的性质与角平分线的定义，推导∠A₁与∠A的数量关系，再同理推导∠A₂与∠A₁的关系，总结出∠Aₙ和∠A的通用规律，最后将n=2027代入规律即可求解。
【解析】
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得：
在△ABC中，$∠ ACD = ∠ A + ∠ ABC$
∵ $BA_1$平分$∠ ABC$，$CA_1$平分$∠ ACD$
∴ $∠ A_1BC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ A_1CD = \frac{1}{2}∠ ACD$
在△A₁BC中，$∠ A_1CD$是外角，故$∠ A_1CD = ∠ A_1 + ∠ A_1BC$
将$∠ A_1CD$、$∠ A_1BC$代入上式得：
$\frac{1}{2}∠ ACD = ∠ A_1 + \frac{1}{2}∠ ABC$
再将$∠ ACD = ∠ A + ∠ ABC$代入上式：
$\frac{1}{2}(∠ A + ∠ ABC) = ∠ A_1 + \frac{1}{2}∠ ABC$
化简得：$\frac{1}{2}∠ A + \frac{1}{2}∠ ABC = ∠ A_1 + \frac{1}{2}∠ ABC$
消去两边相同项后得：$∠ A_1 = \frac{1}{2}∠ A = \frac{m}{2}$度
同理可推：$∠ A_2 = \frac{1}{2}∠ A_1 = \frac{m}{2^2}$度，$∠ A_3 = \frac{1}{2}∠ A_2 = \frac{m}{2^3}$度
由此可得通用规律：$∠ A_n = \frac{m}{2^n}$度
当n=2027时，$∠ A_{2027} = \frac{m}{2^{2027}}$度
【答案】
$\frac{m}{2^{2027}}$
【知识点】
三角形外角性质，角平分线的定义，规律探究
【点评】
本题属于几何规律探究题，核心是先推导第一个衍生角和原角的数量关系，再找到每次角的变化规律，解题时注意区分角的序号和指数的对应关系，避免出现指数错误。
【难度系数】
0.7
解题时先利用三角形外角的性质与角平分线的定义，推导∠A₁与∠A的数量关系，再同理推导∠A₂与∠A₁的关系，总结出∠Aₙ和∠A的通用规律，最后将n=2027代入规律即可求解。
【解析】
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得：
在△ABC中，$∠ ACD = ∠ A + ∠ ABC$
∵ $BA_1$平分$∠ ABC$，$CA_1$平分$∠ ACD$
∴ $∠ A_1BC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ A_1CD = \frac{1}{2}∠ ACD$
在△A₁BC中，$∠ A_1CD$是外角，故$∠ A_1CD = ∠ A_1 + ∠ A_1BC$
将$∠ A_1CD$、$∠ A_1BC$代入上式得：
$\frac{1}{2}∠ ACD = ∠ A_1 + \frac{1}{2}∠ ABC$
再将$∠ ACD = ∠ A + ∠ ABC$代入上式：
$\frac{1}{2}(∠ A + ∠ ABC) = ∠ A_1 + \frac{1}{2}∠ ABC$
化简得：$\frac{1}{2}∠ A + \frac{1}{2}∠ ABC = ∠ A_1 + \frac{1}{2}∠ ABC$
消去两边相同项后得：$∠ A_1 = \frac{1}{2}∠ A = \frac{m}{2}$度
同理可推：$∠ A_2 = \frac{1}{2}∠ A_1 = \frac{m}{2^2}$度，$∠ A_3 = \frac{1}{2}∠ A_2 = \frac{m}{2^3}$度
由此可得通用规律：$∠ A_n = \frac{m}{2^n}$度
当n=2027时，$∠ A_{2027} = \frac{m}{2^{2027}}$度
【答案】
$\frac{m}{2^{2027}}$
【知识点】
三角形外角性质，角平分线的定义，规律探究
【点评】
本题属于几何规律探究题，核心是先推导第一个衍生角和原角的数量关系，再找到每次角的变化规律，解题时注意区分角的序号和指数的对应关系，避免出现指数错误。
【难度系数】
0.7
8. 将两块含$30°$角的直角三角板叠放成如图所示图形，若$OD⊥ AB$，$CD$交$OA$于点$E$，则$∠ OED=$
60°
.答案：8. 60°.
解析：
【分析】
解题时先明确两块含30°角的直角三角板的固定内角度数，再结合OD⊥AB的条件先求出∠AOD的度数，最后利用三角形内角和定理计算∠OED的度数。步骤如下：1. 先根据直角三角板特征，确定∠B=60°，∠D=60°，∠AOB=90°；2. 由OD⊥AB，利用直角三角形两锐角互余求出∠BOD的度数，进而得到∠AOD的度数；3. 在△OED中，用内角和定理即可算出∠OED的度数。
【解析】
∵ OD⊥AB，含30°角的直角三角板中∠B=60°
∴ ∠BOD=90°-∠B=90°-60°=30°
∵ ∠AOB=90°
∴ ∠AOD=∠AOB - ∠BOD=90°-30°=60°
又
∵ 含30°角的直角三角板中∠D=60°
在△OED中，根据三角形内角和为180°可得：
∠OED=180°-∠AOD-∠D=180°-60°-60°=60°
【答案】
60°
【知识点】
直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理
【点评】
本题结合直角三角板的角度特征考查角度计算，解题关键是利用垂直条件推导中间角的度数，理清各角之间的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时先明确两块含30°角的直角三角板的固定内角度数，再结合OD⊥AB的条件先求出∠AOD的度数，最后利用三角形内角和定理计算∠OED的度数。步骤如下：1. 先根据直角三角板特征，确定∠B=60°，∠D=60°，∠AOB=90°；2. 由OD⊥AB，利用直角三角形两锐角互余求出∠BOD的度数，进而得到∠AOD的度数；3. 在△OED中，用内角和定理即可算出∠OED的度数。
【解析】
∵ OD⊥AB，含30°角的直角三角板中∠B=60°
∴ ∠BOD=90°-∠B=90°-60°=30°
∵ ∠AOB=90°
∴ ∠AOD=∠AOB - ∠BOD=90°-30°=60°
又
∵ 含30°角的直角三角板中∠D=60°
在△OED中，根据三角形内角和为180°可得：
∠OED=180°-∠AOD-∠D=180°-60°-60°=60°
【答案】
60°
【知识点】
直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理
【点评】
本题结合直角三角板的角度特征考查角度计算，解题关键是利用垂直条件推导中间角的度数，理清各角之间的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
9. 如图,在△ABC中,∠ACB＞90°,AE平分∠BAC,AD⊥BC交BC的延长线于点D.
(1) 若∠B=30°,∠ACB=100°,求∠EAD的度数;
(2) 若∠B=α,∠ACB=β,试用含α,β的式子表示∠EAD,则∠EAD=
(1) 若∠B=30°,∠ACB=100°,求∠EAD的度数;
(2) 若∠B=α,∠ACB=β,试用含α,β的式子表示∠EAD,则∠EAD=
$\frac{1}{2}β-\frac{1}{2}α$
.(直接写出结论即可)答案：9. (1) $∠EAD=35°$；(2) $\frac{1}{2}β-\frac{1}{2}α$.
解析：
【分析】
本题是三角形角度计算问题，解题思路如下：首先利用三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再结合角平分线的定义得到∠BAE的度数；然后根据AD⊥BC，利用直角三角形两锐角互余求出∠BAD的度数，最后通过∠EAD=∠BAD-∠BAE即可求出结果。第二问只需将具体角度替换为α、β，按照同样的逻辑推导即可得到表达式。
【解析】
(1) 在△ABC中，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ ACB = 180° - 30° - 100° = 50°$
∵AE平分∠BAC
∴$∠ BAE = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2} × 50° = 25°$
∵AD⊥BC，即$∠ D = 90°$
∴在Rt△ABD中，$∠ BAD = 90° - ∠ B = 90° - 30° = 60°$
∴$∠ EAD = ∠ BAD - ∠ BAE = 60° - 25° = 35°$
(2) 推导过程如下：
在△ABC中，$∠ BAC = 180° - α - β$
∵AE平分∠BAC
∴$∠ BAE = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2}(180° - α - β) = 90° - \frac{1}{2}α - \frac{1}{2}β$
在Rt△ABD中，$∠ BAD = 90° - α$
∴$∠ EAD = ∠ BAD - ∠ BAE = (90° - α) - (90° - \frac{1}{2}α - \frac{1}{2}β) = \frac{1}{2}β - \frac{1}{2}α$
【答案】
(1) $∠ EAD=35°$；(2) $\frac{1}{2}β-\frac{1}{2}α$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形的性质
【点评】
本题侧重考查三角形角度的综合运算，解题的核心是厘清各角之间的数量关系，通过已知条件逐步推导未知角，第二问的推导过程体现了从特殊到一般的数学思维方法。
【难度系数】
0.7
本题是三角形角度计算问题，解题思路如下：首先利用三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再结合角平分线的定义得到∠BAE的度数；然后根据AD⊥BC，利用直角三角形两锐角互余求出∠BAD的度数，最后通过∠EAD=∠BAD-∠BAE即可求出结果。第二问只需将具体角度替换为α、β，按照同样的逻辑推导即可得到表达式。
【解析】
(1) 在△ABC中，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ ACB = 180° - 30° - 100° = 50°$
∵AE平分∠BAC
∴$∠ BAE = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2} × 50° = 25°$
∵AD⊥BC，即$∠ D = 90°$
∴在Rt△ABD中，$∠ BAD = 90° - ∠ B = 90° - 30° = 60°$
∴$∠ EAD = ∠ BAD - ∠ BAE = 60° - 25° = 35°$
(2) 推导过程如下：
在△ABC中，$∠ BAC = 180° - α - β$
∵AE平分∠BAC
∴$∠ BAE = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2}(180° - α - β) = 90° - \frac{1}{2}α - \frac{1}{2}β$
在Rt△ABD中，$∠ BAD = 90° - α$
∴$∠ EAD = ∠ BAD - ∠ BAE = (90° - α) - (90° - \frac{1}{2}α - \frac{1}{2}β) = \frac{1}{2}β - \frac{1}{2}α$
【答案】
(1) $∠ EAD=35°$；(2) $\frac{1}{2}β-\frac{1}{2}α$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形的性质
【点评】
本题侧重考查三角形角度的综合运算，解题的核心是厘清各角之间的数量关系，通过已知条件逐步推导未知角，第二问的推导过程体现了从特殊到一般的数学思维方法。
【难度系数】
0.7