问题 如图,在△ABC中,点E在AC上,∠AEB=∠ABC.
(1) 在图(1)中,作∠BAC的角平分线AD,分别交CB,BE于D,F两点.求证:∠EFD=∠ADC;
(2) 在图(2)中,作△ABC的外角∠BAG的角平分线AD所在的直线,分别交CB,BE的延长线于D,F两点,试探究(1)中结论是否仍成立.为什么?
名师指导
(1) 首先根据角平分线的性质可得∠BAD=∠DAC,再根据三角形外角的性质可得∠EFD=∠DAC+∠AEB,∠ADC=∠ABC+∠BAD,进而得到结论.
(2) 类似(1)可得∠BAD=∠DAG,再根据对顶角相等得∠FAE=∠DAG=∠BAD,从而根据外角的性质可得∠EFD=∠AEB−∠FAE,∠ADC=∠ABC−∠BAD,进而得到结论.
解题示范 (学生在教师指导下,独立完成)
解:
(1) 在图(1)中,作∠BAC的角平分线AD,分别交CB,BE于D,F两点.求证:∠EFD=∠ADC;
(2) 在图(2)中,作△ABC的外角∠BAG的角平分线AD所在的直线,分别交CB,BE的延长线于D,F两点,试探究(1)中结论是否仍成立.为什么?
名师指导
(1) 首先根据角平分线的性质可得∠BAD=∠DAC,再根据三角形外角的性质可得∠EFD=∠DAC+∠AEB,∠ADC=∠ABC+∠BAD,进而得到结论.
(2) 类似(1)可得∠BAD=∠DAG,再根据对顶角相等得∠FAE=∠DAG=∠BAD,从而根据外角的性质可得∠EFD=∠AEB−∠FAE,∠ADC=∠ABC−∠BAD,进而得到结论.
解题示范 (学生在教师指导下,独立完成)
解:
答案：解：
(1) 证明：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD = ∠DAC。
由三角形外角的性质可得：
∠EFD = ∠DAC + ∠AEB，
∠ADC = ∠ABC + ∠BAD，
又∵∠AEB = ∠ABC，
∴∠DAC + ∠AEB = ∠BAD + ∠ABC，
即∠EFD = ∠ADC。
(2) (1)中结论仍成立，理由如下：
∵AD平分∠BAG，
∴∠GAD = ∠BAD。
∵∠FAE = ∠GAD，
∴∠FAE = ∠BAD。
由三角形外角的性质可得：
∠AEB = ∠EFD + ∠FAE，即∠EFD = ∠AEB - ∠FAE，
∠ABC = ∠ADC + ∠BAD，即∠ADC = ∠ABC - ∠BAD，
又∵∠AEB = ∠ABC，
∴∠AEB - ∠FAE = ∠ABC - ∠BAD，
即∠EFD = ∠ADC。
(1) 证明：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD = ∠DAC。
由三角形外角的性质可得：
∠EFD = ∠DAC + ∠AEB，
∠ADC = ∠ABC + ∠BAD，
又∵∠AEB = ∠ABC，
∴∠DAC + ∠AEB = ∠BAD + ∠ABC，
即∠EFD = ∠ADC。
(2) (1)中结论仍成立，理由如下：
∵AD平分∠BAG，
∴∠GAD = ∠BAD。
∵∠FAE = ∠GAD，
∴∠FAE = ∠BAD。
由三角形外角的性质可得：
∠AEB = ∠EFD + ∠FAE，即∠EFD = ∠AEB - ∠FAE，
∠ABC = ∠ADC + ∠BAD，即∠ADC = ∠ABC - ∠BAD，
又∵∠AEB = ∠ABC，
∴∠AEB - ∠FAE = ∠ABC - ∠BAD，
即∠EFD = ∠ADC。
解析：
【分析】
(1) 要证明∠EFD=∠ADC，首先根据角平分线的定义得到一组等角∠BAD=∠DAC，再利用三角形外角的性质，分别将两个待证角拆分为两个角的和，结合已知∠AEB=∠ABC，通过等量代换即可完成证明。
(2) 探究结论是否成立时，先由外角的角平分线定义得到∠GAD=∠BAD，结合对顶角相等推出∠FAE=∠BAD，再利用三角形外角的性质，将两个待证角表示为两个角的差，结合已知∠AEB=∠ABC等量代换，即可判断结论是否成立。
【解析】
(1) 证明：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD = ∠DAC。
由三角形外角的性质可得：
∠EFD = ∠DAC + ∠AEB，
∠ADC = ∠ABC + ∠BAD，
又
∵∠AEB = ∠ABC，
∴∠DAC + ∠AEB = ∠BAD + ∠ABC，
即∠EFD = ∠ADC。
(2) (1)中结论仍成立，理由如下：
∵AD平分∠BAG，
∴∠GAD = ∠BAD。
∵∠FAE = ∠GAD，
∴∠FAE = ∠BAD。
由三角形外角的性质可得：
∠AEB = ∠EFD + ∠FAE，即∠EFD = ∠AEB - ∠FAE，
∠ABC = ∠ADC + ∠BAD，即∠ADC = ∠ABC - ∠BAD，
又
∵∠AEB = ∠ABC，
∴∠AEB - ∠FAE = ∠ABC - ∠BAD，
即∠EFD = ∠ADC。
【答案】
(1) 可证得∠EFD=∠ADC；
(2) (1)中结论仍成立，∠EFD=∠ADC。
【知识点】
角平分线的定义；三角形外角的性质；对顶角的性质
【点评】
本题是三角形角度关系的典型题，核心思路是通过外角性质将待证角转化为含已知等角的表达式，再借助等量代换完成推导，两种情形的解法逻辑一致，能很好地考查知识的迁移应用能力。
【难度系数】
0.65
(1) 要证明∠EFD=∠ADC，首先根据角平分线的定义得到一组等角∠BAD=∠DAC，再利用三角形外角的性质，分别将两个待证角拆分为两个角的和，结合已知∠AEB=∠ABC，通过等量代换即可完成证明。
(2) 探究结论是否成立时，先由外角的角平分线定义得到∠GAD=∠BAD，结合对顶角相等推出∠FAE=∠BAD，再利用三角形外角的性质，将两个待证角表示为两个角的差，结合已知∠AEB=∠ABC等量代换，即可判断结论是否成立。
【解析】
(1) 证明：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD = ∠DAC。
由三角形外角的性质可得：
∠EFD = ∠DAC + ∠AEB，
∠ADC = ∠ABC + ∠BAD，
又
∵∠AEB = ∠ABC，
∴∠DAC + ∠AEB = ∠BAD + ∠ABC，
即∠EFD = ∠ADC。
(2) (1)中结论仍成立，理由如下：
∵AD平分∠BAG，
∴∠GAD = ∠BAD。
∵∠FAE = ∠GAD，
∴∠FAE = ∠BAD。
由三角形外角的性质可得：
∠AEB = ∠EFD + ∠FAE，即∠EFD = ∠AEB - ∠FAE，
∠ABC = ∠ADC + ∠BAD，即∠ADC = ∠ABC - ∠BAD，
又
∵∠AEB = ∠ABC，
∴∠AEB - ∠FAE = ∠ABC - ∠BAD，
即∠EFD = ∠ADC。
【答案】
(1) 可证得∠EFD=∠ADC；
(2) (1)中结论仍成立，∠EFD=∠ADC。
【知识点】
角平分线的定义；三角形外角的性质；对顶角的性质
【点评】
本题是三角形角度关系的典型题，核心思路是通过外角性质将待证角转化为含已知等角的表达式，再借助等量代换完成推导，两种情形的解法逻辑一致，能很好地考查知识的迁移应用能力。
【难度系数】
0.65
1. 下列说法中正确的是 （
A.钝角三角形的外角中有两个锐角
B.直角三角形的外角中有三个直角
C.三角形的内角中至少有两个锐角
D.三角形的内角中至少有一个钝角
C
）A.钝角三角形的外角中有两个锐角
B.直角三角形的外角中有三个直角
C.三角形的内角中至少有两个锐角
D.三角形的内角中至少有一个钝角
答案：1. C.
解析：
【分析】
本题考查三角形内角和定理、三角形外角与相邻内角的互补关系，解题时需逐一分析每个选项，可结合不同类型三角形（锐角、直角、钝角三角形）的内角特点，或用反证法、举反例的方式判断选项正误。首先明确三角形内角和为180°，任意一个外角和它相邻的内角相加为180°，再对每个选项逐一验证即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：钝角三角形仅1个内角是钝角，其余2个内角为锐角。根据外角与相邻内角互补，钝角对应的外角是锐角，2个锐角对应的外角是钝角，因此钝角三角形的外角只有1个锐角，A错误。
B选项：直角三角形仅1个内角是直角，其余2个内角为锐角。直角对应的外角是直角，2个锐角对应的外角是钝角，因此直角三角形的外角只有1个直角，B错误。
C选项：假设三角形内角中锐角个数少于2个，即只有1个或0个锐角，那么剩余的2个或3个内角均≥90°，所有内角和就会≥90°×2=180°，与三角形内角和为180°矛盾，因此三角形的内角中至少有两个锐角，C正确。
D选项：锐角三角形的3个内角都是锐角，不存在钝角，因此该说法不成立，D错误。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角相关性质的基础考查题，重点要求学生掌握不同类型三角形的内角特征，以及内外角的互补关系，解题时灵活运用举反例、反证法可以快速排除错误选项。
【难度系数】
0.8
本题考查三角形内角和定理、三角形外角与相邻内角的互补关系，解题时需逐一分析每个选项，可结合不同类型三角形（锐角、直角、钝角三角形）的内角特点，或用反证法、举反例的方式判断选项正误。首先明确三角形内角和为180°，任意一个外角和它相邻的内角相加为180°，再对每个选项逐一验证即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：钝角三角形仅1个内角是钝角，其余2个内角为锐角。根据外角与相邻内角互补，钝角对应的外角是锐角，2个锐角对应的外角是钝角，因此钝角三角形的外角只有1个锐角，A错误。
B选项：直角三角形仅1个内角是直角，其余2个内角为锐角。直角对应的外角是直角，2个锐角对应的外角是钝角，因此直角三角形的外角只有1个直角，B错误。
C选项：假设三角形内角中锐角个数少于2个，即只有1个或0个锐角，那么剩余的2个或3个内角均≥90°，所有内角和就会≥90°×2=180°，与三角形内角和为180°矛盾，因此三角形的内角中至少有两个锐角，C正确。
D选项：锐角三角形的3个内角都是锐角，不存在钝角，因此该说法不成立，D错误。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角相关性质的基础考查题，重点要求学生掌握不同类型三角形的内角特征，以及内外角的互补关系，解题时灵活运用举反例、反证法可以快速排除错误选项。
【难度系数】
0.8
2. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则$∠α$的大小为（
A.$85°$
B.$75°$
C.$65°$
D.$60°$
B
）A.$85°$
B.$75°$
C.$65°$
D.$60°$
答案：2. B.
解析：
【分析】
解题前首先回忆一副三角尺的固定角度：一个三角尺的三个角为30°、60°、90°，另一个等腰直角三角尺的三个角为45°、45°、90°。观察图形结构，我们可以利用三角形外角的性质求解∠α：先找到∠α作为三角形外角对应的两个不相邻的内角，分别是两个三角尺的30°角和45°角，根据外角性质直接相加即可得到∠α的度数；也可以利用三角形内角和定理，先求出∠α所在三角形其余两个内角的度数，再用180°减去两个内角度数和得到结果。
【解析】
解：已知一副三角尺的角度分别为30°、60°、90°和45°、45°、90°。
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
观察图形可得，∠α是某三角形的外角，与它不相邻的两个内角分别为30°和45°，因此：
∠α=30°+45°=75°
【答案】
B
【知识点】
三角形外角性质，三角尺角度特征
【点评】
本题属于基础题，重点考查对三角尺固定角度的识记，以及三角形外角性质的灵活运用，只要准确识别图形中的角度关系，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题前首先回忆一副三角尺的固定角度：一个三角尺的三个角为30°、60°、90°，另一个等腰直角三角尺的三个角为45°、45°、90°。观察图形结构，我们可以利用三角形外角的性质求解∠α：先找到∠α作为三角形外角对应的两个不相邻的内角，分别是两个三角尺的30°角和45°角，根据外角性质直接相加即可得到∠α的度数；也可以利用三角形内角和定理，先求出∠α所在三角形其余两个内角的度数，再用180°减去两个内角度数和得到结果。
【解析】
解：已知一副三角尺的角度分别为30°、60°、90°和45°、45°、90°。
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
观察图形可得，∠α是某三角形的外角，与它不相邻的两个内角分别为30°和45°，因此：
∠α=30°+45°=75°
【答案】
B
【知识点】
三角形外角性质，三角尺角度特征
【点评】
本题属于基础题，重点考查对三角尺固定角度的识记，以及三角形外角性质的灵活运用，只要准确识别图形中的角度关系，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8