如图,在$△ ABC$中,$AD$是$BC$边上的高,$AE$是$∠ BAC$的平分线.
(1)若$∠ B＝65°,∠ C＝45°$,求$∠ DAE$的度数；
(2)若$∠ B＞∠ C$,猜想$∠ B,∠ C$和$∠ DAE$之间有怎样的数量关系,并说明你的理由.
(1)若$∠ B＝65°,∠ C＝45°$,求$∠ DAE$的度数；
(2)若$∠ B＞∠ C$,猜想$∠ B,∠ C$和$∠ DAE$之间有怎样的数量关系,并说明你的理由.
答案：(1) $∠ DAE$ 的度数是 $10°$；
(2) $∠ DAE=\frac{1}{2}(∠ B-∠ C)$. 理由: $\because AD$ 是 $BC$ 边上的高,
$\therefore ∠ ADE=90°, \therefore ∠ DAC=90°-∠ C. \because ∠ BAC+∠ B+∠ C=180°, \therefore ∠ BAC=180°-∠ B-∠ C.$ 又
$\because AE$ 是 $∠ BAC$ 的平分线, $\therefore ∠ EAC=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}(180°-∠ B-∠ C)=90°-\frac{1}{2}∠ B-\frac{1}{2}∠ C,$
$\therefore ∠ DAE=∠ DAC-∠ EAC=90°-∠ C-(90°-\frac{1}{2}∠ B-\frac{1}{2}∠ C)=\frac{1}{2}(∠ B-∠ C).$
(2) $∠ DAE=\frac{1}{2}(∠ B-∠ C)$. 理由: $\because AD$ 是 $BC$ 边上的高,
$\therefore ∠ ADE=90°, \therefore ∠ DAC=90°-∠ C. \because ∠ BAC+∠ B+∠ C=180°, \therefore ∠ BAC=180°-∠ B-∠ C.$ 又
$\because AE$ 是 $∠ BAC$ 的平分线, $\therefore ∠ EAC=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}(180°-∠ B-∠ C)=90°-\frac{1}{2}∠ B-\frac{1}{2}∠ C,$
$\therefore ∠ DAE=∠ DAC-∠ EAC=90°-∠ C-(90°-\frac{1}{2}∠ B-\frac{1}{2}∠ C)=\frac{1}{2}(∠ B-∠ C).$
解析：
【分析】
解决本题的核心是利用三角形内角和定理、角平分线的定义以及直角三角形两锐角互余的性质，将所求角转化为已知角的和差关系。第(1)问先计算出$△ ABC$的顶角$∠ BAC$，再分别求出$∠ EAC$和$∠ DAC$，两者作差即可得到$∠ DAE$的度数；第(2)问沿用第(1)问的推导思路，将具体角度替换为$∠ B$、$∠ C$，通过代数化简即可得到三者的数量关系。
【解析】
(1) 在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 65° - 45° = 70°$
$\because AE$是$∠ BAC$的平分线，
$\therefore ∠ EAC = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2} × 70° = 35°$
$\because AD$是$BC$边上的高，$\therefore ∠ ADC = 90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ DAC = 90° - ∠ C = 90° - 45° = 45°$
$\therefore ∠ DAE = ∠ DAC - ∠ EAC = 45° - 35° = 10°$
(2) 数量关系为$∠ DAE=\frac{1}{2}(∠ B-∠ C)$，理由如下：
$\because AD$是$BC$边上的高，$\therefore ∠ ADE=90°$，
$\therefore ∠ DAC = 90° - ∠ C$
在$△ ABC$中，$∠ BAC + ∠ B + ∠ C = 180°$，
$\therefore ∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C$
$\because AE$是$∠ BAC$的平分线，
$\therefore ∠ EAC = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2}(180° - ∠ B - ∠ C) = 90° - \frac{1}{2}∠ B - \frac{1}{2}∠ C$
$\therefore ∠ DAE = ∠ DAC - ∠ EAC = 90° - ∠ C - (90° - \frac{1}{2}∠ B - \frac{1}{2}∠ C) = \frac{1}{2}(∠ B - ∠ C)$
【答案】
(1) $∠ DAE$的度数是$\boxed{10°}$；
(2) $\boxed{∠ DAE=\frac{1}{2}(∠ B-∠ C)}$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形角度计算的典型题型，需要熟练掌握三角形的基础性质，解题时注意将未知角转化为已知角的和差形式，从特殊值计算到一般关系推导的过程，能有效提升逻辑推理和代数化简能力。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是利用三角形内角和定理、角平分线的定义以及直角三角形两锐角互余的性质，将所求角转化为已知角的和差关系。第(1)问先计算出$△ ABC$的顶角$∠ BAC$，再分别求出$∠ EAC$和$∠ DAC$，两者作差即可得到$∠ DAE$的度数；第(2)问沿用第(1)问的推导思路，将具体角度替换为$∠ B$、$∠ C$，通过代数化简即可得到三者的数量关系。
【解析】
(1) 在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 65° - 45° = 70°$
$\because AE$是$∠ BAC$的平分线，
$\therefore ∠ EAC = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2} × 70° = 35°$
$\because AD$是$BC$边上的高，$\therefore ∠ ADC = 90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ DAC = 90° - ∠ C = 90° - 45° = 45°$
$\therefore ∠ DAE = ∠ DAC - ∠ EAC = 45° - 35° = 10°$
(2) 数量关系为$∠ DAE=\frac{1}{2}(∠ B-∠ C)$，理由如下：
$\because AD$是$BC$边上的高，$\therefore ∠ ADE=90°$，
$\therefore ∠ DAC = 90° - ∠ C$
在$△ ABC$中，$∠ BAC + ∠ B + ∠ C = 180°$，
$\therefore ∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C$
$\because AE$是$∠ BAC$的平分线，
$\therefore ∠ EAC = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2}(180° - ∠ B - ∠ C) = 90° - \frac{1}{2}∠ B - \frac{1}{2}∠ C$
$\therefore ∠ DAE = ∠ DAC - ∠ EAC = 90° - ∠ C - (90° - \frac{1}{2}∠ B - \frac{1}{2}∠ C) = \frac{1}{2}(∠ B - ∠ C)$
【答案】
(1) $∠ DAE$的度数是$\boxed{10°}$；
(2) $\boxed{∠ DAE=\frac{1}{2}(∠ B-∠ C)}$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形角度计算的典型题型，需要熟练掌握三角形的基础性质，解题时注意将未知角转化为已知角的和差形式，从特殊值计算到一般关系推导的过程，能有效提升逻辑推理和代数化简能力。
【难度系数】
0.7
1. 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，延长BC到D，则∠ACD=
（第1题）
80
°。（第1题）答案：1. 80.
解析：
【分析】
首先观察图形，点D在BC的延长线上，因此∠ACD是△ABC的外角。解题有两种思路：思路1：回忆三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，本题中与∠ACD不相邻的内角是∠A和∠B，直接将两个角的度数相加即可得到结果；思路2：若暂时不熟悉外角性质，可先利用三角形内角和为180°计算出△ABC中∠ACB的度数，再根据∠ACB与∠ACD组成平角（和为180°），间接求出∠ACD的度数。
【解析】
方法一（利用外角性质）：
∵∠ACD是△ABC的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴∠ACD = ∠A + ∠B，
又已知∠A=30°，∠B=50°，
代入得∠ACD = 30° + 50° = 80°。
方法二（利用内角和+平角定义）：
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，
得∠ACB = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 30° - 50° = 100°，
∵B、C、D在同一直线上，∠ACB与∠ACD组成平角，
∴∠ACD = 180° - ∠ACB = 180° - 100° = 80°。
【答案】
80
【知识点】
三角形外角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础考点题型，主要考查三角形角的相关性质的应用，两种解题思路都围绕三角形角的基础性质展开，计算量小，掌握基础定理即可快速得分。
【难度系数】
0.9
首先观察图形，点D在BC的延长线上，因此∠ACD是△ABC的外角。解题有两种思路：思路1：回忆三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，本题中与∠ACD不相邻的内角是∠A和∠B，直接将两个角的度数相加即可得到结果；思路2：若暂时不熟悉外角性质，可先利用三角形内角和为180°计算出△ABC中∠ACB的度数，再根据∠ACB与∠ACD组成平角（和为180°），间接求出∠ACD的度数。
【解析】
方法一（利用外角性质）：
∵∠ACD是△ABC的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴∠ACD = ∠A + ∠B，
又已知∠A=30°，∠B=50°，
代入得∠ACD = 30° + 50° = 80°。
方法二（利用内角和+平角定义）：
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，
得∠ACB = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 30° - 50° = 100°，
∵B、C、D在同一直线上，∠ACB与∠ACD组成平角，
∴∠ACD = 180° - ∠ACB = 180° - 100° = 80°。
【答案】
80
【知识点】
三角形外角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础考点题型，主要考查三角形角的相关性质的应用，两种解题思路都围绕三角形角的基础性质展开，计算量小，掌握基础定理即可快速得分。
【难度系数】
0.9
2. 如图，∠1，∠2，∠3是△ABC的三个不同的外角，则∠1+∠2+∠3=
360
答案：2. 360.
解析：
【分析】
要计算三角形三个不同外角的和，我们可以结合邻补角的性质和三角形内角和定理推导：首先，三角形的每个外角与它相邻的内角互为邻补角，二者之和为180°，先求出三个外角与对应三个相邻内角的总和，再减去三角形三个内角的和，即可得到三个外角的和。也可以利用“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和”的性质，直接相加推导结果。
【解析】
已知∠1与△ABC的内角∠BAC互为邻补角，因此$∠ 1 + ∠ BAC = 180°$；
同理可得：$∠ 2 + ∠ ABC = 180°$，$∠ 3 + ∠ ACB = 180°$；
将三个等式左右两边分别相加，得：
$∠ 1 + ∠ BAC + ∠ 2 + ∠ ABC + ∠ 3 + ∠ ACB = 180°×3 = 540°$；
根据三角形内角和定理，△ABC的内角和为$∠ BAC + ∠ ABC + ∠ ACB = 180°$；
将其代入上式可得：$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = 540° - 180° = 360°$。
【答案】
360
【知识点】
三角形内角和定理，邻补角的性质，三角形外角和
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是推导三角形的外角和，解题关键是熟练掌握邻补角性质和三角形内角和定理，通过本题需要牢记任意三角形的外角和均为360°，可直接用于后续相关题目的计算。
【难度系数】
0.9
要计算三角形三个不同外角的和，我们可以结合邻补角的性质和三角形内角和定理推导：首先，三角形的每个外角与它相邻的内角互为邻补角，二者之和为180°，先求出三个外角与对应三个相邻内角的总和，再减去三角形三个内角的和，即可得到三个外角的和。也可以利用“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和”的性质，直接相加推导结果。
【解析】
已知∠1与△ABC的内角∠BAC互为邻补角，因此$∠ 1 + ∠ BAC = 180°$；
同理可得：$∠ 2 + ∠ ABC = 180°$，$∠ 3 + ∠ ACB = 180°$；
将三个等式左右两边分别相加，得：
$∠ 1 + ∠ BAC + ∠ 2 + ∠ ABC + ∠ 3 + ∠ ACB = 180°×3 = 540°$；
根据三角形内角和定理，△ABC的内角和为$∠ BAC + ∠ ABC + ∠ ACB = 180°$；
将其代入上式可得：$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = 540° - 180° = 360°$。
【答案】
360
【知识点】
三角形内角和定理，邻补角的性质，三角形外角和
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是推导三角形的外角和，解题关键是熟练掌握邻补角性质和三角形内角和定理，通过本题需要牢记任意三角形的外角和均为360°，可直接用于后续相关题目的计算。
【难度系数】
0.9
3. 如图，把一副常用的三角板如图所示拼在一起，那么图中∠ABF=
15°
答案：3. 15°.
解析：
【分析】
首先明确常用三角板的固定内角度数：含30°角的直角三角板的锐角为30°、60°，等腰直角三角板的锐角为45°。观察图形可知∠F=30°，∠EAD=45°，再判断∠EAD是△ABF的外角，利用三角形外角的性质即可列式求出∠ABF的度数。
【解析】
解：由常用三角板的角度特征可知：
∠F=30°，∠EAD=45°。
∵∠EAD是△ABF的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴∠EAD = ∠F + ∠ABF，
∴∠ABF = ∠EAD - ∠F = 45° - 30° = 15°。
【答案】
15°
【知识点】
三角板角度特征，三角形外角的性质，角度计算
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的关键是熟记三角板的固定角度，正确识别三角形的外角，结合外角性质进行简单计算即可。
【难度系数】
0.8
首先明确常用三角板的固定内角度数：含30°角的直角三角板的锐角为30°、60°，等腰直角三角板的锐角为45°。观察图形可知∠F=30°，∠EAD=45°，再判断∠EAD是△ABF的外角，利用三角形外角的性质即可列式求出∠ABF的度数。
【解析】
解：由常用三角板的角度特征可知：
∠F=30°，∠EAD=45°。
∵∠EAD是△ABF的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴∠EAD = ∠F + ∠ABF，
∴∠ABF = ∠EAD - ∠F = 45° - 30° = 15°。
【答案】
15°
【知识点】
三角板角度特征，三角形外角的性质，角度计算
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的关键是熟记三角板的固定角度，正确识别三角形的外角，结合外角性质进行简单计算即可。
【难度系数】
0.8
4. 若三角形三个外角的度数比为2：3：4，则与之对应的三个内角的度数比为
5:3:1
。答案：4. 5:3:1.
解析：
【分析】
解决这道题首先要明确两个核心知识点：一是三角形的外角和等于360°，二是每个内角与其对应的外角互为邻补角，和为180°。解题时可以先用设参数的方法，根据外角度数的比设出三个外角的度数，结合外角和列方程求出参数的值，进而得到每个外角的度数，再求出对应内角的度数，最后化简得到三个内角的度数比即可。
【解析】
设三角形三个外角的度数分别为$2x$、$3x$、$4x$。
根据三角形外角和为$360°$，可列方程：
$2x + 3x + 4x = 360°$
合并同类项得：$9x = 360°$
解得：$x = 40°$
所以三个外角的度数分别为：
$2x = 2×40° = 80°$，$3x = 3×40° = 120°$，$4x = 4×40° = 160°$
因为每个内角与对应外角和为$180°$，所以对应的三个内角度数分别为：
$180° - 80° = 100°$，$180° - 120° = 60°$，$180° - 160° = 20°$
则三个内角的度数比为：$100°:60°:20° = 5:3:1$
【答案】
5:3:1
【知识点】
三角形外角和定理；邻补角的性质；比例的计算
【点评】
本题是三角形外角相关的基础题型，解题关键是熟练掌握三角形外角和为360°的性质，用设参数的方法处理比例问题，可以快速求出未知角度，再结合内角和外角的互补关系转化得到内角度数即可。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要明确两个核心知识点：一是三角形的外角和等于360°，二是每个内角与其对应的外角互为邻补角，和为180°。解题时可以先用设参数的方法，根据外角度数的比设出三个外角的度数，结合外角和列方程求出参数的值，进而得到每个外角的度数，再求出对应内角的度数，最后化简得到三个内角的度数比即可。
【解析】
设三角形三个外角的度数分别为$2x$、$3x$、$4x$。
根据三角形外角和为$360°$，可列方程：
$2x + 3x + 4x = 360°$
合并同类项得：$9x = 360°$
解得：$x = 40°$
所以三个外角的度数分别为：
$2x = 2×40° = 80°$，$3x = 3×40° = 120°$，$4x = 4×40° = 160°$
因为每个内角与对应外角和为$180°$，所以对应的三个内角度数分别为：
$180° - 80° = 100°$，$180° - 120° = 60°$，$180° - 160° = 20°$
则三个内角的度数比为：$100°:60°:20° = 5:3:1$
【答案】
5:3:1
【知识点】
三角形外角和定理；邻补角的性质；比例的计算
【点评】
本题是三角形外角相关的基础题型，解题关键是熟练掌握三角形外角和为360°的性质，用设参数的方法处理比例问题，可以快速求出未知角度，再结合内角和外角的互补关系转化得到内角度数即可。
【难度系数】
0.8