6. 解方程：
(1) $\dfrac{2x - 5}{x - 2} = \dfrac{3x - 3}{x - 2} - 3$；
(2) $\dfrac{2 - x}{x - 3} = \dfrac{1}{3 - x} - 2$。
(1) $\dfrac{2x - 5}{x - 2} = \dfrac{3x - 3}{x - 2} - 3$；
(2) $\dfrac{2 - x}{x - 3} = \dfrac{1}{3 - x} - 2$。
答案：6. (1) $x=4$；(2) 无解.
解析：
【分析】
解分式方程的核心是将分式方程转化为整式方程求解，具体思考路径如下：①先观察方程的分母，确定最简公分母，同时明确分母不能为0的取值范围；②方程两边同时乘最简公分母，注意每一项都要乘，不能漏乘不含分母的常数项，去掉分母后得到整式方程；③解所得的整式方程；④必须检验：将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母不为0，该解就是原分式方程的解，若最简公分母为0，该解是增根，原方程无解。
【解析】
(1) 方程$\dfrac{2x - 5}{x - 2} = \dfrac{3x - 3}{x - 2} - 3$的最简公分母为$x-2$，且$x≠2$。
方程两边同时乘$(x-2)$，去分母得：
$2x - 5 = 3x - 3 - 3(x-2)$
展开右边并化简：
$2x -5 = 3x -3 -3x +6$
$2x -5 = 3$
移项得：$2x = 8$
解得：$x=4$
检验：把$x=4$代入$x-2$，得$4-2=2≠0$，因此$x=4$是原方程的解。
(2) 方程$\dfrac{2 - x}{x - 3} = \dfrac{1}{3 - x} - 2$中，$3-x=-(x-3)$，最简公分母为$x-3$，且$x≠3$。
方程两边同时乘$(x-3)$，去分母得：
$2 - x = -1 - 2(x-3)$
展开右边并化简：
$2 -x = -1 -2x +6$
$2 -x = 5 -2x$
移项得：$-x +2x = 5 -2$
解得：$x=3$
检验：把$x=3$代入$x-3$，得$3-3=0$，因此$x=3$是增根，原方程无解。
【答案】
(1) $x=4$；(2) 无解
【知识点】
分式方程的解法，分式方程的检验，增根的识别
【点评】
这两道题是分式方程求解的基础典型题，重点考查去分母和检验两个核心步骤，去分母时注意不要漏乘常数项，检验是解分式方程必不可少的步骤，不可省略。
【难度系数】
0.7
解分式方程的核心是将分式方程转化为整式方程求解，具体思考路径如下：①先观察方程的分母，确定最简公分母，同时明确分母不能为0的取值范围；②方程两边同时乘最简公分母，注意每一项都要乘，不能漏乘不含分母的常数项，去掉分母后得到整式方程；③解所得的整式方程；④必须检验：将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母不为0，该解就是原分式方程的解，若最简公分母为0，该解是增根，原方程无解。
【解析】
(1) 方程$\dfrac{2x - 5}{x - 2} = \dfrac{3x - 3}{x - 2} - 3$的最简公分母为$x-2$，且$x≠2$。
方程两边同时乘$(x-2)$，去分母得：
$2x - 5 = 3x - 3 - 3(x-2)$
展开右边并化简：
$2x -5 = 3x -3 -3x +6$
$2x -5 = 3$
移项得：$2x = 8$
解得：$x=4$
检验：把$x=4$代入$x-2$，得$4-2=2≠0$，因此$x=4$是原方程的解。
(2) 方程$\dfrac{2 - x}{x - 3} = \dfrac{1}{3 - x} - 2$中，$3-x=-(x-3)$，最简公分母为$x-3$，且$x≠3$。
方程两边同时乘$(x-3)$，去分母得：
$2 - x = -1 - 2(x-3)$
展开右边并化简：
$2 -x = -1 -2x +6$
$2 -x = 5 -2x$
移项得：$-x +2x = 5 -2$
解得：$x=3$
检验：把$x=3$代入$x-3$，得$3-3=0$，因此$x=3$是增根，原方程无解。
【答案】
(1) $x=4$；(2) 无解
【知识点】
分式方程的解法，分式方程的检验，增根的识别
【点评】
这两道题是分式方程求解的基础典型题，重点考查去分母和检验两个核心步骤，去分母时注意不要漏乘常数项，检验是解分式方程必不可少的步骤，不可省略。
【难度系数】
0.7
7. 若$x=3$是分式方程$\frac{a-2}{x} - \frac{1}{x-2}=0$的根，求$a$的值.
答案：7. 提示:将$x=3$代入分式方程,得$\frac{a-2}{3}-1=0$,解得 $a=5$.
解析：
【分析】
首先回忆方程的根的定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的根。已知$x=3$是给定分式方程的根，因此将$x=3$代入原分式方程，原方程就会转化为仅含未知数$a$的一元一次方程，解这个一元一次方程就能求出$a$的值。
【解析】
解：$\because x=3$是分式方程$\frac{a-2}{x} - \frac{1}{x-2}=0$的根
$\therefore$将$x=3$代入原方程，等式成立，可得：
$\frac{a-2}{3} - \frac{1}{3-2} = 0$
化简得：$\frac{a-2}{3} - 1 = 0$
移项得：$\frac{a-2}{3}=1$
两边同时乘3得：$a-2=3$
解得：$a=5$
【答案】
$a=5$
【知识点】
分式方程的根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是基础应用类题型，核心考查方程根的概念的应用，解题关键是将已知根代入原方程，把参数求解问题转化为常见的一元一次方程求解问题，计算难度低，容易掌握。
【难度系数】
0.9
首先回忆方程的根的定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的根。已知$x=3$是给定分式方程的根，因此将$x=3$代入原分式方程，原方程就会转化为仅含未知数$a$的一元一次方程，解这个一元一次方程就能求出$a$的值。
【解析】
解：$\because x=3$是分式方程$\frac{a-2}{x} - \frac{1}{x-2}=0$的根
$\therefore$将$x=3$代入原方程，等式成立，可得：
$\frac{a-2}{3} - \frac{1}{3-2} = 0$
化简得：$\frac{a-2}{3} - 1 = 0$
移项得：$\frac{a-2}{3}=1$
两边同时乘3得：$a-2=3$
解得：$a=5$
【答案】
$a=5$
【知识点】
分式方程的根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是基础应用类题型，核心考查方程根的概念的应用，解题关键是将已知根代入原方程，把参数求解问题转化为常见的一元一次方程求解问题，计算难度低，容易掌握。
【难度系数】
0.9
8. 关于$x$的方程$\frac{a}{x-4}+1=\frac{1-2x}{4-x}$有非负数解，求$a$的取值范围。
答案：8. 解:两边同时乘$(x-4)$,得$a+x-4=-(1-2x)$,解得 $x=a-3$,由题意可知,$x≥0$,且$x≠4$,$\therefore \begin{cases}a-3≥0,\\a-3≠4,\end{cases}$解得 $a≥ 3$且$a≠7$.
解析：
【分析】
本题是含参数的分式方程求参数取值范围的问题，解题思路可分为三步：①先将分式方程去分母转化为整式方程，解出用参数a表示的未知数x；②结合题意明确约束条件：一是方程的解为非负数，即x≥0；二是分式方程分母不能为0，即x≠4，避免出现增根；③将用a表示的x代入约束条件，列不等式组求解即可得到a的取值范围。
【解析】
解：原方程两边同时乘最简公分母$(x-4)$，注意$4-x=-(x-4)$，去分母得：
$a + x - 4 = -(1 - 2x)$
整理求解整式方程：
$a + x - 4 = 2x - 1$
移项得：$x = a - 3$
由题意，方程有非负数解，且分母不为0，可得：
$\begin{cases}a-3≥0 \\ a-3≠4\end{cases}$
解第一个不等式得$a≥3$，解第二个不等式得$a≠7$
综上，$a$的取值范围是$a≥3$且$a≠7$。
【答案】
$a≥ 3$且$a≠7$
【知识点】
分式方程的解法，分式有意义的条件，解一元一次不等式组
【点评】
本题是分式方程中求参数范围的典型题型，核心易错点是容易忽略分式分母不为0的要求，漏掉排除增根的步骤，解题时需同时满足题目的解的限制条件和分式有意义的条件。
【难度系数】
0.6
本题是含参数的分式方程求参数取值范围的问题，解题思路可分为三步：①先将分式方程去分母转化为整式方程，解出用参数a表示的未知数x；②结合题意明确约束条件：一是方程的解为非负数，即x≥0；二是分式方程分母不能为0，即x≠4，避免出现增根；③将用a表示的x代入约束条件，列不等式组求解即可得到a的取值范围。
【解析】
解：原方程两边同时乘最简公分母$(x-4)$，注意$4-x=-(x-4)$，去分母得：
$a + x - 4 = -(1 - 2x)$
整理求解整式方程：
$a + x - 4 = 2x - 1$
移项得：$x = a - 3$
由题意，方程有非负数解，且分母不为0，可得：
$\begin{cases}a-3≥0 \\ a-3≠4\end{cases}$
解第一个不等式得$a≥3$，解第二个不等式得$a≠7$
综上，$a$的取值范围是$a≥3$且$a≠7$。
【答案】
$a≥ 3$且$a≠7$
【知识点】
分式方程的解法，分式有意义的条件，解一元一次不等式组
【点评】
本题是分式方程中求参数范围的典型题型，核心易错点是容易忽略分式分母不为0的要求，漏掉排除增根的步骤，解题时需同时满足题目的解的限制条件和分式有意义的条件。
【难度系数】
0.6
关于$x$的方程$\frac{1}{x}+\frac{x}{1}=2$的解是$x=1$；$\frac{2}{x}+\frac{x}{2}=2$的解是$x=2$；$\frac{3}{x}+\frac{x}{3}=2$的解是$x=3$；$-\frac{2}{x}-\frac{x}{2}=2$（即$\frac{-2}{x}+\frac{x}{-2}=2$）的解是$x=-2$。
（1）请观察上述方程与解的特征，猜想关于$x$的方程$\frac{m}{x}+\frac{x}{m}=2$（$m≠0$）的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证。
（2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可得到以下结论：如果方程表示一个未知数倒数的$a$倍与这个未知数的$\frac{1}{a}$的和等于$2$，那么这个方程的解是$x=a$。请用这个结论解关于$x$的方程：
（1）请观察上述方程与解的特征，猜想关于$x$的方程$\frac{m}{x}+\frac{x}{m}=2$（$m≠0$）的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证。
（2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可得到以下结论：如果方程表示一个未知数倒数的$a$倍与这个未知数的$\frac{1}{a}$的和等于$2$，那么这个方程的解是$x=a$。请用这个结论解关于$x$的方程：
答案：(1) $x=m$,将$x=m$代入验证成立；
(2) $x=\pm\sqrt{a+1}$.
(2) $x=\pm\sqrt{a+1}$.
解析：
【分析】
（1）观察给出的几组方程与解的对应特征，可发现方程$\frac{m}{x}+\frac{x}{m}=2$的解与常数$m$相等，猜想解为$x=m$后，根据方程解的定义，将$x=m$代入原方程，验证左右两边相等且分母不为0即可。
（2）求解第二个方程时，先对原式变形，把$x^2$拆分为$(x^2-a)+a$，消去等号两侧的$a$后，即可将方程转化为“一个整式与它的倒数之和为2”的形式，套用题干给出的结论先求出这个整式的值，再结合$a≥-1$的条件开方求$x$，最后检验分母不为0即可。
【解析】
（1）猜想：关于$x$的方程$\frac{m}{x}+\frac{x}{m}=2$（$m≠0$）的解是$x=m$。
验证：将$x=m$代入原方程左边，得$\frac{m}{m}+\frac{m}{m}=1+1=2$，与方程右边相等，且此时分母$x=m≠0$，符合分式方程的要求，因此$x=m$是方程的解。
（2）对原方程$x^2+\frac{1}{x^2 -a}=2+a$变形：
把$x^2$改写为$(x^2 -a)+a$，代入方程得：
$(x^2 -a)+a+\frac{1}{x^2 -a}=2+a$
两边同时减去$a$，可得：
$(x^2 -a)+\frac{1}{x^2 -a}=2$
将$x^2 -a$看作整体，对照题干结论，可得$x^2 -a=1$，移项得$x^2=a+1$。
已知$a≥-1$，因此$a+1≥0$，开平方得$x=\pm\sqrt{a+1}$。
检验：当$x=\pm\sqrt{a+1}$时，分母$x^2 -a=(a+1)-a=1≠0$，均为原方程的解。
【答案】
(1) 解为$x=m$，验证成立；
(2) $x=\pm\sqrt{a+1}$
【知识点】
分式方程的解，换元法解分式方程，平方根运算
【点评】
本题考查从特殊示例归纳规律的能力，以及利用规律求解复杂分式方程的能力，解题核心是通过变形将陌生方程转化为符合已知结论的形式，注意求解分式方程后要验证分母不为0，结合参数范围判断解的合理性。
【难度系数】
0.6
（1）观察给出的几组方程与解的对应特征，可发现方程$\frac{m}{x}+\frac{x}{m}=2$的解与常数$m$相等，猜想解为$x=m$后，根据方程解的定义，将$x=m$代入原方程，验证左右两边相等且分母不为0即可。
（2）求解第二个方程时，先对原式变形，把$x^2$拆分为$(x^2-a)+a$，消去等号两侧的$a$后，即可将方程转化为“一个整式与它的倒数之和为2”的形式，套用题干给出的结论先求出这个整式的值，再结合$a≥-1$的条件开方求$x$，最后检验分母不为0即可。
【解析】
（1）猜想：关于$x$的方程$\frac{m}{x}+\frac{x}{m}=2$（$m≠0$）的解是$x=m$。
验证：将$x=m$代入原方程左边，得$\frac{m}{m}+\frac{m}{m}=1+1=2$，与方程右边相等，且此时分母$x=m≠0$，符合分式方程的要求，因此$x=m$是方程的解。
（2）对原方程$x^2+\frac{1}{x^2 -a}=2+a$变形：
把$x^2$改写为$(x^2 -a)+a$，代入方程得：
$(x^2 -a)+a+\frac{1}{x^2 -a}=2+a$
两边同时减去$a$，可得：
$(x^2 -a)+\frac{1}{x^2 -a}=2$
将$x^2 -a$看作整体，对照题干结论，可得$x^2 -a=1$，移项得$x^2=a+1$。
已知$a≥-1$，因此$a+1≥0$，开平方得$x=\pm\sqrt{a+1}$。
检验：当$x=\pm\sqrt{a+1}$时，分母$x^2 -a=(a+1)-a=1≠0$，均为原方程的解。
【答案】
(1) 解为$x=m$，验证成立；
(2) $x=\pm\sqrt{a+1}$
【知识点】
分式方程的解，换元法解分式方程，平方根运算
【点评】
本题考查从特殊示例归纳规律的能力，以及利用规律求解复杂分式方程的能力，解题核心是通过变形将陌生方程转化为符合已知结论的形式，注意求解分式方程后要验证分母不为0，结合参数范围判断解的合理性。
【难度系数】
0.6