1. 一个角的平分线的作法，其理论依据是全等三角形判定方法 （
A.AAS
B.ASA
C.SAS
D.SSS
D
）A.AAS
B.ASA
C.SAS
D.SSS
答案：1. D.
解析：
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆角平分线的尺规作图步骤，再找出作图过程中构造的两个三角形的相等元素，对应全等三角形的判定定理即可得出答案。角平分线作图时会通过三次画弧得到两组相等的边，再加上公共边相等，即可匹配到对应的全等判定方法。
【解析】
我们先回顾角平分线的尺规作图过程：
1. 已知∠AOB，以点O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA、OB于点M、N，此时可得$OM=ON$；
2. 分别以点M、N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长度为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点P，此时可得$MP=NP$；
3. 作射线OP，OP就是∠AOB的角平分线。
在△OMP和△ONP中：
$\begin{cases}OM=ON \\MP=NP \\OP=OP \quad (\mathrm{公共边})\end{cases}$
所以△OMP≌△ONP（SSS），由全等三角形对应角相等可得∠MOP=∠NOP，即OP平分∠AOB。因此该作法的理论依据是SSS，故选D。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的尺规作图；全等三角形的判定
【点评】
本题考查尺规作图的原理，需要学生在掌握作图操作步骤的基础上，理解每一步操作对应的几何性质，属于基础类题型，注重对基础概念的考察。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要回忆角平分线的尺规作图步骤，再找出作图过程中构造的两个三角形的相等元素，对应全等三角形的判定定理即可得出答案。角平分线作图时会通过三次画弧得到两组相等的边，再加上公共边相等，即可匹配到对应的全等判定方法。
【解析】
我们先回顾角平分线的尺规作图过程：
1. 已知∠AOB，以点O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA、OB于点M、N，此时可得$OM=ON$；
2. 分别以点M、N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长度为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点P，此时可得$MP=NP$；
3. 作射线OP，OP就是∠AOB的角平分线。
在△OMP和△ONP中：
$\begin{cases}OM=ON \\MP=NP \\OP=OP \quad (\mathrm{公共边})\end{cases}$
所以△OMP≌△ONP（SSS），由全等三角形对应角相等可得∠MOP=∠NOP，即OP平分∠AOB。因此该作法的理论依据是SSS，故选D。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的尺规作图；全等三角形的判定
【点评】
本题考查尺规作图的原理，需要学生在掌握作图操作步骤的基础上，理解每一步操作对应的几何性质，属于基础类题型，注重对基础概念的考察。
【难度系数】
0.8
2. 点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5，点Q是OB边上的任意一点，则下列选项中正确的是（
A.$PQ≤ 5$
B.$PQ＜5$
C.$PQ≥ 5$
D.$PQ＞5$
C
）A.$PQ≤ 5$
B.$PQ＜5$
C.$PQ≥ 5$
D.$PQ＞5$
答案：2. C.
解析：
【分析】
解题思路：首先回忆角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，由此先推出点P到OB边的距离；再结合“垂线段最短”的性质，分析OB上任意一点Q与P连线的长度最小值，即可判断PQ的取值范围。
【解析】
解：
∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴点P到OB边的距离也等于5。
又
∵点到直线的所有线段中，垂线段最短，点Q是OB边上的任意一点，
∴PQ的长度最小为点P到OB的垂线段长度5，即$PQ≥5$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；垂线段最短
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质和垂线段最短的特点，结合题意直接分析即可得出结论。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先回忆角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，由此先推出点P到OB边的距离；再结合“垂线段最短”的性质，分析OB上任意一点Q与P连线的长度最小值，即可判断PQ的取值范围。
【解析】
解：
∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴点P到OB边的距离也等于5。
又
∵点到直线的所有线段中，垂线段最短，点Q是OB边上的任意一点，
∴PQ的长度最小为点P到OB的垂线段长度5，即$PQ≥5$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；垂线段最短
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质和垂线段最短的特点，结合题意直接分析即可得出结论。
【难度系数】
0.8
3. 如图，AD是$△ ABC$中$∠ BAC$的平分线，$DE ⊥ AB$于点E，$S_{△ ABC}=7$，$DE=2$，$AB=4$，则AC的长是
3
。答案：3. 3.
解析：
【分析】
解题时先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此点D到AC的距离等于DE的长度。再观察△ABC的面积可拆分为△ABD和△ACD的面积之和，分别代入两个小三角形的面积公式，结合已知条件即可求出AC的长。
【解析】
过点D作$DF ⊥ AC$于点F。
∵AD是$∠ BAC$的平分线，$DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，
∴根据角平分线的性质，可得$DF=DE=2$。
先计算$△ ABD$的面积：$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} × AB × DE=\frac{1}{2} × 4 × 2=4$。
∵$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}=7$，
∴$S_{△ ACD}=7-4=3$。
又
∵$S_{△ ACD}=\frac{1}{2} × AC × DF$，代入$DF=2$得：
$\frac{1}{2} × AC × 2=3$，
解得$AC=3$。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积公式；面积和差计算
【点评】
本题是角平分线性质的典型应用题型，核心是通过角平分线的性质得到AC边上的高，再利用面积的和差关系建立等量关系求解，熟练掌握面积法和角平分线相关性质可以快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此点D到AC的距离等于DE的长度。再观察△ABC的面积可拆分为△ABD和△ACD的面积之和，分别代入两个小三角形的面积公式，结合已知条件即可求出AC的长。
【解析】
过点D作$DF ⊥ AC$于点F。
∵AD是$∠ BAC$的平分线，$DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，
∴根据角平分线的性质，可得$DF=DE=2$。
先计算$△ ABD$的面积：$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} × AB × DE=\frac{1}{2} × 4 × 2=4$。
∵$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}=7$，
∴$S_{△ ACD}=7-4=3$。
又
∵$S_{△ ACD}=\frac{1}{2} × AC × DF$，代入$DF=2$得：
$\frac{1}{2} × AC × 2=3$，
解得$AC=3$。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积公式；面积和差计算
【点评】
本题是角平分线性质的典型应用题型，核心是通过角平分线的性质得到AC边上的高，再利用面积的和差关系建立等量关系求解，熟练掌握面积法和角平分线相关性质可以快速解题。
【难度系数】
0.7
4. 如图，OP平分$∠ MON$，$PE⊥ OM$于点E，$PF⊥ ON$于点F，$OA=OB$，则图中有
（第4题）
3
对全等三角形。（第4题）答案：4. 3.
解析：
【分析】
解题时结合已知条件按从易到难的顺序找全等三角形：首先利用角平分线得到等角，结合已知的OA=OB、公共边OP，用SAS判定第一组全等；再利用角平分线的性质得到PE=PF，结合公共边OP，用HL判定直角三角形的第二组全等；最后利用前两组全等得到的对应边相等，用HL判定第三组直角三角形全等，数清总对数即可。
【解析】
1. 第一对：$△ OAP ≌ △ OBP$
理由：$\because OP$平分$∠ MON$，$\therefore ∠ AOP=∠ BOP$，
又$\because OA=OB$，$OP=OP$（公共边），
$\therefore △ OAP ≌ △ OBP$（SAS）。
2. 第二对：$△ OPE ≌ △ OPF$
理由：$\because OP$平分$∠ MON$，$PE ⊥ OM$，$PF ⊥ ON$，
$\therefore PE=PF$（角平分线上的点到角两边的距离相等），$∠ OEP=∠ OFP=90°$，
又$\because OP=OP$（公共边），
$\therefore \mathrm{Rt}△ OPE ≌ \mathrm{Rt}△ OPF$（HL）。
3. 第三对：$△ AEP ≌ △ BFP$
理由：由$△ OAP ≌ △ OBP$得$PA=PB$，
由$△ OPE ≌ △ OPF$得$OE=OF$，又$OA=OB$，$\therefore OE-OA=OF-OB$，即$AE=BF$，
又$\because ∠ PEA=∠ PFB=90°$，$PE=PF$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ AEP ≌ \mathrm{Rt}△ BFP$（HL）。
综上，图中共有3对全等三角形。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定
【点评】
本题是全等三角形判定的基础应用题，解题时需要结合已知条件逐步推导，注意不要漏数或多数全等三角形，熟练掌握角平分线的性质和全等三角形的判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时结合已知条件按从易到难的顺序找全等三角形：首先利用角平分线得到等角，结合已知的OA=OB、公共边OP，用SAS判定第一组全等；再利用角平分线的性质得到PE=PF，结合公共边OP，用HL判定直角三角形的第二组全等；最后利用前两组全等得到的对应边相等，用HL判定第三组直角三角形全等，数清总对数即可。
【解析】
1. 第一对：$△ OAP ≌ △ OBP$
理由：$\because OP$平分$∠ MON$，$\therefore ∠ AOP=∠ BOP$，
又$\because OA=OB$，$OP=OP$（公共边），
$\therefore △ OAP ≌ △ OBP$（SAS）。
2. 第二对：$△ OPE ≌ △ OPF$
理由：$\because OP$平分$∠ MON$，$PE ⊥ OM$，$PF ⊥ ON$，
$\therefore PE=PF$（角平分线上的点到角两边的距离相等），$∠ OEP=∠ OFP=90°$，
又$\because OP=OP$（公共边），
$\therefore \mathrm{Rt}△ OPE ≌ \mathrm{Rt}△ OPF$（HL）。
3. 第三对：$△ AEP ≌ △ BFP$
理由：由$△ OAP ≌ △ OBP$得$PA=PB$，
由$△ OPE ≌ △ OPF$得$OE=OF$，又$OA=OB$，$\therefore OE-OA=OF-OB$，即$AE=BF$，
又$\because ∠ PEA=∠ PFB=90°$，$PE=PF$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ AEP ≌ \mathrm{Rt}△ BFP$（HL）。
综上，图中共有3对全等三角形。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定
【点评】
本题是全等三角形判定的基础应用题，解题时需要结合已知条件逐步推导，注意不要漏数或多数全等三角形，熟练掌握角平分线的性质和全等三角形的判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7
5. 如图，BD是$△ ABC$的角平分线，$DE ⊥ AB$，垂足为E.若$△ ABC$的面积为26，$AB=8$，$BC=5$，则$DE$的长为
4
.答案：5. 4.
解析：
【分析】
解题思路如下：首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此点D到AB的距离DE和点D到BC的距离相等。我们可以过D作BC的垂线DF，得到DE=DF。再观察△ABC的面积可拆分为△ABD和△BCD的面积之和，分别用底乘高表示两个小三角形的面积，代入已知数值列方程即可求出DE的长度。
【解析】
解：过点D作DF⊥BC，垂足为F。
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
设DE=DF=x，
∵$S_{△ ABC} = S_{△ ABD} + S_{△ BCD}$，
∴$26=\frac{1}{2}× AB× DE + \frac{1}{2}× BC× DF$，
代入AB=8，BC=5，DE=DF=x，得：
$26=\frac{1}{2}×8× x + \frac{1}{2}×5× x$
化简得：$4x + 2.5x = 26$，即$6.5x=26$，
解得：$x=4$，即DE=4。
【答案】
4
【知识点】
1.角平分线的性质
2.三角形面积计算
3.和差法求面积
【点评】
本题是角平分线性质的典型应用题型，解题的核心是利用角平分线性质得到两条高相等，再通过面积和的关系建立方程求解，解题时注意辅助线的构造思路，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此点D到AB的距离DE和点D到BC的距离相等。我们可以过D作BC的垂线DF，得到DE=DF。再观察△ABC的面积可拆分为△ABD和△BCD的面积之和，分别用底乘高表示两个小三角形的面积，代入已知数值列方程即可求出DE的长度。
【解析】
解：过点D作DF⊥BC，垂足为F。
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
设DE=DF=x，
∵$S_{△ ABC} = S_{△ ABD} + S_{△ BCD}$，
∴$26=\frac{1}{2}× AB× DE + \frac{1}{2}× BC× DF$，
代入AB=8，BC=5，DE=DF=x，得：
$26=\frac{1}{2}×8× x + \frac{1}{2}×5× x$
化简得：$4x + 2.5x = 26$，即$6.5x=26$，
解得：$x=4$，即DE=4。
【答案】
4
【知识点】
1.角平分线的性质
2.三角形面积计算
3.和差法求面积
【点评】
本题是角平分线性质的典型应用题型，解题的核心是利用角平分线性质得到两条高相等，再通过面积和的关系建立方程求解，解题时注意辅助线的构造思路，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
6. 如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，且BC=CD.
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）求证：AB+AD=2AE.
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）求证：AB+AD=2AE.
答案：6. (1)证明略；(2)提示:证$△ FAC≌△ EAC$.
解析：
【分析】
（1）要证明△BCE≌△DCF，首先观察到两个三角形都是直角三角形，已知BC=CD，只需再证明一组直角边相等即可。根据AC是∠BAD的平分线，CE⊥AB、CF⊥AD，由角平分线的性质可得CE=CF，即可用HL定理证明两个直角三角形全等。
（2）要证明AB+AD=2AE，首先证明△FAC≌△EAC得到AF=AE，再结合（1）中全等的结论得到BE=DF，将AB和AD拆分为含AE、AF、BE、DF的线段和，代入化简即可推出结论。
【解析】
（1）证明：
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CF=CE（角平分线上的点到角两边的距离相等），∠F=∠CEB=90°，
在Rt△BCE和Rt△DCF中：
$\{\begin{array}{l}BC=CD\\ CE=CF\end{array} $
∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）。
（2）证明：
在△FAC和△EAC中：
$\{\begin{array}{l}∠ F=∠ AEC=90°\\ ∠ FAC=∠ EAC\\ AC=AC\end{array} $
∴△FAC≌△EAC（AAS），
∴AF=AE，
由（1）知Rt△BCE≌Rt△DCF，
∴BE=DF，
∴$AB+AD=(AE+BE)+(AF-DF)=AE+BE+AE-BE=2AE$，
即$AB+AD=2AE$。
【答案】
(1) △BCE≌△DCF得证；
(2) AB+AD=2AE得证。
【知识点】
角平分线的性质、全等三角形的判定、全等三角形的性质
【点评】
本题是角平分线与全等三角形结合的基础题型，核心是利用角平分线的性质得到相等的垂线段，再通过全等三角形实现线段的等量代换，进而推导线段和的关系，解题时注意线段拆分的技巧，熟练掌握全等三角形的判定定理是得分关键。
【难度系数】
0.7
（1）要证明△BCE≌△DCF，首先观察到两个三角形都是直角三角形，已知BC=CD，只需再证明一组直角边相等即可。根据AC是∠BAD的平分线，CE⊥AB、CF⊥AD，由角平分线的性质可得CE=CF，即可用HL定理证明两个直角三角形全等。
（2）要证明AB+AD=2AE，首先证明△FAC≌△EAC得到AF=AE，再结合（1）中全等的结论得到BE=DF，将AB和AD拆分为含AE、AF、BE、DF的线段和，代入化简即可推出结论。
【解析】
（1）证明：
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CF=CE（角平分线上的点到角两边的距离相等），∠F=∠CEB=90°，
在Rt△BCE和Rt△DCF中：
$\{\begin{array}{l}BC=CD\\ CE=CF\end{array} $
∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）。
（2）证明：
在△FAC和△EAC中：
$\{\begin{array}{l}∠ F=∠ AEC=90°\\ ∠ FAC=∠ EAC\\ AC=AC\end{array} $
∴△FAC≌△EAC（AAS），
∴AF=AE，
由（1）知Rt△BCE≌Rt△DCF，
∴BE=DF，
∴$AB+AD=(AE+BE)+(AF-DF)=AE+BE+AE-BE=2AE$，
即$AB+AD=2AE$。
【答案】
(1) △BCE≌△DCF得证；
(2) AB+AD=2AE得证。
【知识点】
角平分线的性质、全等三角形的判定、全等三角形的性质
【点评】
本题是角平分线与全等三角形结合的基础题型，核心是利用角平分线的性质得到相等的垂线段，再通过全等三角形实现线段的等量代换，进而推导线段和的关系，解题时注意线段拆分的技巧，熟练掌握全等三角形的判定定理是得分关键。
【难度系数】
0.7
7. 如图，已知$∠ AOB=90°$，$OM$是$∠ AOB$的平分线，将三角板的直角顶点$P$在射线$OM$上滑动，两直角边分别与$OA$，$OB$交于点$C$，$D$，$PC$和$PD$有怎样的数量关系？请说明理由。
答案：
7. $PC=PD$. 证明:过点P分别作$PE⊥OB$于点E,$PF⊥OA$于点F,$\therefore ∠CFP=∠DEP=90°. ∵ OM$是$∠AOB$的平分线,$\therefore PE=PF. ∵ ∠AOB=90°,\therefore ∠FPE=90°$,$\therefore ∠2+∠FPD=90°$.又$∵ ∠1+∠FPD=90°, ∴ ∠1=∠2$. 在$△ CFP$和$△ DEP$中，$\begin{cases}∠CFP=∠DEP,\\PF=PE,\\∠1=∠2,\end{cases}$ $\therefore △ CFP≌△ DEP(ASA)$,$\therefore PC=PD$.
7. $PC=PD$. 证明:过点P分别作$PE⊥OB$于点E,$PF⊥OA$于点F,$\therefore ∠CFP=∠DEP=90°. ∵ OM$是$∠AOB$的平分线,$\therefore PE=PF. ∵ ∠AOB=90°,\therefore ∠FPE=90°$,$\therefore ∠2+∠FPD=90°$.又$∵ ∠1+∠FPD=90°, ∴ ∠1=∠2$. 在$△ CFP$和$△ DEP$中，$\begin{cases}∠CFP=∠DEP,\\PF=PE,\\∠1=∠2,\end{cases}$ $\therefore △ CFP≌△ DEP(ASA)$,$\therefore PC=PD$.
解析：
【分析】
要判断PC和PD的数量关系，结合已知OM是∠AOB的角平分线，首先联想角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此我们可以过点P向OA、OB分别作垂线，得到两条长度相等的垂线段，同时构造出两个含直角的三角形。再结合三角板的直角为90°，以及两条垂线形成的夹角也为90°，利用“同角的余角相等”得到一组对应角相等，即可通过ASA证明两个三角形全等，进而推出PC和PD的数量关系。
【解析】
过点P分别作$PE⊥OB$于点E，$PF⊥OA$于点F，
$\therefore ∠CFP=∠DEP=90°$。
∵ OM是$∠AOB$的平分线，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，
$\therefore PE=PF$。
∵ $∠AOB=∠PFO=∠PEO=90°$，
$\therefore ∠FPE=90°$，
$\therefore ∠2+∠FPD=90°$。
又
∵ 三角板的$∠CPD=90°$，
$\therefore ∠1+∠FPD=90°$，
$\therefore ∠1=∠2$（同角的余角相等）。
在$△CFP$和$△DEP$中：
$\begin{cases}∠CFP=∠DEP, \\PF=PE, \\∠1=∠2,\end{cases}$
$\therefore △CFP≌△DEP(\mathrm{ASA})$，
$\therefore PC=PD$（全等三角形对应边相等）。
【答案】
$PC=PD$
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定，全等三角形的性质
【点评】
本题属于角平分线与全等三角形的综合基础题，核心解题思路是通过作角两边的垂线构造全等三角形，这类辅助线是处理角平分线相关证明题的常用技巧，熟练掌握该方法可快速解决同类型问题。
【难度系数】
0.7
要判断PC和PD的数量关系，结合已知OM是∠AOB的角平分线，首先联想角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此我们可以过点P向OA、OB分别作垂线，得到两条长度相等的垂线段，同时构造出两个含直角的三角形。再结合三角板的直角为90°，以及两条垂线形成的夹角也为90°，利用“同角的余角相等”得到一组对应角相等，即可通过ASA证明两个三角形全等，进而推出PC和PD的数量关系。
【解析】
过点P分别作$PE⊥OB$于点E，$PF⊥OA$于点F，
$\therefore ∠CFP=∠DEP=90°$。
∵ OM是$∠AOB$的平分线，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，
$\therefore PE=PF$。
∵ $∠AOB=∠PFO=∠PEO=90°$，
$\therefore ∠FPE=90°$，
$\therefore ∠2+∠FPD=90°$。
又
∵ 三角板的$∠CPD=90°$，
$\therefore ∠1+∠FPD=90°$，
$\therefore ∠1=∠2$（同角的余角相等）。
在$△CFP$和$△DEP$中：
$\begin{cases}∠CFP=∠DEP, \\PF=PE, \\∠1=∠2,\end{cases}$
$\therefore △CFP≌△DEP(\mathrm{ASA})$，
$\therefore PC=PD$（全等三角形对应边相等）。
【答案】
$PC=PD$
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定，全等三角形的性质
【点评】
本题属于角平分线与全等三角形的综合基础题，核心解题思路是通过作角两边的垂线构造全等三角形，这类辅助线是处理角平分线相关证明题的常用技巧，熟练掌握该方法可快速解决同类型问题。
【难度系数】
0.7