8. 如图，直线$l_1$，$l_2$，$l_3$表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（
A.1处
B.2处
C.3处
D.4处
D
）A.1处
B.2处
C.3处
D.4处
答案：8. D.
解析：
【分析】
要找到到三条相互交叉公路距离相等的点，需结合角平分线的性质思考：角平分线上的点到角两边的距离相等。首先考虑三条公路围成的三角形内部，三个内角的角平分线会交于一点，该点满足到三边距离相等；其次不要遗漏三角形外部的点，任意两个相邻外角的角平分线的交点，同样满足到三条公路的距离相等，这类交点共有3个，将两部分的点数量相加即可得到总个数。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，分两类找符合条件的点：
1. 三条公路围成三角形，其三个内角的角平分线交于1点，该点到三条公路的距离相等；
2. 三角形任意两个外角的角平分线的交点，到三条公路的距离也相等，这类交点共有3个。
因此符合条件的地址总共有$1+3=4$处。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定
【点评】
本题是角平分线性质的实际应用问题，解题时容易只考虑三角形内部的内角平分线交点，遗漏外部的3个外角平分线交点，需注意全面思考所有符合条件的情况。
【难度系数】
0.6
要找到到三条相互交叉公路距离相等的点，需结合角平分线的性质思考：角平分线上的点到角两边的距离相等。首先考虑三条公路围成的三角形内部，三个内角的角平分线会交于一点，该点满足到三边距离相等；其次不要遗漏三角形外部的点，任意两个相邻外角的角平分线的交点，同样满足到三条公路的距离相等，这类交点共有3个，将两部分的点数量相加即可得到总个数。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，分两类找符合条件的点：
1. 三条公路围成三角形，其三个内角的角平分线交于1点，该点到三条公路的距离相等；
2. 三角形任意两个外角的角平分线的交点，到三条公路的距离也相等，这类交点共有3个。
因此符合条件的地址总共有$1+3=4$处。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定
【点评】
本题是角平分线性质的实际应用问题，解题时容易只考虑三角形内部的内角平分线交点，遗漏外部的3个外角平分线交点，需注意全面思考所有符合条件的情况。
【难度系数】
0.6
二、填空题(每小题3分,共24分)
9. 如图，△ABC≌△A'B'C'，其中∠A=36°，∠C'=24°，则∠B=
(第9题) (第10题)
9. 如图，△ABC≌△A'B'C'，其中∠A=36°，∠C'=24°，则∠B=
120°
。 (第9题) (第10题)
答案：9. 120°.
解析：
【分析】
解题时首先从已知条件“△ABC≌△A'B'C'”入手，回忆全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，因此可先得出∠C与∠C'相等，得到∠C的度数；再结合三角形内角和为180°的定理，用内角和减去已知的∠A和∠C的度数，即可求出∠B的大小。
【解析】
解：
∵△ABC≌△A'B'C'，
∴∠C=∠C'=24°（全等三角形的对应角相等），
∵三角形内角和为180°，即∠A+∠B+∠C=180°，且∠A=36°，
∴∠B=180°-∠A-∠C=180°-36°-24°=120°。
【答案】
120°
【知识点】
全等三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查全等三角形性质和三角形内角和定理的直接应用，只要熟练掌握相关基础性质，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
解题时首先从已知条件“△ABC≌△A'B'C'”入手，回忆全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，因此可先得出∠C与∠C'相等，得到∠C的度数；再结合三角形内角和为180°的定理，用内角和减去已知的∠A和∠C的度数，即可求出∠B的大小。
【解析】
解：
∵△ABC≌△A'B'C'，
∴∠C=∠C'=24°（全等三角形的对应角相等），
∵三角形内角和为180°，即∠A+∠B+∠C=180°，且∠A=36°，
∴∠B=180°-∠A-∠C=180°-36°-24°=120°。
【答案】
120°
【知识点】
全等三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查全等三角形性质和三角形内角和定理的直接应用，只要熟练掌握相关基础性质，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
10. 如图，$AD=BC$，$FD=EC$，再加上条件________，就可证$∠ D=∠ C$。
答案：10. $AB=FE$(或$AF=BE$).
解析：
【分析】
要证明∠D=∠C，可通过证明两角所在的三角形全等实现。观察可知∠D、∠C分别在△ADF和△BCE中，已知两个三角形已有两组边对应相等：AD=BC、FD=EC，根据全等三角形判定定理，要么补充两边的夹角相等（不符合题意，因为最终要证的是角相等），要么补充第三组边对应相等，即AF=BE；也可补充能推出AF=BE的条件，如AB=FE（通过AB+BF=FE+BF可推得AF=BE），即可用SSS判定两三角形全等，进而得到对应角相等。
【解析】
要证∠D=∠C，需先证△ADF≌△BCE。
已知AD=BC，FD=EC：
① 若添加条件AF=BE：
在△ADF和△BCE中，
$\{\begin{array}{l} AD=BC\\ FD=EC\\ AF=BE\end{array} $
∴△ADF≌△BCE（SSS），
∴∠D=∠C（全等三角形对应角相等）。
② 若添加条件AB=FE：
∵AB+BF=FE+BF，
∴AF=BE，
后续证明同①，也可证得△ADF≌△BCE，得到∠D=∠C。
【答案】
$AB=FE$(或$AF=BE$)
【知识点】
1. 全等三角形SSS判定
2. 全等三角形的性质
【点评】
本题是全等相关的开放性试题，需要结合已知条件逆向推导证明全等缺少的条件，考查对全等三角形判定定理的灵活运用能力，注意补充的条件需符合全等判定的逻辑要求。
【难度系数】
0.7
要证明∠D=∠C，可通过证明两角所在的三角形全等实现。观察可知∠D、∠C分别在△ADF和△BCE中，已知两个三角形已有两组边对应相等：AD=BC、FD=EC，根据全等三角形判定定理，要么补充两边的夹角相等（不符合题意，因为最终要证的是角相等），要么补充第三组边对应相等，即AF=BE；也可补充能推出AF=BE的条件，如AB=FE（通过AB+BF=FE+BF可推得AF=BE），即可用SSS判定两三角形全等，进而得到对应角相等。
【解析】
要证∠D=∠C，需先证△ADF≌△BCE。
已知AD=BC，FD=EC：
① 若添加条件AF=BE：
在△ADF和△BCE中，
$\{\begin{array}{l} AD=BC\\ FD=EC\\ AF=BE\end{array} $
∴△ADF≌△BCE（SSS），
∴∠D=∠C（全等三角形对应角相等）。
② 若添加条件AB=FE：
∵AB+BF=FE+BF，
∴AF=BE，
后续证明同①，也可证得△ADF≌△BCE，得到∠D=∠C。
【答案】
$AB=FE$(或$AF=BE$)
【知识点】
1. 全等三角形SSS判定
2. 全等三角形的性质
【点评】
本题是全等相关的开放性试题，需要结合已知条件逆向推导证明全等缺少的条件，考查对全等三角形判定定理的灵活运用能力，注意补充的条件需符合全等判定的逻辑要求。
【难度系数】
0.7
11. 如图，$∠ ACB = ∠ BDA = 90°$，要利用“HL”证得$△ ACB ≌ △ BDA$，还需增加的条件是
$AC=BD$(或$BC=AD$)
。答案：11. $AC=BD$(或$BC=AD$).
解析：
【分析】
要使用“HL”证明两个直角三角形全等，首先需明确HL的判定要求：两个直角三角形中，斜边和一条直角边分别对应相等，则两三角形全等。首先观察△ACB和△BDA，已知二者都是直角三角形，且斜边均为AB，AB是公共边，已经满足斜边相等的条件，因此只需要再补充一组直角边对应相等，即可满足HL的判定要求，对应的可选条件为AC与BD相等，或者BC与AD相等。
【解析】
已知$∠ ACB=∠ BDA=90°$，因此$△ ACB$和$△ BDA$均为直角三角形。
两个直角三角形的斜边均为$AB$，因此$AB=BA$（公共边相等）。
根据“HL”判定定理，只需再添加一组直角边对应相等即可证明两三角形全等：
1. 若添加$AC=BD$，可由HL得$\mathrm{Rt}△ ACB≌\mathrm{Rt}△ BDA$；
2. 若添加$BC=AD$，也可由HL得$\mathrm{Rt}△ ACB≌\mathrm{Rt}△ BDA$。
【答案】
$AC=BD$(或$BC=AD$)
【知识点】
HL判定定理；全等三角形判定
【点评】
本题考查直角三角形全等的HL判定方法，解题时需先确定已有的相等条件，再结合判定定理补充缺失的条件，注意HL仅适用于直角三角形的全等判定。
【难度系数】
0.8
要使用“HL”证明两个直角三角形全等，首先需明确HL的判定要求：两个直角三角形中，斜边和一条直角边分别对应相等，则两三角形全等。首先观察△ACB和△BDA，已知二者都是直角三角形，且斜边均为AB，AB是公共边，已经满足斜边相等的条件，因此只需要再补充一组直角边对应相等，即可满足HL的判定要求，对应的可选条件为AC与BD相等，或者BC与AD相等。
【解析】
已知$∠ ACB=∠ BDA=90°$，因此$△ ACB$和$△ BDA$均为直角三角形。
两个直角三角形的斜边均为$AB$，因此$AB=BA$（公共边相等）。
根据“HL”判定定理，只需再添加一组直角边对应相等即可证明两三角形全等：
1. 若添加$AC=BD$，可由HL得$\mathrm{Rt}△ ACB≌\mathrm{Rt}△ BDA$；
2. 若添加$BC=AD$，也可由HL得$\mathrm{Rt}△ ACB≌\mathrm{Rt}△ BDA$。
【答案】
$AC=BD$(或$BC=AD$)
【知识点】
HL判定定理；全等三角形判定
【点评】
本题考查直角三角形全等的HL判定方法，解题时需先确定已有的相等条件，再结合判定定理补充缺失的条件，注意HL仅适用于直角三角形的全等判定。
【难度系数】
0.8
12. 在$△ ABC$中，$∠ C=90°,AC=BC,$AD平分$∠ CAB$交BC于点D，$DE⊥ AB$于点E，且$AB=6\ \mathrm{cm}$，那么$△ DEB$的周长为
6 cm
。答案：12. 6 cm.
解析：
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先题目给出角平分线AD和两个直角（∠C=90°、DE⊥AB），可联想到角平分线的性质，得到CD=DE；接着可证明Rt△ACD和Rt△AED全等，推导得出AC=AE，再结合AC=BC的条件，将AE和BC建立等量关系；最后计算△DEB的周长时，通过线段代换把周长转化为AB的长度，代入已知AB的数值即可得到结果。
【解析】
解：
∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB
∴CD=DE（角平分线上的点到角两边的距离相等）
在Rt△ACD和Rt△AED中：
$\{\begin{array}{l}AD=AD\\ CD=DE\end{array} $
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）
∴AC=AE
又
∵AC=BC
∴AE=BC
△DEB的周长为：
$C_{△ DEB}=DE+DB+BE$
将DE替换为CD，可得：
$C_{△ DEB}=CD+DB+BE=BC+BE$
再将BC替换为AE，可得：
$C_{△ DEB}=AE+BE=AB$
∵AB=6 cm
∴△DEB的周长为6 cm。
【答案】
6 cm
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题的核心解题思路是利用角平分线性质和全等三角形完成线段的等量代换，无需逐一计算△DEB各边的长度，体现了几何计算中的转化思想，是周长类几何题的典型考法。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：首先题目给出角平分线AD和两个直角（∠C=90°、DE⊥AB），可联想到角平分线的性质，得到CD=DE；接着可证明Rt△ACD和Rt△AED全等，推导得出AC=AE，再结合AC=BC的条件，将AE和BC建立等量关系；最后计算△DEB的周长时，通过线段代换把周长转化为AB的长度，代入已知AB的数值即可得到结果。
【解析】
解：
∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB
∴CD=DE（角平分线上的点到角两边的距离相等）
在Rt△ACD和Rt△AED中：
$\{\begin{array}{l}AD=AD\\ CD=DE\end{array} $
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）
∴AC=AE
又
∵AC=BC
∴AE=BC
△DEB的周长为：
$C_{△ DEB}=DE+DB+BE$
将DE替换为CD，可得：
$C_{△ DEB}=CD+DB+BE=BC+BE$
再将BC替换为AE，可得：
$C_{△ DEB}=AE+BE=AB$
∵AB=6 cm
∴△DEB的周长为6 cm。
【答案】
6 cm
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题的核心解题思路是利用角平分线性质和全等三角形完成线段的等量代换，无需逐一计算△DEB各边的长度，体现了几何计算中的转化思想，是周长类几何题的典型考法。
【难度系数】
0.7
13. 如图，在$△ ABC$中，AD是$∠ BAC$的平分线，$AB:AC=4:3$，则$S_{△ ABD}:S_{△ ACD}=$
（第13题）
4 : 3
。（第13题）答案：13. 4 : 3.
解析：
【分析】
要计算两个三角形的面积比，首先回忆三角形面积公式：三角形面积=$\frac{1}{2}$×底×高。观察$△ ABD$和$△ ACD$，我们可以分别以AB、AC为两个三角形的底，接下来找这两个底对应的高：因为AD是$∠ BAC$的角平分线，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，所以点D到AB、AC的距离相等，也就是两个三角形的高相等。当高相等时，两个三角形的面积比就等于对应底的长度比，即AB与AC的比，代入已知的比例即可得到结果。
【解析】
过点D作$DE⊥ AB$于点E，$DF⊥ AC$于点F。
∵AD是$∠ BAC$的平分线，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴$DE=DF$。
根据三角形面积公式：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} × AB × DE$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2} × AC × DF$
∴$S_{△ ABD}:S_{△ ACD}=(\frac{1}{2} × AB × DE):(\frac{1}{2} × AC × DF)$
∵$DE=DF$，约去公共项后可得：
$S_{△ ABD}:S_{△ ACD}=AB:AC=4:3$
【答案】
$4:3$
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算；比例化简
【点评】
本题是基础类几何题，核心是利用角平分线的性质得到两个三角形的高相等，从而将面积比转化为对应底的边长比，解题时结合图形分析两个三角形的底和高的关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要计算两个三角形的面积比，首先回忆三角形面积公式：三角形面积=$\frac{1}{2}$×底×高。观察$△ ABD$和$△ ACD$，我们可以分别以AB、AC为两个三角形的底，接下来找这两个底对应的高：因为AD是$∠ BAC$的角平分线，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，所以点D到AB、AC的距离相等，也就是两个三角形的高相等。当高相等时，两个三角形的面积比就等于对应底的长度比，即AB与AC的比，代入已知的比例即可得到结果。
【解析】
过点D作$DE⊥ AB$于点E，$DF⊥ AC$于点F。
∵AD是$∠ BAC$的平分线，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴$DE=DF$。
根据三角形面积公式：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} × AB × DE$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2} × AC × DF$
∴$S_{△ ABD}:S_{△ ACD}=(\frac{1}{2} × AB × DE):(\frac{1}{2} × AC × DF)$
∵$DE=DF$，约去公共项后可得：
$S_{△ ABD}:S_{△ ACD}=AB:AC=4:3$
【答案】
$4:3$
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算；比例化简
【点评】
本题是基础类几何题，核心是利用角平分线的性质得到两个三角形的高相等，从而将面积比转化为对应底的边长比，解题时结合图形分析两个三角形的底和高的关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
14. 如图，已知$AB // CD$，点O为$∠ CAB$，$∠ ACD$的平分线的交点，点O到AC的距离为2 cm，则两平行线间的距离为
4
cm.答案：14. 4.
解析：
【分析】
解题思路如下：首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。题目中O是∠CAB和∠ACD的角平分线交点，已知O到AC的距离，我们可以过O分别作AB、CD的垂线，利用角平分线性质得到O到AB、CD的距离都等于O到AC的距离；再结合AB//CD，可知两条垂线段共线，两平行线间的距离就是这两段垂线段的长度和，代入数值计算即可。
【解析】
过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥CD于点N，OQ⊥AC于点Q，由题意得OQ=2cm。
∵AO平分∠CAB，OM⊥AB，OQ⊥AC，
∴根据角平分线的性质，OM=OQ=2cm。
∵CO平分∠ACD，ON⊥CD，OQ⊥AC，
∴根据角平分线的性质，ON=OQ=2cm。
又
∵AB//CD，OM⊥AB，ON⊥CD，
∴M、O、N三点共线，AB与CD之间的距离为OM+ON的长度。
∴两平行线间的距离=2+2=4cm。
【答案】
4
【知识点】
1.角平分线的性质
2.平行线间的距离
【点评】
本题属于基础几何应用题，核心是利用角平分线的性质转化线段长度，解题的关键是正确作出辅助线，将平行线间的距离拆分为点O到两条直线的距离之和，是角平分线性质和平行线性质结合的典型考法。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。题目中O是∠CAB和∠ACD的角平分线交点，已知O到AC的距离，我们可以过O分别作AB、CD的垂线，利用角平分线性质得到O到AB、CD的距离都等于O到AC的距离；再结合AB//CD，可知两条垂线段共线，两平行线间的距离就是这两段垂线段的长度和，代入数值计算即可。
【解析】
过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥CD于点N，OQ⊥AC于点Q，由题意得OQ=2cm。
∵AO平分∠CAB，OM⊥AB，OQ⊥AC，
∴根据角平分线的性质，OM=OQ=2cm。
∵CO平分∠ACD，ON⊥CD，OQ⊥AC，
∴根据角平分线的性质，ON=OQ=2cm。
又
∵AB//CD，OM⊥AB，ON⊥CD，
∴M、O、N三点共线，AB与CD之间的距离为OM+ON的长度。
∴两平行线间的距离=2+2=4cm。
【答案】
4
【知识点】
1.角平分线的性质
2.平行线间的距离
【点评】
本题属于基础几何应用题，核心是利用角平分线的性质转化线段长度，解题的关键是正确作出辅助线，将平行线间的距离拆分为点O到两条直线的距离之和，是角平分线性质和平行线性质结合的典型考法。
【难度系数】
0.7
15. “海盗船”是游乐园里经典的观览车类摇摆设施，因外形仿古代海盗船而得名. 如图，当海盗船静止时，转轴B到地面的距离$BD=15\ \mathrm{m}$. 当海盗船的船头在A处时，$AC ⊥ BD$，此时测得点A到地面的距离$AE=9\ \mathrm{m}$. 当船头从A处摆动到$A'$处时，$A'B ⊥ AB$，则点$A'$到BD的距离为
6
m.答案：15. 6.
解析：
【分析】
解题时首先结合垂直关系判断四边形ACDE为矩形，得到CD=AE，进而算出BC的长度；接着过点A'作BD的垂线构造直角三角形，根据海盗船摆动时摆长不变得AB=A'B，再结合A'B⊥AB的条件，利用同角的余角相等得到两组对应角相等，即可证明两个直角三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等得到A'到BD的距离。
【解析】
过点$ A' $作$ A'F ⊥ BD $，垂足为$ F $，则$ ∠ A'FB=90° $。
因为$ AC ⊥ BD $，$ AE ⊥ DE $，$ BD ⊥ DE $，所以四边形$ ACDE $是矩形，因此$ CD=AE=9\ \mathrm{m} $。
已知$ BD=15\ \mathrm{m} $，所以$ BC=BD-CD=15-9=6\ \mathrm{m} $，且$ ∠ ACB=90° $，可得$ ∠ A + ∠ ABC=90° $。
因为$ A'B ⊥ AB $，所以$ ∠ ABA'=90° $，即$ ∠ A'BF + ∠ ABC=90° $，因此$ ∠ A=∠ A'BF $。
在$ △ ABC $和$ △ BA'F $中：
$\begin{cases}∠ ACB=∠ BFA'=90° \\∠ A=∠ A'BF \\AB=BA' \quad (\mathrm{摆长不变，长度相等})\end{cases}$
所以$ △ ABC ≌ △ BA'F \ (\mathrm{AAS}) $，因此$ A'F=BC=6\ \mathrm{m} $，即点$ A' $到BD的距离为6m。
【答案】
6
【知识点】
全等三角形的判定与性质，矩形的性质，同角的余角相等
【点评】
本题结合生活中的游乐设施场景考查几何知识的应用，解题的关键是挖掘摆长不变的隐含条件，通过作辅助线构造全等三角形，结合角的等量关系完成证明，体现了数学在实际生活中的应用。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合垂直关系判断四边形ACDE为矩形，得到CD=AE，进而算出BC的长度；接着过点A'作BD的垂线构造直角三角形，根据海盗船摆动时摆长不变得AB=A'B，再结合A'B⊥AB的条件，利用同角的余角相等得到两组对应角相等，即可证明两个直角三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等得到A'到BD的距离。
【解析】
过点$ A' $作$ A'F ⊥ BD $，垂足为$ F $，则$ ∠ A'FB=90° $。
因为$ AC ⊥ BD $，$ AE ⊥ DE $，$ BD ⊥ DE $，所以四边形$ ACDE $是矩形，因此$ CD=AE=9\ \mathrm{m} $。
已知$ BD=15\ \mathrm{m} $，所以$ BC=BD-CD=15-9=6\ \mathrm{m} $，且$ ∠ ACB=90° $，可得$ ∠ A + ∠ ABC=90° $。
因为$ A'B ⊥ AB $，所以$ ∠ ABA'=90° $，即$ ∠ A'BF + ∠ ABC=90° $，因此$ ∠ A=∠ A'BF $。
在$ △ ABC $和$ △ BA'F $中：
$\begin{cases}∠ ACB=∠ BFA'=90° \\∠ A=∠ A'BF \\AB=BA' \quad (\mathrm{摆长不变，长度相等})\end{cases}$
所以$ △ ABC ≌ △ BA'F \ (\mathrm{AAS}) $，因此$ A'F=BC=6\ \mathrm{m} $，即点$ A' $到BD的距离为6m。
【答案】
6
【知识点】
全等三角形的判定与性质，矩形的性质，同角的余角相等
【点评】
本题结合生活中的游乐设施场景考查几何知识的应用，解题的关键是挖掘摆长不变的隐含条件，通过作辅助线构造全等三角形，结合角的等量关系完成证明，体现了数学在实际生活中的应用。
【难度系数】
0.7