16. 如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=3,连接BD,BD⊥CD,∠ADB=∠C,若P是BC边上一动点,则DP长的最小值为
3
.答案：16. 3.
解析：
【分析】
要找DP长的最小值，根据垂线段最短，可知当DP垂直于BC时，DP的长度最小。接下来需要推导此时DP的长度：首先结合已知的直角和∠ADB=∠C，利用等角的余角相等证明BD平分∠ABC，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得到最短DP的长度等于AD的长度。
【解析】
1. 由垂线段最短可知：当DP⊥BC时，DP的长度最小。
2. 已知∠A=90°，BD⊥CD，因此∠A=∠BDC=90°。
3. 在Rt△ABD中，∠ABD + ∠ADB = 90°；在Rt△BDC中，∠DBC + ∠C = 90°。
又因为∠ADB=∠C，根据等角的余角相等，可得∠ABD=∠DBC，即BD是∠ABC的角平分线。
4. 因为D在∠ABC的角平分线BD上，且DA⊥AB，DP⊥BC，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DP=AD。
5. 已知AD=3，因此DP长的最小值为3。
【答案】
3
【知识点】
垂线段最短；角平分线的性质；等角的余角相等
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是先确定DP取最小值的位置，再通过角的关系推出角平分线，利用角平分线的性质实现线段长度的转化，需要熟练掌握相关性质并灵活运用。
【难度系数】
0.6
要找DP长的最小值，根据垂线段最短，可知当DP垂直于BC时，DP的长度最小。接下来需要推导此时DP的长度：首先结合已知的直角和∠ADB=∠C，利用等角的余角相等证明BD平分∠ABC，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得到最短DP的长度等于AD的长度。
【解析】
1. 由垂线段最短可知：当DP⊥BC时，DP的长度最小。
2. 已知∠A=90°，BD⊥CD，因此∠A=∠BDC=90°。
3. 在Rt△ABD中，∠ABD + ∠ADB = 90°；在Rt△BDC中，∠DBC + ∠C = 90°。
又因为∠ADB=∠C，根据等角的余角相等，可得∠ABD=∠DBC，即BD是∠ABC的角平分线。
4. 因为D在∠ABC的角平分线BD上，且DA⊥AB，DP⊥BC，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DP=AD。
5. 已知AD=3，因此DP长的最小值为3。
【答案】
3
【知识点】
垂线段最短；角平分线的性质；等角的余角相等
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是先确定DP取最小值的位置，再通过角的关系推出角平分线，利用角平分线的性质实现线段长度的转化，需要熟练掌握相关性质并灵活运用。
【难度系数】
0.6
三、解答题(共6小题,共52分)
17. (8分)如图,点A,F,C,D在同一条直线上,已知$AF=DC$,$∠A=∠D$,$BC// EF$,请写出AB与DE之间的关系并证明你的结论.
17. (8分)如图,点A,F,C,D在同一条直线上,已知$AF=DC$,$∠A=∠D$,$BC// EF$,请写出AB与DE之间的关系并证明你的结论.
答案：17. $AB// DE,AB=DE$,提示:证$△ ABC≌△ DEF$.
解析：
【分析】
要判断AB与DE的关系，需从数量关系和位置关系两方面分析：首先根据已知AF=DC，利用等式性质可推出AC=DF；再结合BC//EF可得内错角相等，即∠ACB=∠DFE，加上已知∠A=∠D，可通过ASA判定△ABC≌△DEF，最后利用全等三角形的性质和平行线的判定即可得到AB与DE的关系。
【解析】
结论：$AB// DE$，且$AB=DE$，证明如下：
$\because AF=DC$
$\therefore AF+FC=DC+FC$，即$AC=DF$
$\because BC// EF$
$\therefore ∠ ACB=∠ DFE$（两直线平行，内错角相等）
在$△ ABC$和$△ DEF$中：
$\{\begin{array}{l}∠ A=∠ D\\AC=DF\\∠ ACB=∠ DFE\end{array} $
$\therefore △ ABC≌△ DEF(\mathrm{ASA})$
$\therefore AB=DE$（全等三角形的对应边相等）
又$\because ∠ A=∠ D$
$\therefore AB// DE$（内错角相等，两直线平行）
【答案】
$AB// DE$，$AB=DE$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；平行线的判定与性质
【点评】
本题是常见的几何基础证明题，将平行线的性质、判定和全等三角形的知识结合考查，解题的关键是通过线段和的关系得到全等所需的等边，结合已知角相等的条件完成全等证明，进而推导得到两条线段的关系。
【难度系数】
0.7
要判断AB与DE的关系，需从数量关系和位置关系两方面分析：首先根据已知AF=DC，利用等式性质可推出AC=DF；再结合BC//EF可得内错角相等，即∠ACB=∠DFE，加上已知∠A=∠D，可通过ASA判定△ABC≌△DEF，最后利用全等三角形的性质和平行线的判定即可得到AB与DE的关系。
【解析】
结论：$AB// DE$，且$AB=DE$，证明如下：
$\because AF=DC$
$\therefore AF+FC=DC+FC$，即$AC=DF$
$\because BC// EF$
$\therefore ∠ ACB=∠ DFE$（两直线平行，内错角相等）
在$△ ABC$和$△ DEF$中：
$\{\begin{array}{l}∠ A=∠ D\\AC=DF\\∠ ACB=∠ DFE\end{array} $
$\therefore △ ABC≌△ DEF(\mathrm{ASA})$
$\therefore AB=DE$（全等三角形的对应边相等）
又$\because ∠ A=∠ D$
$\therefore AB// DE$（内错角相等，两直线平行）
【答案】
$AB// DE$，$AB=DE$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；平行线的判定与性质
【点评】
本题是常见的几何基础证明题，将平行线的性质、判定和全等三角形的知识结合考查，解题的关键是通过线段和的关系得到全等所需的等边，结合已知角相等的条件完成全等证明，进而推导得到两条线段的关系。
【难度系数】
0.7
18. (8分)如图,已知C为射线AD上一点,∠A=∠B,PA=PB.求证:CP平分∠BCD.
答案：18. 证明:过点 P 作 $PE ⊥ BC$ 于点 E, $PF ⊥ AD$ 于点 F, 则 $∠ BEP = ∠ AFP = 90°$. 在$△ BEP$ 和$△ AFP$ 中, $\begin{cases}∠ BEP=∠ AFP,\\∠ B=∠ A,\\PB=PA,\end{cases}$ $\therefore △ BEP≌△ AFP(\mathrm{AAS}),\therefore PE = PF$. 又$\because PE ⊥ BC,PF ⊥ AD,\therefore CP$ 平分$∠ BCD$.
解析：
【分析】
要证明CP平分∠BCD，根据角平分线的判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，可知只需证明点P到∠BCD的两边BC、AD的距离相等即可。因此我们先过点P分别作BC、AD的垂线段PE、PF，再结合已知的∠A=∠B、PA=PB，证明△BEP和△AFP全等，利用全等三角形对应边相等得到PE=PF，即可满足角平分线的判定条件，推出结论。
【解析】
证明：过点P作$PE ⊥ BC$于点E，$PF ⊥ AD$于点F，则$∠ BEP = ∠ AFP = 90°$。
在$△ BEP$和$△ AFP$中，
$\begin{cases}∠ BEP=∠ AFP\\∠ B=∠ A\\PB=PA\end{cases}$
$\therefore △ BEP ≌ △ AFP(\mathrm{AAS})$，$\therefore PE = PF$。
又$\because PE ⊥ BC$，$PF ⊥ AD$，即点P到∠BCD两边的距离相等，
$\therefore CP$平分$∠ BCD$。
【答案】
证明：过点 P 作 $PE ⊥ BC$ 于点 E, $PF ⊥ AD$ 于点 F, 则 $∠ BEP = ∠ AFP = 90°$. 在$△ BEP$ 和$△ AFP$ 中, $\begin{cases}∠ BEP=∠ AFP,\\∠ B=∠ A,\\PB=PA,\end{cases}$ $\therefore △ BEP≌△ AFP(\mathrm{AAS}),\therefore PE = PF$. 又$\because PE ⊥ BC,PF ⊥ AD,\therefore CP$ 平分$∠ BCD$.
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的核心是合理构造辅助线，结合角平分线的判定定理将证明角平分线的问题转化为证明线段相等的问题，再通过全等三角形的性质完成推导，能够有效考查学生的逻辑推理能力和基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.8
要证明CP平分∠BCD，根据角平分线的判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，可知只需证明点P到∠BCD的两边BC、AD的距离相等即可。因此我们先过点P分别作BC、AD的垂线段PE、PF，再结合已知的∠A=∠B、PA=PB，证明△BEP和△AFP全等，利用全等三角形对应边相等得到PE=PF，即可满足角平分线的判定条件，推出结论。
【解析】
证明：过点P作$PE ⊥ BC$于点E，$PF ⊥ AD$于点F，则$∠ BEP = ∠ AFP = 90°$。
在$△ BEP$和$△ AFP$中，
$\begin{cases}∠ BEP=∠ AFP\\∠ B=∠ A\\PB=PA\end{cases}$
$\therefore △ BEP ≌ △ AFP(\mathrm{AAS})$，$\therefore PE = PF$。
又$\because PE ⊥ BC$，$PF ⊥ AD$，即点P到∠BCD两边的距离相等，
$\therefore CP$平分$∠ BCD$。
【答案】
证明：过点 P 作 $PE ⊥ BC$ 于点 E, $PF ⊥ AD$ 于点 F, 则 $∠ BEP = ∠ AFP = 90°$. 在$△ BEP$ 和$△ AFP$ 中, $\begin{cases}∠ BEP=∠ AFP,\\∠ B=∠ A,\\PB=PA,\end{cases}$ $\therefore △ BEP≌△ AFP(\mathrm{AAS}),\therefore PE = PF$. 又$\because PE ⊥ BC,PF ⊥ AD,\therefore CP$ 平分$∠ BCD$.
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的核心是合理构造辅助线，结合角平分线的判定定理将证明角平分线的问题转化为证明线段相等的问题，再通过全等三角形的性质完成推导，能够有效考查学生的逻辑推理能力和基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.8
19. (8分)如图，$AB// CD$，$AM$平分$∠ BAD$，且$M$是$BC$的中点.
(1) 猜想$AD$，$AB$，$DC$之间的数量关系并证明；
(2) 求证：$DM$平分$∠ ADC$.
(1) 猜想$AD$，$AB$，$DC$之间的数量关系并证明；
(2) 求证：$DM$平分$∠ ADC$.
答案：
19. (1) $AD = DC + AB$. 提示:如图(1),延长$AM, DC$ 相交于点 F,先证$△ ABM≌△ FCM$,再证$AD=DF$. (2) 提示:如图(2),过点 M 作$MH⊥ AB$于点 H,$MI⊥ AD$于点 I,$MG⊥ CD$于点 G,先证$△ BMH≌△ CMG$,再证$△ AMH≌△ AMI$,$△ DMI≌△ DMG$.
19. (1) $AD = DC + AB$. 提示:如图(1),延长$AM, DC$ 相交于点 F,先证$△ ABM≌△ FCM$,再证$AD=DF$. (2) 提示:如图(2),过点 M 作$MH⊥ AB$于点 H,$MI⊥ AD$于点 I,$MG⊥ CD$于点 G,先证$△ BMH≌△ CMG$,再证$△ AMH≌△ AMI$,$△ DMI≌△ DMG$.
解析：
【分析】
(1) 要探究AD、AB、DC的数量关系，已知AB//CD且M是BC中点，可通过延长AM交DC的延长线构造全等三角形，将AB转化为和DC共线的线段，再结合角平分线的性质和平行线的性质证明等腰三角形，即可得到三条线段的关系。
(2) 要证明DM平分∠ADC，根据角平分线的判定定理，只需证明点M到AD和DC的距离相等，因此过M作AB、AD、CD三边的垂线，结合角平分线性质和全等三角形证明点M到AD、DC的距离相等即可。
【解析】
(1) 猜想：$\boldsymbol{AD = AB + DC}$，证明如下：
如图(1)，延长$AM$交$DC$的延长线于点$F$。
∵ $AB // CD$，
∴ $∠ BAM = ∠ F$，$∠ B = ∠ MCF$。
又
∵ $M$是$BC$的中点，
∴ $BM = CM$。
在$△ ABM$和$△ FCM$中：
$\begin{cases}∠ BAM = ∠ F \\∠ B = ∠ MCF \\BM = CM\end{cases}$
∴ $△ ABM ≌ △ FCM$（AAS），
∴ $AB = CF$，$AM = FM$。
∵ $AM$平分$∠ BAD$，
∴ $∠ BAM = ∠ DAM$，
∴ $∠ DAM = ∠ F$，
∴ $AD = DF$。
又
∵ $DF = DC + CF = DC + AB$，
∴ $AD = AB + DC$。
(2) 证明：
如图(2)，过点$M$作$MH ⊥ AB$交$AB$的延长线于$H$，$MI ⊥ AD$于$I$，$MG ⊥ CD$交$DC$的延长线于$G$，则$∠ H = ∠ MGC = ∠ MID = ∠ MGD = 90°$。
在$△ BMH$和$△ CMG$中：
$\begin{cases}∠ H = ∠ MGC \\∠ BMH = ∠ CMG \\BM = CM\end{cases}$
∴ $△ BMH ≌ △ CMG$（AAS），
∴ $MH = MG$。
∵ $AM$平分$∠ BAD$，$MH ⊥ AB$，$MI ⊥ AD$，
根据角平分线的性质，得$MH = MI$，
∴ $MI = MG$。
又
∵ $MI ⊥ AD$，$MG ⊥ CD$，
根据角平分线的判定定理，可得$DM$平分$∠ ADC$。
【答案】
(1) $AD = DC + AB$，证明见解析；
(2) 证明见解析。
【知识点】
全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质、平行线的性质
【点评】
本题是典型的几何综合题，通过构造全等三角形实现线段的等量转化，结合角平分线的性质与判定完成证明，需要熟练掌握有中点、平行线条件下的辅助线构造方法，提升几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
(1) 要探究AD、AB、DC的数量关系，已知AB//CD且M是BC中点，可通过延长AM交DC的延长线构造全等三角形，将AB转化为和DC共线的线段，再结合角平分线的性质和平行线的性质证明等腰三角形，即可得到三条线段的关系。
(2) 要证明DM平分∠ADC，根据角平分线的判定定理，只需证明点M到AD和DC的距离相等，因此过M作AB、AD、CD三边的垂线，结合角平分线性质和全等三角形证明点M到AD、DC的距离相等即可。
【解析】
(1) 猜想：$\boldsymbol{AD = AB + DC}$，证明如下：
如图(1)，延长$AM$交$DC$的延长线于点$F$。
∵ $AB // CD$，
∴ $∠ BAM = ∠ F$，$∠ B = ∠ MCF$。
又
∵ $M$是$BC$的中点，
∴ $BM = CM$。
在$△ ABM$和$△ FCM$中：
$\begin{cases}∠ BAM = ∠ F \\∠ B = ∠ MCF \\BM = CM\end{cases}$
∴ $△ ABM ≌ △ FCM$（AAS），
∴ $AB = CF$，$AM = FM$。
∵ $AM$平分$∠ BAD$，
∴ $∠ BAM = ∠ DAM$，
∴ $∠ DAM = ∠ F$，
∴ $AD = DF$。
又
∵ $DF = DC + CF = DC + AB$，
∴ $AD = AB + DC$。
(2) 证明：
如图(2)，过点$M$作$MH ⊥ AB$交$AB$的延长线于$H$，$MI ⊥ AD$于$I$，$MG ⊥ CD$交$DC$的延长线于$G$，则$∠ H = ∠ MGC = ∠ MID = ∠ MGD = 90°$。
在$△ BMH$和$△ CMG$中：
$\begin{cases}∠ H = ∠ MGC \\∠ BMH = ∠ CMG \\BM = CM\end{cases}$
∴ $△ BMH ≌ △ CMG$（AAS），
∴ $MH = MG$。
∵ $AM$平分$∠ BAD$，$MH ⊥ AB$，$MI ⊥ AD$，
根据角平分线的性质，得$MH = MI$，
∴ $MI = MG$。
又
∵ $MI ⊥ AD$，$MG ⊥ CD$，
根据角平分线的判定定理，可得$DM$平分$∠ ADC$。
【答案】
(1) $AD = DC + AB$，证明见解析；
(2) 证明见解析。
【知识点】
全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质、平行线的性质
【点评】
本题是典型的几何综合题，通过构造全等三角形实现线段的等量转化，结合角平分线的性质与判定完成证明，需要熟练掌握有中点、平行线条件下的辅助线构造方法，提升几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
20. (8分)如图，AD//BC，∠A=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交射线AD于点E，连接BE，过点C作CF⊥BE，垂足为F. 求证：AB=FC.
答案：20. 提示:根据 AAS 证明$△ ABE≌△ FCB$.
解析：
【分析】
要证明两条线段相等，优先考虑证明线段所在的三角形全等。观察图形可知，AB在△ABE中，FC在△FCB中，因此只需证明△ABE≌△FCB即可。首先结合已知条件推导全等所需的条件：1.由AD//BC可得内错角∠AEB=∠FBC；2.由∠A=90°、CF⊥BE可得∠A=∠BFC=90°；3.由作图可知BE、BC都是以B为圆心的弧的半径，因此BE=BC。三组条件符合AAS全等判定，即可证得三角形全等，进而得到对应边AB=FC。
【解析】
证明：
∵AD//BC，
∴∠AEB=∠FBC（两直线平行，内错角相等）。
∵CF⊥BE，
∴∠BFC=90°，
又
∵∠A=90°，
∴∠A=∠BFC。
由作图可知，BE和BC均为以点B为圆心的弧的半径，
∴BE=BC。
在△ABE和△FCB中：
$\{\begin{array}{l}∠ A=∠ BFC \\∠ AEB=∠ FBC \\BE=CB\end{array} $
∴△ABE≌△FCB（AAS），
∴AB=FC（全等三角形对应边相等）。
【答案】
AB=FC得证
【知识点】
平行线的性质，全等三角形的判定（AAS），全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是找准待证线段所属的三角形，结合已知条件推导三角形全等的判定条件，通过全等三角形的性质得到对应边相等的结论，有助于训练学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
要证明两条线段相等，优先考虑证明线段所在的三角形全等。观察图形可知，AB在△ABE中，FC在△FCB中，因此只需证明△ABE≌△FCB即可。首先结合已知条件推导全等所需的条件：1.由AD//BC可得内错角∠AEB=∠FBC；2.由∠A=90°、CF⊥BE可得∠A=∠BFC=90°；3.由作图可知BE、BC都是以B为圆心的弧的半径，因此BE=BC。三组条件符合AAS全等判定，即可证得三角形全等，进而得到对应边AB=FC。
【解析】
证明：
∵AD//BC，
∴∠AEB=∠FBC（两直线平行，内错角相等）。
∵CF⊥BE，
∴∠BFC=90°，
又
∵∠A=90°，
∴∠A=∠BFC。
由作图可知，BE和BC均为以点B为圆心的弧的半径，
∴BE=BC。
在△ABE和△FCB中：
$\{\begin{array}{l}∠ A=∠ BFC \\∠ AEB=∠ FBC \\BE=CB\end{array} $
∴△ABE≌△FCB（AAS），
∴AB=FC（全等三角形对应边相等）。
【答案】
AB=FC得证
【知识点】
平行线的性质，全等三角形的判定（AAS），全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是找准待证线段所属的三角形，结合已知条件推导三角形全等的判定条件，通过全等三角形的性质得到对应边相等的结论，有助于训练学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
21. (8分)如图，$BC=AC$，$AC⊥ BC$，$AE⊥ BE$，D是BE与AC的交点，$BD=2AE$，BE平分$∠ ABC$吗？请说明理由。
（第21题）
22. (12分)
【基础回顾】
(1) 如图(1)，在$△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=AC$，直线$l$经过点$A$，分别过点$B,C$向直线$l$作垂线，垂足分别为$D,E$。求证：$△ ABD≌△ CAE$。
【变式探究】
(2) 如图(2)，在$△ ABC$中，$AB=AC$，直线$l$经过点$A$，点$D,E$分别在直线$l$上，如果$∠ CEA=∠ ADB=∠ BAC$，猜想$DE,BD,CE$有何数量关系，并给予证明。
【拓展应用】
(3) 小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图(3)所示，以$△ ABC$的边$AB,AC$为一边向外作$△ BAD$和$△ CAE$，其中$∠ BAD=∠ CAE=90°$，$AB=AD$，$AC=AE$，$AG$是边$BC$上的高。延长$GA$交$DE$于点$H$，设$△ ADH$的面积为$S_1$，$△ AEH$的面积为$S_2$，猜想$S_1,S_2$大小关系，并说明理由。
（第22题）
（第21题）22. (12分)
【基础回顾】
(1) 如图(1)，在$△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=AC$，直线$l$经过点$A$，分别过点$B,C$向直线$l$作垂线，垂足分别为$D,E$。求证：$△ ABD≌△ CAE$。
【变式探究】
(2) 如图(2)，在$△ ABC$中，$AB=AC$，直线$l$经过点$A$，点$D,E$分别在直线$l$上，如果$∠ CEA=∠ ADB=∠ BAC$，猜想$DE,BD,CE$有何数量关系，并给予证明。
【拓展应用】
(3) 小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图(3)所示，以$△ ABC$的边$AB,AC$为一边向外作$△ BAD$和$△ CAE$，其中$∠ BAD=∠ CAE=90°$，$AB=AD$，$AC=AE$，$AG$是边$BC$上的高。延长$GA$交$DE$于点$H$，设$△ ADH$的面积为$S_1$，$△ AEH$的面积为$S_2$，猜想$S_1,S_2$大小关系，并说明理由。
（第22题）答案：
21. $BE$平分$∠ ABC$.提示:延长$AE$,交$BC$的延长线于点 F. 先证$△ BCD≌△ ACF(\mathrm{ASA})$,再证$△ ABE≌△ FBE(\mathrm{SAS}),\therefore ∠ ABE=∠ FBE$.
22. (1) 证明 $\because BD⊥$ 直线 $l$,$CE⊥$ 直线 $l$,$\therefore ∠ BDA=∠ AEC=90°$,$\therefore ∠ DAB+∠ DBA=90°$. $\because ∠ BAC=90°$,$\therefore ∠ DAB+∠ EAC=90°$,$\therefore ∠ DBA=∠ EAC$.
在$△ ABD$ 和$△ CAE$ 中, $\begin{cases}∠ BDA=∠ AEC=90°,\\∠ DBA=∠ EAC,\\AB=AC,\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ CAE(\mathrm{AAS})$.
(2) 解:$DE,BD,CE$ 的数量关系:$DE = BD + CE$,证明如下:$\because ∠ EAB$ 是$△ ABD$ 的外角, $\therefore ∠ EAB = ∠ ADB + ∠ DBA$,$\therefore ∠ EAC+∠ BAC = ∠ ADB + ∠ DBA$,$\because ∠ CEA=∠ ADB=∠ BAC$,$\therefore ∠ EAC = ∠ DBA$. 在$△ EAC$ 和$△ DBA$中, $\begin{cases}∠ EAC=∠ DBA,\\∠ CEA=∠ ADB,\\AC=AB,\end{cases}$ $\therefore △ EAC≌△ DBA(\mathrm{AAS})$
$\therefore CE=AD$,$AE=BD$,$\therefore DE=AE+AD=BD+CE$.
(3) $S_1,S_2$ 大小关系:$S_1=S_2$.理由如下:过点 D 作 $DM⊥ AH$ 交 $AH$ 的延长线于点 M,过点 E 作 $EN⊥ AH$ 于点 N,如图所示:
$\because AG⊥ BC$,$\therefore ∠ AGB = ∠ M = 90°$,$\therefore ∠ ABG + ∠ BAG = 90°$. $\because ∠ BAD=90°$,$\therefore ∠ BAG+∠ DAM=90°$,$\therefore ∠ ABG=∠ DAM$. 在$△ ABG$ 和$△ DAM$ 中 $\begin{cases}∠ AGB=∠ M=90°,\\∠ ABG=∠ DAM,\\AB=AD,\end{cases}$ $\therefore △ ABG≌△ DAM(\mathrm{AAS})$
$\therefore DM=AG$,同理可证明:$△ AGC≌△ ENA$,$\therefore EN=AG$,$\therefore DM=EN$. $\because S_1=\frac{1}{2}AH· DM$,$S_2=\frac{1}{2}AH· EN$,$\therefore S_1=S_2$.
21. $BE$平分$∠ ABC$.提示:延长$AE$,交$BC$的延长线于点 F. 先证$△ BCD≌△ ACF(\mathrm{ASA})$,再证$△ ABE≌△ FBE(\mathrm{SAS}),\therefore ∠ ABE=∠ FBE$.
22. (1) 证明 $\because BD⊥$ 直线 $l$,$CE⊥$ 直线 $l$,$\therefore ∠ BDA=∠ AEC=90°$,$\therefore ∠ DAB+∠ DBA=90°$. $\because ∠ BAC=90°$,$\therefore ∠ DAB+∠ EAC=90°$,$\therefore ∠ DBA=∠ EAC$.
在$△ ABD$ 和$△ CAE$ 中, $\begin{cases}∠ BDA=∠ AEC=90°,\\∠ DBA=∠ EAC,\\AB=AC,\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ CAE(\mathrm{AAS})$.
(2) 解:$DE,BD,CE$ 的数量关系:$DE = BD + CE$,证明如下:$\because ∠ EAB$ 是$△ ABD$ 的外角, $\therefore ∠ EAB = ∠ ADB + ∠ DBA$,$\therefore ∠ EAC+∠ BAC = ∠ ADB + ∠ DBA$,$\because ∠ CEA=∠ ADB=∠ BAC$,$\therefore ∠ EAC = ∠ DBA$. 在$△ EAC$ 和$△ DBA$中, $\begin{cases}∠ EAC=∠ DBA,\\∠ CEA=∠ ADB,\\AC=AB,\end{cases}$ $\therefore △ EAC≌△ DBA(\mathrm{AAS})$
$\therefore CE=AD$,$AE=BD$,$\therefore DE=AE+AD=BD+CE$.
(3) $S_1,S_2$ 大小关系:$S_1=S_2$.理由如下:过点 D 作 $DM⊥ AH$ 交 $AH$ 的延长线于点 M,过点 E 作 $EN⊥ AH$ 于点 N,如图所示:
$\because AG⊥ BC$,$\therefore ∠ AGB = ∠ M = 90°$,$\therefore ∠ ABG + ∠ BAG = 90°$. $\because ∠ BAD=90°$,$\therefore ∠ BAG+∠ DAM=90°$,$\therefore ∠ ABG=∠ DAM$. 在$△ ABG$ 和$△ DAM$ 中 $\begin{cases}∠ AGB=∠ M=90°,\\∠ ABG=∠ DAM,\\AB=AD,\end{cases}$ $\therefore △ ABG≌△ DAM(\mathrm{AAS})$
$\therefore DM=AG$,同理可证明:$△ AGC≌△ ENA$,$\therefore EN=AG$,$\therefore DM=EN$. $\because S_1=\frac{1}{2}AH· DM$,$S_2=\frac{1}{2}AH· EN$,$\therefore S_1=S_2$.
解析：
第21题
【分析】
要判断BE是否平分∠ABC，需证明∠ABE=∠CBE。已知BD=2AE，且有AC⊥BC、AE⊥BE的垂直条件，我们可以通过延长AE交BC的延长线于F，先构造△BCD和△ACF全等，得到BD=AF，从而推出AE=EF，再证明△ABE和△FBE全等，即可得到角相等的结论。
【解析】
解：BE平分∠ABC，理由如下：
延长AE，交BC的延长线于点F。
∵AC⊥BC，AE⊥BE，
∴∠BCD=∠ACF=∠AEB=∠FEB=90°，
∵∠BDC=∠ADE（对顶角相等），
∴∠CBD=∠CAF（等角的余角相等）。
在△BCD和△ACF中：
$\begin{cases}∠BCD=∠ACF \\BC=AC \\∠CBD=∠CAF\end{cases}$
∴△BCD≌△ACF（ASA），
∴BD=AF。
又
∵BD=2AE，
∴AF=2AE，即AE=EF。
在△ABE和△FBE中：
$\begin{cases}AE=EF \\∠AEB=∠FEB=90° \\BE=BE\end{cases}$
∴△ABE≌△FBE（SAS），
∴∠ABE=∠FBE，即BE平分∠ABC。
【答案】
BE平分∠ABC，理由见解析。
【知识点】
全等三角形判定与性质、角平分线的判定
【点评】
本题通过作延长线的辅助线构造全等三角形，将线段的倍数关系转化为相等关系，再利用全等三角形证明角相等，是处理这类线段倍数和角平分线证明问题的常用方法。
【难度系数】
0.65
---
第22题
【分析】
(1) 要证△ABD≌△CAE，已知AB=AC，且BD、CE都垂直于直线l，可得一组直角相等，再利用同角的余角相等推出另一组角相等，用AAS即可证明全等。
(2) 猜想DE=BD+CE，利用三角形外角的性质，结合已知的三个角相等，推出一组对应角相等，证明△EAC和△DBA全等，得到对应边相等，代入线段和的关系即可得证。
(3) 猜想S₁=S₂，△ADH和△AEH同底AH，只需证明两条高相等即可；分别过D、E作AH的垂线，构造两组全等三角形，证明两条高都等于AG，从而得到高相等，即可得到两个三角形面积相等。
【解析】
(1) 证明：
∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，
∴∠BDA=∠AEC=90°，
∴∠DAB+∠DBA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAB+∠EAC=90°，
∴∠DBA=∠EAC（同角的余角相等）。
在△ABD和△CAE中：
$\begin{cases}∠BDA=∠AEC \\∠DBA=∠EAC \\AB=AC\end{cases}$
∴△ABD≌△CAE（AAS）。
(2) 解：DE、BD、CE的数量关系为$\boldsymbol{DE = BD + CE}$，证明如下：
∵∠EAB是△ABD的外角，
∴∠EAB = ∠ADB + ∠DBA，
即∠EAC+∠BAC = ∠ADB + ∠DBA，
∵∠CEA=∠ADB=∠BAC，
∴∠EAC = ∠DBA。
在△EAC和△DBA中：
$\begin{cases}∠EAC=∠DBA \\∠CEA=∠ADB \\AC=AB\end{cases}$
∴△EAC≌△DBA（AAS），
∴CE=AD，AE=BD，
∴DE=AE+AD=BD+CE。
(3) 解：S₁、S₂的大小关系为$\boldsymbol{S_1=S_2}$，理由如下：
过点D作$DM⊥AH$交AH的延长线于点M，过点E作$EN⊥AH$于点N，如图所示：
∵AG⊥BC，
∴∠AGB = ∠M = 90°，
∴∠ABG + ∠BAG = 90°，
∵∠BAD=90°，
∴∠BAG+∠DAM=90°，
∴∠ABG=∠DAM（同角的余角相等）。
在△ABG和△DAM中：
$\begin{cases}∠AGB=∠M \\∠ABG=∠DAM \\AB=AD\end{cases}$
∴△ABG≌△DAM（AAS），
∴DM=AG。
同理可证△AGC≌△ENA，
∴EN=AG，
∴DM=EN。
∵$S_1=\frac{1}{2}AH· DM$，$S_2=\frac{1}{2}AH· EN$，
∴$S_1=S_2$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $DE=BD+CE$，证明见解析；(3) $S_1=S_2$，理由见解析，辅助线图。
【知识点】
全等三角形判定与性质、三角形外角性质、三角形面积计算
【点评】
本题是典型的几何探究类问题，从基础的一线三垂直全等模型，拓展到一线三等角模型，再应用到面积探究中，核心是构造全等三角形转化线段关系，掌握一线三等角模型的构造方法是解题的关键。
【难度系数】
0.55
【分析】
要判断BE是否平分∠ABC，需证明∠ABE=∠CBE。已知BD=2AE，且有AC⊥BC、AE⊥BE的垂直条件，我们可以通过延长AE交BC的延长线于F，先构造△BCD和△ACF全等，得到BD=AF，从而推出AE=EF，再证明△ABE和△FBE全等，即可得到角相等的结论。
【解析】
解：BE平分∠ABC，理由如下：
延长AE，交BC的延长线于点F。
∵AC⊥BC，AE⊥BE，
∴∠BCD=∠ACF=∠AEB=∠FEB=90°，
∵∠BDC=∠ADE（对顶角相等），
∴∠CBD=∠CAF（等角的余角相等）。
在△BCD和△ACF中：
$\begin{cases}∠BCD=∠ACF \\BC=AC \\∠CBD=∠CAF\end{cases}$
∴△BCD≌△ACF（ASA），
∴BD=AF。
又
∵BD=2AE，
∴AF=2AE，即AE=EF。
在△ABE和△FBE中：
$\begin{cases}AE=EF \\∠AEB=∠FEB=90° \\BE=BE\end{cases}$
∴△ABE≌△FBE（SAS），
∴∠ABE=∠FBE，即BE平分∠ABC。
【答案】
BE平分∠ABC，理由见解析。
【知识点】
全等三角形判定与性质、角平分线的判定
【点评】
本题通过作延长线的辅助线构造全等三角形，将线段的倍数关系转化为相等关系，再利用全等三角形证明角相等，是处理这类线段倍数和角平分线证明问题的常用方法。
【难度系数】
0.65
---
第22题
【分析】
(1) 要证△ABD≌△CAE，已知AB=AC，且BD、CE都垂直于直线l，可得一组直角相等，再利用同角的余角相等推出另一组角相等，用AAS即可证明全等。
(2) 猜想DE=BD+CE，利用三角形外角的性质，结合已知的三个角相等，推出一组对应角相等，证明△EAC和△DBA全等，得到对应边相等，代入线段和的关系即可得证。
(3) 猜想S₁=S₂，△ADH和△AEH同底AH，只需证明两条高相等即可；分别过D、E作AH的垂线，构造两组全等三角形，证明两条高都等于AG，从而得到高相等，即可得到两个三角形面积相等。
【解析】
(1) 证明：
∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，
∴∠BDA=∠AEC=90°，
∴∠DAB+∠DBA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAB+∠EAC=90°，
∴∠DBA=∠EAC（同角的余角相等）。
在△ABD和△CAE中：
$\begin{cases}∠BDA=∠AEC \\∠DBA=∠EAC \\AB=AC\end{cases}$
∴△ABD≌△CAE（AAS）。
(2) 解：DE、BD、CE的数量关系为$\boldsymbol{DE = BD + CE}$，证明如下：
∵∠EAB是△ABD的外角，
∴∠EAB = ∠ADB + ∠DBA，
即∠EAC+∠BAC = ∠ADB + ∠DBA，
∵∠CEA=∠ADB=∠BAC，
∴∠EAC = ∠DBA。
在△EAC和△DBA中：
$\begin{cases}∠EAC=∠DBA \\∠CEA=∠ADB \\AC=AB\end{cases}$
∴△EAC≌△DBA（AAS），
∴CE=AD，AE=BD，
∴DE=AE+AD=BD+CE。
(3) 解：S₁、S₂的大小关系为$\boldsymbol{S_1=S_2}$，理由如下：
过点D作$DM⊥AH$交AH的延长线于点M，过点E作$EN⊥AH$于点N，如图所示：
∵AG⊥BC，
∴∠AGB = ∠M = 90°，
∴∠ABG + ∠BAG = 90°，
∵∠BAD=90°，
∴∠BAG+∠DAM=90°，
∴∠ABG=∠DAM（同角的余角相等）。
在△ABG和△DAM中：
$\begin{cases}∠AGB=∠M \\∠ABG=∠DAM \\AB=AD\end{cases}$
∴△ABG≌△DAM（AAS），
∴DM=AG。
同理可证△AGC≌△ENA，
∴EN=AG，
∴DM=EN。
∵$S_1=\frac{1}{2}AH· DM$，$S_2=\frac{1}{2}AH· EN$，
∴$S_1=S_2$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $DE=BD+CE$，证明见解析；(3) $S_1=S_2$，理由见解析，辅助线图
。【知识点】
全等三角形判定与性质、三角形外角性质、三角形面积计算
【点评】
本题是典型的几何探究类问题，从基础的一线三垂直全等模型，拓展到一线三等角模型，再应用到面积探究中，核心是构造全等三角形转化线段关系，掌握一线三等角模型的构造方法是解题的关键。
【难度系数】
0.55