如图,在$△ ABC$中,AB边的垂直平分线$l_1$交BC于点D,AC边的垂直平分线$l_2$交BC于点E,$l_1$与$l_2$相交于点P,连接PB,PC.
(1) 判断点P是否在BC的垂直平分线上,并说明理由;
(2) 若$∠ BAC=100°$,求$∠ DAE$的度数.
(1) 判断点P是否在BC的垂直平分线上,并说明理由;
(2) 若$∠ BAC=100°$,求$∠ DAE$的度数.
答案：
解:(1) 点 P 在 BC 的垂直平分线上,理由如下:如图,连接 AP,
∵ $l_1$ 是 AB 边的垂直平分线,
∴ PA=PB.
∵ $l_2$ 是 AC 边的垂直平分线,
∴ PA = PC,
∴ PB=PC,
∴ 点 P 在 BC 的垂直平分线上.(2) $∠DAE$ 的度数为 $20°$.
解:(1) 点 P 在 BC 的垂直平分线上,理由如下:如图,连接 AP,
∵ $l_1$ 是 AB 边的垂直平分线,
∴ PA=PB.
∵ $l_2$ 是 AC 边的垂直平分线,
∴ PA = PC,
∴ PB=PC,
∴ 点 P 在 BC 的垂直平分线上.(2) $∠DAE$ 的度数为 $20°$.
解析：
【分析】
(1) 要判断点P是否在BC的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的判定定理：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此只需证明PB=PC即可。已知$l_1$是AB的垂直平分线，$l_2$是AC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得PA=PB、PA=PC，等量代换即可得到PB=PC，从而得出结论。
(2) 要求$∠ DAE$的度数，先利用垂直平分线的性质得到AD=BD、AE=CE，根据等边对等角可得$∠ B=∠ BAD$，$∠ C=∠ CAE$。先由三角形内角和定理求出$∠ B+∠ C$的度数，即可得到$∠ BAD+∠ CAE$的度数，最后用$∠ BAC$减去$∠ BAD$与$∠ CAE$的和即可求出$∠ DAE$的度数。
【解析】
(1) 点P在BC的垂直平分线上，理由如下：
如图，连接AP，
∵ $l_1$是AB边的垂直平分线，点P在$l_1$上，
∴ $PA=PB$，
∵ $l_2$是AC边的垂直平分线，点P在$l_2$上，
∴ $PA=PC$，
∴ $PB=PC$，
∴ 点P在BC的垂直平分线上。
(2)
∵ $l_1$是AB边的垂直平分线，点D在$l_1$上，
∴ $AD=BD$，
∴ $∠ B=∠ BAD$，
同理可得：$AE=CE$，$∠ C=∠ CAE$，
在$△ ABC$中，$∠ B+∠ C+∠ BAC=180°$，$∠ BAC=100°$，
∴ $∠ B+∠ C=180°-100°=80°$，
∴ $∠ BAD+∠ CAE=∠ B+∠ C=80°$，
∴ $∠ DAE=∠ BAC - (∠ BAD+∠ CAE)=100°-80°=20°$。
【答案】
(1) 点P在BC的垂直平分线上，理由见解析；(2) $∠ DAE$的度数为$20°$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题考查线段垂直平分线的性质与判定的综合应用，同时结合了三角形内角和、等边对等角的知识，解题的关键是熟练运用垂直平分线的性质实现线段、角的等量转化，是几何部分的基础常考题型，需要牢固掌握。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断点P是否在BC的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的判定定理：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此只需证明PB=PC即可。已知$l_1$是AB的垂直平分线，$l_2$是AC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得PA=PB、PA=PC，等量代换即可得到PB=PC，从而得出结论。
(2) 要求$∠ DAE$的度数，先利用垂直平分线的性质得到AD=BD、AE=CE，根据等边对等角可得$∠ B=∠ BAD$，$∠ C=∠ CAE$。先由三角形内角和定理求出$∠ B+∠ C$的度数，即可得到$∠ BAD+∠ CAE$的度数，最后用$∠ BAC$减去$∠ BAD$与$∠ CAE$的和即可求出$∠ DAE$的度数。
【解析】
(1) 点P在BC的垂直平分线上，理由如下：
如图，连接AP，
∵ $l_1$是AB边的垂直平分线，点P在$l_1$上，
∴ $PA=PB$，
∵ $l_2$是AC边的垂直平分线，点P在$l_2$上，
∴ $PA=PC$，
∴ $PB=PC$，
∴ 点P在BC的垂直平分线上。
(2)
∵ $l_1$是AB边的垂直平分线，点D在$l_1$上，
∴ $AD=BD$，
∴ $∠ B=∠ BAD$，
同理可得：$AE=CE$，$∠ C=∠ CAE$，
在$△ ABC$中，$∠ B+∠ C+∠ BAC=180°$，$∠ BAC=100°$，
∴ $∠ B+∠ C=180°-100°=80°$，
∴ $∠ BAD+∠ CAE=∠ B+∠ C=80°$，
∴ $∠ DAE=∠ BAC - (∠ BAD+∠ CAE)=100°-80°=20°$。
【答案】
(1) 点P在BC的垂直平分线上，理由见解析；(2) $∠ DAE$的度数为$20°$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题考查线段垂直平分线的性质与判定的综合应用，同时结合了三角形内角和、等边对等角的知识，解题的关键是熟练运用垂直平分线的性质实现线段、角的等量转化，是几何部分的基础常考题型，需要牢固掌握。
【难度系数】
0.7
1. 如果点A与点B是关于直线l的对称点，则线段AB的垂直平分线是
直线l
.答案：1. 直线l.
解析：
【分析】
要确定线段AB的垂直平分线，首先回忆轴对称的性质：如果两个点关于一条直线对称，那么这条直线垂直且平分两点的连线。再结合线段垂直平分线的定义（既垂直又平分某条线段的直线是该线段的垂直平分线），将两个知识点结合即可推出结果。
【解析】
解：
∵点A与点B关于直线l对称
∴直线l垂直于线段AB，且平分线段AB
根据线段垂直平分线的定义，可知直线l就是线段AB的垂直平分线。
【答案】
直线l
【知识点】
轴对称的性质、线段垂直平分线的定义
【点评】
本题是对轴对称基础性质的直接考查，属于基础题型，牢记对称点与对称轴的位置、数量关系是解题的关键。
【难度系数】
0.95
要确定线段AB的垂直平分线，首先回忆轴对称的性质：如果两个点关于一条直线对称，那么这条直线垂直且平分两点的连线。再结合线段垂直平分线的定义（既垂直又平分某条线段的直线是该线段的垂直平分线），将两个知识点结合即可推出结果。
【解析】
解：
∵点A与点B关于直线l对称
∴直线l垂直于线段AB，且平分线段AB
根据线段垂直平分线的定义，可知直线l就是线段AB的垂直平分线。
【答案】
直线l
【知识点】
轴对称的性质、线段垂直平分线的定义
【点评】
本题是对轴对称基础性质的直接考查，属于基础题型，牢记对称点与对称轴的位置、数量关系是解题的关键。
【难度系数】
0.95
2. 由一个平面图形可以得到它关于某直线对称的图形，这个图形与原图形的
A
|l
A'
形状
、大小
完全一样。A
|l
A'
答案：2. 形状；大小.
解析：
【分析】
解题时首先回忆轴对称的相关性质：关于某条直线对称的两个图形是可以完全重合的，也就是两个图形成全等关系。全等的图形具备的特点是形状、大小均不会发生改变，仅位置可能因对称发生变化，据此即可确定两个空的内容。
【解析】
根据轴对称的性质可知，关于某直线对称的图形与原图形全等，而全等图形的形状和大小完全一致，因此两个空依次填入形状、大小。
【答案】
形状；大小
【知识点】
1.轴对称的性质
2.全等图形的特征
【点评】
本题属于基础概念考察题，核心考查对轴对称性质的理解，只要掌握成轴对称的两个图形全等这一核心知识点即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆轴对称的相关性质：关于某条直线对称的两个图形是可以完全重合的，也就是两个图形成全等关系。全等的图形具备的特点是形状、大小均不会发生改变，仅位置可能因对称发生变化，据此即可确定两个空的内容。
【解析】
根据轴对称的性质可知，关于某直线对称的图形与原图形全等，而全等图形的形状和大小完全一致，因此两个空依次填入形状、大小。
【答案】
形状；大小
【知识点】
1.轴对称的性质
2.全等图形的特征
【点评】
本题属于基础概念考察题，核心考查对轴对称性质的理解，只要掌握成轴对称的两个图形全等这一核心知识点即可快速作答。
【难度系数】
0.9
3. 如图，$△ ABC$ 关于直线 $l$ 进行轴对称变换后，得到$△ A'B'C'$，则 $l$ 是 $AA'$ 的 
垂直平分线
。答案：3. 垂直平分线.
解析：
【分析】
首先明确题设条件：△ABC与△A'B'C'关于直线l成轴对称，A和A'是一组对应点。接下来回忆轴对称的基本性质：成轴对称的两个图形，对称轴是任意一组对应点所连线段的垂直平分线，结合对应点A、A'，即可推出直线l与线段AA'的关系。
【解析】
根据轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么该对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线。
已知△ABC和△A'B'C'关于直线l轴对称，点A与点A'是一组对应点，因此直线l是线段AA'的垂直平分线。
【答案】
垂直平分线
【知识点】
轴对称的性质，线段垂直平分线
【点评】
本题是基础概念题，主要考查轴对称性质的直接应用，只要熟记成轴对称的图形中对应点连线与对称轴的关系就能快速解答，是轴对称部分的常见基础考题。
【难度系数】
0.9
首先明确题设条件：△ABC与△A'B'C'关于直线l成轴对称，A和A'是一组对应点。接下来回忆轴对称的基本性质：成轴对称的两个图形，对称轴是任意一组对应点所连线段的垂直平分线，结合对应点A、A'，即可推出直线l与线段AA'的关系。
【解析】
根据轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么该对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线。
已知△ABC和△A'B'C'关于直线l轴对称，点A与点A'是一组对应点，因此直线l是线段AA'的垂直平分线。
【答案】
垂直平分线
【知识点】
轴对称的性质，线段垂直平分线
【点评】
本题是基础概念题，主要考查轴对称性质的直接应用，只要熟记成轴对称的图形中对应点连线与对称轴的关系就能快速解答，是轴对称部分的常见基础考题。
【难度系数】
0.9
问题 如图,只画出了一个轴对称图形的一半(虚线为对称轴),请画出它的另一半.
名师指导
要补全一个轴对称图形,只需画出特殊点的对称点,然后依次连接各对称点,便可得到整个对称图形.
解题示范 (学生在教师指导下,独立完成)
解:
名师指导
要补全一个轴对称图形,只需画出特殊点的对称点,然后依次连接各对称点,便可得到整个对称图形.
解题示范 (学生在教师指导下,独立完成)
解:
答案：解：
① 过点A作虚线对称轴的垂线，垂足为F，延长AF至对称轴左侧，取点A'，使FA' = AF，得到点A关于对称轴的对称点A'；
② 过点B作虚线对称轴的垂线，垂足为E，延长BE至对称轴左侧，取点B'，使EB' = BE，得到点B关于对称轴的对称点B'；
③ 点D、C在对称轴上，它们的对称点与自身重合；
④ 依次连接DA'、A'C、CB'、B'D，所得图形即为该轴对称图形的另一半。
① 过点A作虚线对称轴的垂线，垂足为F，延长AF至对称轴左侧，取点A'，使FA' = AF，得到点A关于对称轴的对称点A'；
② 过点B作虚线对称轴的垂线，垂足为E，延长BE至对称轴左侧，取点B'，使EB' = BE，得到点B关于对称轴的对称点B'；
③ 点D、C在对称轴上，它们的对称点与自身重合；
④ 依次连接DA'、A'C、CB'、B'D，所得图形即为该轴对称图形的另一半。
解析：
【分析】
补全轴对称图形的核心依据是轴对称的性质：轴对称图形中，对称点的连线被对称轴垂直平分。解题时首先找出已给半图形的所有关键点（即顶点A、B、C、D），再分别作各关键点关于对称轴的对称点：位于对称轴上的点，对称点为其本身；不在对称轴上的点，过点作对称轴的垂线，延长垂线到对称轴另一侧，截取与该点到垂足距离相等的线段，端点即为对称点。最后按照原图形的连接顺序依次连接各对称点，即可得到完整的轴对称图形。
【解析】
① 过点A作虚线对称轴的垂线，垂足为F，延长AF至对称轴左侧，取点A'，使FA' = AF，得到点A关于对称轴的对称点A'；
② 过点B作虚线对称轴的垂线，垂足为E，延长BE至对称轴左侧，取点B'，使EB' = BE，得到点B关于对称轴的对称点B'；
③ 点D、C在对称轴上，它们的对称点与自身重合；
④ 依次连接DA'、A'C、CB'、B'D，所得图形即为该轴对称图形的另一半。
【答案】
按照上述步骤作出的DA'、A'C、CB'、B'D围成的图形即为所求的另一半图形。
【知识点】
轴对称的性质；画轴对称图形
【点评】
本题属于基础操作类题型，核心考查轴对称性质的实际应用，熟练掌握“作垂线、取等长”的找对称点的操作步骤，即可快速解决这类补全轴对称图形的问题。
【难度系数】
0.9
补全轴对称图形的核心依据是轴对称的性质：轴对称图形中，对称点的连线被对称轴垂直平分。解题时首先找出已给半图形的所有关键点（即顶点A、B、C、D），再分别作各关键点关于对称轴的对称点：位于对称轴上的点，对称点为其本身；不在对称轴上的点，过点作对称轴的垂线，延长垂线到对称轴另一侧，截取与该点到垂足距离相等的线段，端点即为对称点。最后按照原图形的连接顺序依次连接各对称点，即可得到完整的轴对称图形。
【解析】
① 过点A作虚线对称轴的垂线，垂足为F，延长AF至对称轴左侧，取点A'，使FA' = AF，得到点A关于对称轴的对称点A'；
② 过点B作虚线对称轴的垂线，垂足为E，延长BE至对称轴左侧，取点B'，使EB' = BE，得到点B关于对称轴的对称点B'；
③ 点D、C在对称轴上，它们的对称点与自身重合；
④ 依次连接DA'、A'C、CB'、B'D，所得图形即为该轴对称图形的另一半。
【答案】
按照上述步骤作出的DA'、A'C、CB'、B'D围成的图形即为所求的另一半图形。
【知识点】
轴对称的性质；画轴对称图形
【点评】
本题属于基础操作类题型，核心考查轴对称性质的实际应用，熟练掌握“作垂线、取等长”的找对称点的操作步骤，即可快速解决这类补全轴对称图形的问题。
【难度系数】
0.9