3. 如图,为了让电线杆垂直于地面,工程人员的操作方法通常是:从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC,当固定点B,C到杆脚E的距离相等,且B,E,C在同一条直线上时,电线杆DE就垂直于BC.工程人员这种操作方法的依据是（
A.等边对等角
B.垂线段最短
C.等腰三角形“三线合一”
D.线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等
C
）A.等边对等角
B.垂线段最短
C.等腰三角形“三线合一”
D.线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等
答案：3. C.
解析：
【分析】
解题时先从题干提取已知条件：①两条固定绳长度相等即AB=AC，可得△ABC为等腰三角形；②固定点B、C到杆脚E的距离相等即BE=CE，说明E是BC的中点，AE是等腰△ABC底边上的中线。题目要证明DE⊥BC，结合等腰三角形的性质，底边上的中线与底边上的高重合，即可对应找到操作依据，再匹配选项选出答案。
【解析】
已知AB=AC，因此△ABC是等腰三角形。
又因为BE=CE，所以AE是等腰△ABC底边BC上的中线。
根据等腰三角形“三线合一”的性质：等腰三角形底边上的中线垂直于底边，可得AE⊥BC，即DE⊥BC，因此该操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形三线合一、等腰三角形的判定
【点评】
本题将生活中的实际场景与几何知识结合，考查等腰三角形核心性质的应用，要求学生能将实际问题抽象为几何模型，结合所学性质判断原理，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.8
解题时先从题干提取已知条件：①两条固定绳长度相等即AB=AC，可得△ABC为等腰三角形；②固定点B、C到杆脚E的距离相等即BE=CE，说明E是BC的中点，AE是等腰△ABC底边上的中线。题目要证明DE⊥BC，结合等腰三角形的性质，底边上的中线与底边上的高重合，即可对应找到操作依据，再匹配选项选出答案。
【解析】
已知AB=AC，因此△ABC是等腰三角形。
又因为BE=CE，所以AE是等腰△ABC底边BC上的中线。
根据等腰三角形“三线合一”的性质：等腰三角形底边上的中线垂直于底边，可得AE⊥BC，即DE⊥BC，因此该操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形三线合一、等腰三角形的判定
【点评】
本题将生活中的实际场景与几何知识结合，考查等腰三角形核心性质的应用，要求学生能将实际问题抽象为几何模型，结合所学性质判断原理，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.8
4. 如图,在四边形$ABCD$中,$AB=AD$,点$B$关于$AC$的对称点$B'$恰好落在$CD$上,若$∠ BAD=α$,则$∠ ACB$的度数为 （
A.$45°$
B.$α - 45°$
C.$\frac{1}{2}α$
D.$90° - \frac{1}{2}α$
D
）A.$45°$
B.$α - 45°$
C.$\frac{1}{2}α$
D.$90° - \frac{1}{2}α$
答案：4. D.
解析：
【分析】
遇到涉及点关于直线对称的题目，首先联想到轴对称的性质：对应边相等、对应角相等，对称轴是对应点连线的垂直平分线。本题已知AB=AD，结合对称性质可推出AB'=AB=AD，得到等腰三角形，再利用三角形外角性质、内角和定理，将已知角∠BAD和待求的∠ACB建立等量关系，即可求解。
【解析】
连接$AB'$，
∵ 点$B$关于$AC$的对称点是$B'$，
∴ $AB=AB'$，$CB=CB'$，$∠BAC=∠B'AC$，$∠ACB=∠ACB'$。
又
∵ $AB=AD$，
∴ $AD=AB'$，即$△ AB'D$为等腰三角形，
∴ $∠D=∠AB'D$。
∵ $∠AB'D$是$△ AB'C$的外角，根据三角形外角性质可得：
$∠AB'D=∠B'AC + ∠ACB' = ∠B'AC + ∠ACB$。
设$∠ACB=x$，则$∠ACB'=x$，$∠D=∠B'AC +x$。
在$△ ADC$中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠D + ∠ACD + ∠DAC = 180°$，
其中$∠ACD=x$，$∠DAC=∠DAB' + ∠B'AC$，代入得：
$(∠ B'AC +x) + x + (∠ DAB' + ∠ B'AC) =180°$，
整理得：$2∠ B'AC + ∠ DAB' + 2x =180°$。
又
∵ $∠BAD=∠ DAB' + ∠ B'AC + ∠ BAC=∠ DAB' + 2∠ B'AC=α$，
代入上式得：$α + 2x=180°$，
解得：$x=\frac{180°-α}{2}=90°-\frac{1}{2}α$。
【答案】
D
【知识点】
轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是几何综合基础题，核心是利用轴对称性质得到相等的边和角，再通过角的转化建立已知角和未知角的联系，解题过程中要注意角的拆分和等量代换的运用。
【难度系数】
0.6
遇到涉及点关于直线对称的题目，首先联想到轴对称的性质：对应边相等、对应角相等，对称轴是对应点连线的垂直平分线。本题已知AB=AD，结合对称性质可推出AB'=AB=AD，得到等腰三角形，再利用三角形外角性质、内角和定理，将已知角∠BAD和待求的∠ACB建立等量关系，即可求解。
【解析】
连接$AB'$，
∵ 点$B$关于$AC$的对称点是$B'$，
∴ $AB=AB'$，$CB=CB'$，$∠BAC=∠B'AC$，$∠ACB=∠ACB'$。
又
∵ $AB=AD$，
∴ $AD=AB'$，即$△ AB'D$为等腰三角形，
∴ $∠D=∠AB'D$。
∵ $∠AB'D$是$△ AB'C$的外角，根据三角形外角性质可得：
$∠AB'D=∠B'AC + ∠ACB' = ∠B'AC + ∠ACB$。
设$∠ACB=x$，则$∠ACB'=x$，$∠D=∠B'AC +x$。
在$△ ADC$中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠D + ∠ACD + ∠DAC = 180°$，
其中$∠ACD=x$，$∠DAC=∠DAB' + ∠B'AC$，代入得：
$(∠ B'AC +x) + x + (∠ DAB' + ∠ B'AC) =180°$，
整理得：$2∠ B'AC + ∠ DAB' + 2x =180°$。
又
∵ $∠BAD=∠ DAB' + ∠ B'AC + ∠ BAC=∠ DAB' + 2∠ B'AC=α$，
代入上式得：$α + 2x=180°$，
解得：$x=\frac{180°-α}{2}=90°-\frac{1}{2}α$。
【答案】
D
【知识点】
轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是几何综合基础题，核心是利用轴对称性质得到相等的边和角，再通过角的转化建立已知角和未知角的联系，解题过程中要注意角的拆分和等量代换的运用。
【难度系数】
0.6
5. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,D为BC边的中点,$DE\bot AB$.
(1) 求证:$∠ BAC=2∠ EDB$;
(2) 若$AC=6$,$DE=2$,求$△ ABC$的面积.
(1) 求证:$∠ BAC=2∠ EDB$;
(2) 若$AC=6$,$DE=2$,求$△ ABC$的面积.
答案：5. (1) $\because AB=AC$,D为BC边的中点,$\therefore AD⊥ BC$，$∠ BAD=∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC$,$\therefore ∠ B+∠ BAD=90°$，$\because DE ⊥ AB$,$\therefore ∠ B+∠ EDB=90°$,$\therefore ∠ EDB =∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC$,即$∠ BAC=2∠ EDB$.
(2) $S_{△ ABC}=12$.
(2) $S_{△ ABC}=12$.
解析：
【分析】
(1) 要证明∠BAC=2∠EDB，首先利用等腰三角形三线合一的性质：已知AB=AC，D是BC中点，可得AD⊥BC，且AD平分∠BAC，即∠BAD=½∠BAC；再结合DE⊥AB的条件，可得∠EDB和∠BAD都与∠B互余，根据同角的余角相等推出∠EDB=∠BAD，即可得到要证的两倍关系。
(2) 求△ABC的面积时，因为D是BC中点，所以△ABD和△ACD面积相等，先利用AB=AC=6、DE是AB边上的高为2，计算出△ABD的面积，再乘2即可得到△ABC的总面积。
【解析】
(1) 证明：
∵AB=AC，D为BC边的中点，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=½∠BAC，
∴∠B + ∠BAD = 90°，
∵DE⊥AB，
∴∠B + ∠EDB = 90°，
∴∠EDB = ∠BAD = ½∠BAC，
即∠BAC=2∠EDB。
(2) 解：
∵AB=AC=6，DE⊥AB，DE=2，
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} × AB × DE=\frac{1}{2} × 6 × 2=6$，
∵D为BC的中点，
∴$S_{△ ABC}=2S_{△ ABD}=2 × 6=12$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) 12
【知识点】
等腰三角形三线合一，同角的余角相等，三角形面积计算
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题，解题的关键是灵活运用等腰三角形三线合一的性质，结合余角的性质和面积公式求解，整体思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明∠BAC=2∠EDB，首先利用等腰三角形三线合一的性质：已知AB=AC，D是BC中点，可得AD⊥BC，且AD平分∠BAC，即∠BAD=½∠BAC；再结合DE⊥AB的条件，可得∠EDB和∠BAD都与∠B互余，根据同角的余角相等推出∠EDB=∠BAD，即可得到要证的两倍关系。
(2) 求△ABC的面积时，因为D是BC中点，所以△ABD和△ACD面积相等，先利用AB=AC=6、DE是AB边上的高为2，计算出△ABD的面积，再乘2即可得到△ABC的总面积。
【解析】
(1) 证明：
∵AB=AC，D为BC边的中点，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=½∠BAC，
∴∠B + ∠BAD = 90°，
∵DE⊥AB，
∴∠B + ∠EDB = 90°，
∴∠EDB = ∠BAD = ½∠BAC，
即∠BAC=2∠EDB。
(2) 解：
∵AB=AC=6，DE⊥AB，DE=2，
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} × AB × DE=\frac{1}{2} × 6 × 2=6$，
∵D为BC的中点，
∴$S_{△ ABC}=2S_{△ ABD}=2 × 6=12$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) 12
【知识点】
等腰三角形三线合一，同角的余角相等，三角形面积计算
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题，解题的关键是灵活运用等腰三角形三线合一的性质，结合余角的性质和面积公式求解，整体思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7