三、解答题(共8小题,共52分)
17. (4分)如图,已知点P在∠AOB内,点M,N分别是点P关于OA,OB的对称点,连接M,N分别交OA,OB于E,F,若△PEF的周长为15,求MN的长.
17. (4分)如图,已知点P在∠AOB内,点M,N分别是点P关于OA,OB的对称点,连接M,N分别交OA,OB于E,F,若△PEF的周长为15,求MN的长.
答案：17. $MN=15$
解析：
【分析】
解题时首先联想到轴对称的性质：若两个点关于某条直线对称，则这条直线是这两点连线的垂直平分线，垂直平分线上任意一点到两个对称点的距离相等。我们可以先利用这个性质得到ME与PE相等、PF与FN相等，再观察MN的线段组成，将其转化为△PEF的三边之和，结合已知的△PEF周长即可求出MN的长度。
【解析】
解：
∵点M是点P关于OA的对称点，
∴OA垂直平分MP，
∴ME = PE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
同理，点N是点P关于OB的对称点，
∴OB垂直平分PN，
∴PF = FN，
∵MN = ME + EF + FN，
将ME=PE、FN=PF代入得：
MN = PE + EF + PF，
又
∵△PEF的周长为15，即PE + EF + PF = 15，
∴MN = 15。
【答案】
$MN=15$
【知识点】
轴对称的性质、线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是轴对称性质的基础应用题型，解题的核心是通过轴对称的性质将未知线段MN的长度转化为已知周长的三角形的三边之和，掌握轴对称和线段垂直平分线的相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先联想到轴对称的性质：若两个点关于某条直线对称，则这条直线是这两点连线的垂直平分线，垂直平分线上任意一点到两个对称点的距离相等。我们可以先利用这个性质得到ME与PE相等、PF与FN相等，再观察MN的线段组成，将其转化为△PEF的三边之和，结合已知的△PEF周长即可求出MN的长度。
【解析】
解：
∵点M是点P关于OA的对称点，
∴OA垂直平分MP，
∴ME = PE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
同理，点N是点P关于OB的对称点，
∴OB垂直平分PN，
∴PF = FN，
∵MN = ME + EF + FN，
将ME=PE、FN=PF代入得：
MN = PE + EF + PF，
又
∵△PEF的周长为15，即PE + EF + PF = 15，
∴MN = 15。
【答案】
$MN=15$
【知识点】
轴对称的性质、线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是轴对称性质的基础应用题型，解题的核心是通过轴对称的性质将未知线段MN的长度转化为已知周长的三角形的三边之和，掌握轴对称和线段垂直平分线的相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
18. (5分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点均在正方形网格的格点上. (1) 请你画出△ABC关于y轴的对称图形△A₁B₁C₁,写出点A₁的坐标; (2) 若x轴上有一点P,使PB+PC最小,请在图中画出点P. 
(第18题)
(第18题)答案：
18. 解:(1) 如图所示：△A₁B₁C₁即为所求，$A_1(-3,4)$；(2) 如图所示，点P即为所求。
18. 解:(1) 如图所示：△A₁B₁C₁即为所求，$A_1(-3,4)$；(2) 如图所示，点P即为所求。
解析：
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：(1) 作关于y轴对称的图形，需先明确关于y轴对称的点的坐标规律：纵坐标不变，横坐标变为原坐标的相反数，先确定△ABC三个顶点的坐标，求出对应对称点的坐标，再描点连线即可得到对称图形，直接读出A₁的坐标。(2) 求x轴上使PB+PC最小的点P，属于最短路径问题，依据两点之间线段最短，先作其中一个点关于x轴的对称点，将两条线段的和转化为一条线段的长度，连接对称点与另一个点，和x轴的交点即为所求的点P。
【解析】
(1) 首先确定△ABC各顶点坐标：A(3,4)，B(1,2)，C(4,1)。根据关于y轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标不变，可得三个顶点的对称点坐标分别为A₁(-3,4)，B₁(-1,2)，C₁(-4,1)，在坐标系中依次描出A₁、B₁、C₁，顺次连接三点，得到的△A₁B₁C₁就是△ABC关于y轴的对称图形。
(2) 作点B关于x轴的对称点D(1,-2)，根据轴对称的性质可知PB=PD，因此PB+PC=PD+PC，根据两点之间线段最短，当D、P、C三点共线时，PD+PC的长度最小，即PB+PC最小。连接CD，CD与x轴的交点就是所求的点P。
【答案】
(1) 如图所示：△A₁B₁C₁即为所求，$A_1(-3,4)$；(2) 如图所示，点P即为所求。
【知识点】
1. 轴对称点的坐标特征
2. 轴对称作图
3. 最短路径问题
【点评】
本题侧重考查平面直角坐标系中的轴对称相关应用，属于基础题型，既要求掌握轴对称图形的作图方法和坐标变化规律，也需要熟练运用轴对称的性质解决最短路径的实际问题。
【难度系数】
0.8
本题分为两小问，解题思路如下：(1) 作关于y轴对称的图形，需先明确关于y轴对称的点的坐标规律：纵坐标不变，横坐标变为原坐标的相反数，先确定△ABC三个顶点的坐标，求出对应对称点的坐标，再描点连线即可得到对称图形，直接读出A₁的坐标。(2) 求x轴上使PB+PC最小的点P，属于最短路径问题，依据两点之间线段最短，先作其中一个点关于x轴的对称点，将两条线段的和转化为一条线段的长度，连接对称点与另一个点，和x轴的交点即为所求的点P。
【解析】
(1) 首先确定△ABC各顶点坐标：A(3,4)，B(1,2)，C(4,1)。根据关于y轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标不变，可得三个顶点的对称点坐标分别为A₁(-3,4)，B₁(-1,2)，C₁(-4,1)，在坐标系中依次描出A₁、B₁、C₁，顺次连接三点，得到的△A₁B₁C₁就是△ABC关于y轴的对称图形。
(2) 作点B关于x轴的对称点D(1,-2)，根据轴对称的性质可知PB=PD，因此PB+PC=PD+PC，根据两点之间线段最短，当D、P、C三点共线时，PD+PC的长度最小，即PB+PC最小。连接CD，CD与x轴的交点就是所求的点P。
【答案】
(1) 如图所示：△A₁B₁C₁即为所求，$A_1(-3,4)$；(2) 如图所示，点P即为所求。
【知识点】
1. 轴对称点的坐标特征
2. 轴对称作图
3. 最短路径问题
【点评】
本题侧重考查平面直角坐标系中的轴对称相关应用，属于基础题型，既要求掌握轴对称图形的作图方法和坐标变化规律，也需要熟练运用轴对称的性质解决最短路径的实际问题。
【难度系数】
0.8
19. (6分)如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,BC的垂直平分线交BC于点E,交BD于点F,连接CF.若∠A=60°,∠ABD=24°,求∠ACF的度数.
答案：19. 提示:$\because ∠A=60°,\therefore ∠ABC+∠ACB=120°$.证$∠FCB = ∠DBC$，由$∠ABD = 24°$，得$∠FCB = ∠DBC=∠ABD=24°,\therefore ∠ACF=120°- 24°- 24°-24°=48°.$
解析：
【分析】
解题时可按以下思路推导：首先根据角平分线的定义，由BD平分∠ABC和已知的∠ABD度数，得到∠DBC的度数和∠ABC的总度数；再利用三角形内角和定理，结合已知∠A的度数，算出∠ACB的度数；然后根据线段垂直平分线的性质，得到FB=FC，进而推出∠FCB=∠DBC；最后用∠ACB减去∠FCB即可求出∠ACF的度数。
【解析】
解：
∵BD平分∠ABC，∠ABD=24°，
∴∠DBC=∠ABD=24°，∠ABC=2∠ABD=48°，
∵在△ABC中，∠A=60°，三角形内角和为180°，
∴∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A = 180° - 60° = 120°，
∴∠ACB = 120° - 48° = 72°，
∵EF是BC的垂直平分线，点F在EF上，
∴FB=FC（垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），
∴∠FCB=∠DBC=24°，
∴∠ACF=∠ACB - ∠FCB = 72° - 24° = 48°。
【答案】
48°
【知识点】
角平分线的定义；线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何综合题，核心是利用角平分线、垂直平分线的性质找到相等的角，结合三角形内角和定理逐步推导，解题时注意理清角之间的和差关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路推导：首先根据角平分线的定义，由BD平分∠ABC和已知的∠ABD度数，得到∠DBC的度数和∠ABC的总度数；再利用三角形内角和定理，结合已知∠A的度数，算出∠ACB的度数；然后根据线段垂直平分线的性质，得到FB=FC，进而推出∠FCB=∠DBC；最后用∠ACB减去∠FCB即可求出∠ACF的度数。
【解析】
解：
∵BD平分∠ABC，∠ABD=24°，
∴∠DBC=∠ABD=24°，∠ABC=2∠ABD=48°，
∵在△ABC中，∠A=60°，三角形内角和为180°，
∴∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A = 180° - 60° = 120°，
∴∠ACB = 120° - 48° = 72°，
∵EF是BC的垂直平分线，点F在EF上，
∴FB=FC（垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），
∴∠FCB=∠DBC=24°，
∴∠ACF=∠ACB - ∠FCB = 72° - 24° = 48°。
【答案】
48°
【知识点】
角平分线的定义；线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何综合题，核心是利用角平分线、垂直平分线的性质找到相等的角，结合三角形内角和定理逐步推导，解题时注意理清角之间的和差关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
20. (6分)如图,过$∠ AOB$平分线上一点C作$CD// OB$交OA于点D,E是线段OC的中点,过点E画直线分别交线段CD,射线OB于点M,N,探究线段$OD$,$ON$,$DM$之间的数量关系,并证明你的结论.
答案：20. 提示:根据OC是$∠AOB$的平分线，$CD// OB$，判断出$∠DOC = ∠DCO$，所以$OD = CD = DM+CM$；再根据E是线段OC的中点，$CD// OB$，证得$CM=ON$，即可判断出$OD=DM+ON.$
解析：
【分析】
要探究OD、ON、DM的数量关系，可按以下思路推导：首先，结合已知的角平分线和平行线条件，回忆“角平分线+平行线”的常用几何模型，可推导出等腰三角形，将OD转化为CD，而CD可拆分为DM+CM，此时问题转化为证明CM与ON相等；再结合E是OC中点的条件，利用平行线的内错角相等、对顶角相等，即可证明△CEM和△OEN全等，得到CM=ON，最后通过等量代换就能得到三条线段的关系。
【解析】
线段OD、ON、DM的数量关系为$\boldsymbol{OD = ON + DM}$，证明如下：
1. 因为OC平分$∠ AOB$，所以$∠ DOC = ∠ BOC$。
2. 因为$CD // OB$，根据“两直线平行，内错角相等”可得$∠ DCO = ∠ BOC$，等量代换得$∠ DOC = ∠ DCO$，所以$△ DOC$是等腰三角形，即$OD = CD$。
又因为$CD = DM + CM$，所以$OD = DM + CM$。
3. 因为E是线段OC的中点，所以$CE = OE$。
4. 在$△ CEM$和$△ OEN$中：
$\begin{cases} ∠ ECM = ∠ EON \quad (\mathrm{两直线平行，内错角相等}) \\ CE = OE \\ ∠ CEM = ∠ OEN \quad (\mathrm{对顶角相等}) \end{cases}$
所以$△ CEM ≌ △ OEN$（ASA），因此$CM = ON$。
5. 将$CM = ON$代入$OD = DM + CM$，可得$OD = DM + ON$，即$OD = ON + DM$。
【答案】
$OD = ON + DM$
【知识点】
角平分线定义、平行线的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何线段和差证明的典型题型，核心考查对常用几何模型的掌握和逻辑推导能力，解题关键是先通过“角平分线+平行线”得到等腰三角形完成第一次线段转化，再结合中点构造全等三角形完成第二次等量代换。
【难度系数】
0.65
要探究OD、ON、DM的数量关系，可按以下思路推导：首先，结合已知的角平分线和平行线条件，回忆“角平分线+平行线”的常用几何模型，可推导出等腰三角形，将OD转化为CD，而CD可拆分为DM+CM，此时问题转化为证明CM与ON相等；再结合E是OC中点的条件，利用平行线的内错角相等、对顶角相等，即可证明△CEM和△OEN全等，得到CM=ON，最后通过等量代换就能得到三条线段的关系。
【解析】
线段OD、ON、DM的数量关系为$\boldsymbol{OD = ON + DM}$，证明如下：
1. 因为OC平分$∠ AOB$，所以$∠ DOC = ∠ BOC$。
2. 因为$CD // OB$，根据“两直线平行，内错角相等”可得$∠ DCO = ∠ BOC$，等量代换得$∠ DOC = ∠ DCO$，所以$△ DOC$是等腰三角形，即$OD = CD$。
又因为$CD = DM + CM$，所以$OD = DM + CM$。
3. 因为E是线段OC的中点，所以$CE = OE$。
4. 在$△ CEM$和$△ OEN$中：
$\begin{cases} ∠ ECM = ∠ EON \quad (\mathrm{两直线平行，内错角相等}) \\ CE = OE \\ ∠ CEM = ∠ OEN \quad (\mathrm{对顶角相等}) \end{cases}$
所以$△ CEM ≌ △ OEN$（ASA），因此$CM = ON$。
5. 将$CM = ON$代入$OD = DM + CM$，可得$OD = DM + ON$，即$OD = ON + DM$。
【答案】
$OD = ON + DM$
【知识点】
角平分线定义、平行线的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何线段和差证明的典型题型，核心考查对常用几何模型的掌握和逻辑推导能力，解题关键是先通过“角平分线+平行线”得到等腰三角形完成第一次线段转化，再结合中点构造全等三角形完成第二次等量代换。
【难度系数】
0.65
21. (6分)如图,已知△ABC为等边三角形,点D,E分别在BC,AC边上,且AE=CD,AD与BE相交于点F.
(1)求证:△ABE≌△CAD;
(2)求∠BFD的度数.
(1)求证:△ABE≌△CAD;
(2)求∠BFD的度数.
答案：21. (1) 证明:$\because △ABC$是等边三角形，$\therefore ∠BAC=∠C=60°$，$AB = AC$。在$△ABE$ 和$△CAD$ 中，$\because AB = AC$，$∠BAE=∠C,AE=CD,\therefore △ABE≌ △CAD(\mathrm{SAS}).$
(2) $∠BFD = 60°.$
(2) $∠BFD = 60°.$
解析：
【分析】
(1) 要证明△ABE≌△CAD，首先从已知的等边三角形入手，等边三角形具备三边相等、三个内角均为60°的性质，可推出AB=AC、∠BAE=∠C=60°，再结合题目给出的AE=CD的条件，刚好匹配全等三角形SAS的判定规则，即可完成证明。
(2) 求∠BFD的度数时，可观察到∠BFD是△ABF的外角，根据三角形外角性质，外角等于和它不相邻的两个内角之和，即∠BFD=∠ABE+∠BAD；结合第一问全等的结论，可得到∠ABE=∠CAD，将角度替换后就能把∠BFD转化为等边三角形的内角∠BAC，进而求出度数。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴$AB = AC$，$∠BAC=∠C=60°$，
在$△ ABE$ 和$△ CAD$ 中：
$\begin{cases}AB = AC \\∠BAE=∠C \\AE=CD\end{cases}$
∴$△ ABE≌ △ CAD(\mathrm{SAS})$。
(2) 解：
由(1)的全等结论可得$∠ABE=∠CAD$，
∵$∠BFD$是$△ ABF$的外角，
∴$∠BFD=∠ABE+∠BAD$，
将$∠ABE$替换为$∠CAD$，可得：
$∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC$，
又
∵$△ ABC$是等边三角形，$∠BAC=60°$，
∴$∠BFD=60°$。
【答案】
(1) 证明见上述解析过程；
(2) $\boldsymbol{∠BFD=60°}$
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形SAS判定；三角形外角性质
【点评】
本题属于三角形板块的基础综合题，核心考察等边三角形性质、全等三角形的判定与性质的结合应用，解题关键是找准全等的判定条件，通过角度转化求出未知角的度数，是全等三角形应用的常考题型。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明△ABE≌△CAD，首先从已知的等边三角形入手，等边三角形具备三边相等、三个内角均为60°的性质，可推出AB=AC、∠BAE=∠C=60°，再结合题目给出的AE=CD的条件，刚好匹配全等三角形SAS的判定规则，即可完成证明。
(2) 求∠BFD的度数时，可观察到∠BFD是△ABF的外角，根据三角形外角性质，外角等于和它不相邻的两个内角之和，即∠BFD=∠ABE+∠BAD；结合第一问全等的结论，可得到∠ABE=∠CAD，将角度替换后就能把∠BFD转化为等边三角形的内角∠BAC，进而求出度数。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴$AB = AC$，$∠BAC=∠C=60°$，
在$△ ABE$ 和$△ CAD$ 中：
$\begin{cases}AB = AC \\∠BAE=∠C \\AE=CD\end{cases}$
∴$△ ABE≌ △ CAD(\mathrm{SAS})$。
(2) 解：
由(1)的全等结论可得$∠ABE=∠CAD$，
∵$∠BFD$是$△ ABF$的外角，
∴$∠BFD=∠ABE+∠BAD$，
将$∠ABE$替换为$∠CAD$，可得：
$∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC$，
又
∵$△ ABC$是等边三角形，$∠BAC=60°$，
∴$∠BFD=60°$。
【答案】
(1) 证明见上述解析过程；
(2) $\boldsymbol{∠BFD=60°}$
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形SAS判定；三角形外角性质
【点评】
本题属于三角形板块的基础综合题，核心考察等边三角形性质、全等三角形的判定与性质的结合应用，解题关键是找准全等的判定条件，通过角度转化求出未知角的度数，是全等三角形应用的常考题型。
【难度系数】
0.7