1. 将代数式$x^2 + 4x -1$化成$(x+p)^2 + q$的形式为 （
A.$(x-2)^2 +3$
B.$(x+2)^2 -4$
C.$(x+2)^2 -5$
D.$(x+2)^2 +4$
C
）A.$(x-2)^2 +3$
B.$(x+2)^2 -4$
C.$(x+2)^2 -5$
D.$(x+2)^2 +4$
答案：1. C
解析：
【分析】
本题需要用配方法将给定的二次三项式转化为指定的完全平方式加常数的形式。解题思路依据完全平方公式的结构特征：首先提取二次项和一次项，给这部分加上一次项系数一半的平方凑成完全平方，再减去相同的数保证代数式的值不变，最后合并常数项即可得到结果，再对照选项判断。
【解析】
解：对代数式$x^2 + 4x -1$进行配方：
1. 分组保留二次项和一次项：$x^2 + 4x -1 = (x^2 + 4x) -1$
2. 凑完全平方：一次项系数为4，其一半是2，平方为4，因此在括号内加4再减4，保证代数式值不变：
$(x^2 + 4x + 4 - 4) -1$
3. 变形合并：括号内前三项写成完全平方形式，再合并常数项：
$(x+2)^2 -4 -1 = (x+2)^2 -5$
对比选项可知C选项符合要求。
【答案】
C
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 配方法的应用
【点评】
本题属于整式变形的基础题型，重点考查对完全平方公式结构的掌握，配方时要注意“加一个数的同时需减去同一个数”，避免改变原代数式的取值，是后续学习二次函数相关知识的基础。
【难度系数】
0.8
本题需要用配方法将给定的二次三项式转化为指定的完全平方式加常数的形式。解题思路依据完全平方公式的结构特征：首先提取二次项和一次项，给这部分加上一次项系数一半的平方凑成完全平方，再减去相同的数保证代数式的值不变，最后合并常数项即可得到结果，再对照选项判断。
【解析】
解：对代数式$x^2 + 4x -1$进行配方：
1. 分组保留二次项和一次项：$x^2 + 4x -1 = (x^2 + 4x) -1$
2. 凑完全平方：一次项系数为4，其一半是2，平方为4，因此在括号内加4再减4，保证代数式值不变：
$(x^2 + 4x + 4 - 4) -1$
3. 变形合并：括号内前三项写成完全平方形式，再合并常数项：
$(x+2)^2 -4 -1 = (x+2)^2 -5$
对比选项可知C选项符合要求。
【答案】
C
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 配方法的应用
【点评】
本题属于整式变形的基础题型，重点考查对完全平方公式结构的掌握，配方时要注意“加一个数的同时需减去同一个数”，避免改变原代数式的取值，是后续学习二次函数相关知识的基础。
【难度系数】
0.8
2. 观察下列各式及其展开式：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$；
$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$；
$(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$；
$(a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5$；
……
请你猜想$(a+b)^{16}$的展开式中第15项的系数是（
A.78
B.91
C.105
D.120
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$；
$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$；
$(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$；
$(a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5$；
……
请你猜想$(a+b)^{16}$的展开式中第15项的系数是（
D
）A.78
B.91
C.105
D.120
答案：2. D
解析：
【分析】
解题时先观察已知的几个展开式，梳理出三个关键规律：1. $(a+b)^n$的展开式共有$(n+1)$项，系数呈对称分布，即第$k$项的系数和倒数第$k$项的系数相等；2. 展开式按$a$的降幂、$b$的升幂排列，第$k$项中$b$的次数为$k-1$；3. 观察$b$的次数为2的项的系数：$n=2$时系数为$1=2×1÷2$，$n=3$时系数为$3=3×2÷2$，$n=4$时系数为$6=4×3÷2$，$n=5$时系数为$10=5×4÷2$，可总结出$(a+b)^n$中$b$次数为2的项的系数为$n(n-1)÷2$。接下来先求$(a+b)^{16}$的总项数为17项，第15项是倒数第3项，其系数和正数第3项（$b$次数为2）的系数相等，代入规律计算即可。
【解析】
第一步：观察已知展开式，总结规律：
① $(a+b)^n$的展开式共$(n+1)$项，系数对称，第$k$项系数=倒数第$k$项系数；
② 正数第3项（$b$的次数为2）的系数规律为$n(n-1)÷2$。
第二步：计算$(a+b)^{16}$的总项数：$16+1=17$（项）。
第三步：确定第15项的对称项：17项中第15项是倒数第3项，其系数与正数第3项的系数相等。
第四步：代入规律计算系数：$16×15÷2=120$。
【答案】
D
【知识点】
规律探究，完全平方公式拓展
【点评】
本题需要通过观察归纳展开式的系数、项数特征找到规律，重点考察学生的观察归纳能力，只要能发现系数的对称性和对应项系数的计算规律，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.6
解题时先观察已知的几个展开式，梳理出三个关键规律：1. $(a+b)^n$的展开式共有$(n+1)$项，系数呈对称分布，即第$k$项的系数和倒数第$k$项的系数相等；2. 展开式按$a$的降幂、$b$的升幂排列，第$k$项中$b$的次数为$k-1$；3. 观察$b$的次数为2的项的系数：$n=2$时系数为$1=2×1÷2$，$n=3$时系数为$3=3×2÷2$，$n=4$时系数为$6=4×3÷2$，$n=5$时系数为$10=5×4÷2$，可总结出$(a+b)^n$中$b$次数为2的项的系数为$n(n-1)÷2$。接下来先求$(a+b)^{16}$的总项数为17项，第15项是倒数第3项，其系数和正数第3项（$b$次数为2）的系数相等，代入规律计算即可。
【解析】
第一步：观察已知展开式，总结规律：
① $(a+b)^n$的展开式共$(n+1)$项，系数对称，第$k$项系数=倒数第$k$项系数；
② 正数第3项（$b$的次数为2）的系数规律为$n(n-1)÷2$。
第二步：计算$(a+b)^{16}$的总项数：$16+1=17$（项）。
第三步：确定第15项的对称项：17项中第15项是倒数第3项，其系数与正数第3项的系数相等。
第四步：代入规律计算系数：$16×15÷2=120$。
【答案】
D
【知识点】
规律探究，完全平方公式拓展
【点评】
本题需要通过观察归纳展开式的系数、项数特征找到规律，重点考察学生的观察归纳能力，只要能发现系数的对称性和对应项系数的计算规律，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.6
3. 设$a - b = -2$，求$\frac{a^2 + b^2}{2} - ab$的值.
答案：3. 2
解析：
【分析】
解题时先观察已知条件和所求代数式的结构特征，已知a-b的取值，所求代数式含有a²、b²和ab项，可联想到完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。我们先对所求代数式通分整理，将其变形为用$(a-b)^2$表示的形式，再整体代入已知条件计算即可，无需单独求出a、b的具体值，解题更简便。
【解析】
解：先对所求代数式化简：
$\frac{a^2 + b^2}{2} - ab = \frac{a^2 + b^2 - 2ab}{2}$
根据完全平方差公式，分子$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$，因此原式可变形为：
$\frac{(a - b)^2}{2}$
已知$a - b = -2$，将其代入上式：
原式$=\frac{(-2)^2}{2} = \frac{4}{2} = 2$
【答案】
2
【知识点】
完全平方公式，代数式化简求值
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活应用，采用整体代入的思想求解，不需要分别求出a、b的取值，熟练掌握完全平方公式的变形是解决这类整式化简求值题的核心。
【难度系数】
0.8
解题时先观察已知条件和所求代数式的结构特征，已知a-b的取值，所求代数式含有a²、b²和ab项，可联想到完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。我们先对所求代数式通分整理，将其变形为用$(a-b)^2$表示的形式，再整体代入已知条件计算即可，无需单独求出a、b的具体值，解题更简便。
【解析】
解：先对所求代数式化简：
$\frac{a^2 + b^2}{2} - ab = \frac{a^2 + b^2 - 2ab}{2}$
根据完全平方差公式，分子$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$，因此原式可变形为：
$\frac{(a - b)^2}{2}$
已知$a - b = -2$，将其代入上式：
原式$=\frac{(-2)^2}{2} = \frac{4}{2} = 2$
【答案】
2
【知识点】
完全平方公式，代数式化简求值
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活应用，采用整体代入的思想求解，不需要分别求出a、b的取值，熟练掌握完全平方公式的变形是解决这类整式化简求值题的核心。
【难度系数】
0.8
问题 若$x^2 +4x -4=0$，求代数式$3(x-2)^2 -6(x+1)(x-1)$的值.
名师指导
利用完全平方公式、平方差公式化简，去括号整理后，将已知等式代入计算即可求出值.
解题示范 （学生在教师指导下，独立完成）
解：
名师指导
利用完全平方公式、平方差公式化简，去括号整理后，将已知等式代入计算即可求出值.
解题示范 （学生在教师指导下，独立完成）
解：
答案：解：
先化简代数式：
$\begin{aligned}3(x-2)^2 -6(x+1)(x-1)&=3(x^2 -4x +4) -6(x^2 -1)\\&=3x^2 -12x +12 -6x^2 +6\\&=-3x^2 -12x +18\end{aligned}$
由 $x^2 +4x -4=0$，移项得 $x^2 +4x=4$。
将 $x^2 +4x=4$ 代入化简后的式子：
$\begin{aligned}-3x^2 -12x +18&=-3(x^2 +4x) +18\\&=-3×4 +18\\&=-12 +18\\&=6\end{aligned}$
所以该代数式的值为6。
先化简代数式：
$\begin{aligned}3(x-2)^2 -6(x+1)(x-1)&=3(x^2 -4x +4) -6(x^2 -1)\\&=3x^2 -12x +12 -6x^2 +6\\&=-3x^2 -12x +18\end{aligned}$
由 $x^2 +4x -4=0$，移项得 $x^2 +4x=4$。
将 $x^2 +4x=4$ 代入化简后的式子：
$\begin{aligned}-3x^2 -12x +18&=-3(x^2 +4x) +18\\&=-3×4 +18\\&=-12 +18\\&=6\end{aligned}$
所以该代数式的值为6。
解析：
【分析】
本题若直接求解方程$x^2 +4x -4=0$得到$x$的值再代入代数式计算，过程繁琐且易出错，因此优先考虑先化简所求代数式。化简时，$(x-2)^2$可利用完全平方公式展开，$(x+1)(x-1)$符合平方差公式的结构特征，可用平方差公式展开，之后去括号、合并同类项得到最简式。再观察最简式与已知等式的联系，将已知等式变形为$x^2+4x=4$，整体代入最简式即可快速算出结果，避免复杂运算。
【解析】
先化简代数式：
$\begin{aligned}3(x-2)^2 -6(x+1)(x-1)&=3(x^2 -4x +4) -6(x^2 -1)\\&=3x^2 -12x +12 -6x^2 +6\\&=-3x^2 -12x +18\end{aligned}$
由 $x^2 +4x -4=0$，移项得 $x^2 +4x=4$。
将 $x^2 +4x=4$ 代入化简后的式子：
$\begin{aligned}-3x^2 -12x +18&=-3(x^2 +4x) +18\\&=-3×4 +18\\&=-12 +18\\&=6\end{aligned}$
【答案】
$6$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式化简求值
【点评】
本题侧重考查整式混合运算中的化简求值，核心是熟练运用乘法公式展开化简，同时运用整体代入的思想简化计算，无需单独求出未知数的值，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
本题若直接求解方程$x^2 +4x -4=0$得到$x$的值再代入代数式计算，过程繁琐且易出错，因此优先考虑先化简所求代数式。化简时，$(x-2)^2$可利用完全平方公式展开，$(x+1)(x-1)$符合平方差公式的结构特征，可用平方差公式展开，之后去括号、合并同类项得到最简式。再观察最简式与已知等式的联系，将已知等式变形为$x^2+4x=4$，整体代入最简式即可快速算出结果，避免复杂运算。
【解析】
先化简代数式：
$\begin{aligned}3(x-2)^2 -6(x+1)(x-1)&=3(x^2 -4x +4) -6(x^2 -1)\\&=3x^2 -12x +12 -6x^2 +6\\&=-3x^2 -12x +18\end{aligned}$
由 $x^2 +4x -4=0$，移项得 $x^2 +4x=4$。
将 $x^2 +4x=4$ 代入化简后的式子：
$\begin{aligned}-3x^2 -12x +18&=-3(x^2 +4x) +18\\&=-3×4 +18\\&=-12 +18\\&=6\end{aligned}$
【答案】
$6$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式化简求值
【点评】
本题侧重考查整式混合运算中的化简求值，核心是熟练运用乘法公式展开化简，同时运用整体代入的思想简化计算，无需单独求出未知数的值，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7