活动一:试一试 理一理
通过梳理本章的学习内容,建立本章的知识结构图.
通过梳理本章的学习内容,建立本章的知识结构图.
答案：解：
本章为《一元二次方程》，知识结构图如下：
一元二次方程
1. 相关概念
定义：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程
一般形式：$ax^2+bx+c=0$（$a,b,c$为常数，$a≠0$）
2. 解法
直接开平方法
配方法
公式法：求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ (b^2-4ac≥0)$
因式分解法
3. 根的判别式
判别式$\Delta = b^2-4ac$
$\Delta＞0$：方程有两个不相等的实数根
$\Delta=0$：方程有两个相等的实数根
$\Delta＜0$：方程没有实数根
4. 根与系数的关系
若方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根为$x_1,x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$
5. 实际应用
解题步骤：审题、设未知数、列方程、解方程、检验、作答
常见类型：增长率问题、图形面积问题、销售利润问题等
本章为《一元二次方程》，知识结构图如下：
一元二次方程
1. 相关概念
定义：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程
一般形式：$ax^2+bx+c=0$（$a,b,c$为常数，$a≠0$）
2. 解法
直接开平方法
配方法
公式法：求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ (b^2-4ac≥0)$
因式分解法
3. 根的判别式
判别式$\Delta = b^2-4ac$
$\Delta＞0$：方程有两个不相等的实数根
$\Delta=0$：方程有两个相等的实数根
$\Delta＜0$：方程没有实数根
4. 根与系数的关系
若方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根为$x_1,x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$
5. 实际应用
解题步骤：审题、设未知数、列方程、解方程、检验、作答
常见类型：增长率问题、图形面积问题、销售利润问题等
解析：
【分析】
梳理本章知识结构图时，首先明确本章核心内容为一元二次方程，再按照从基础到应用的逻辑顺序划分知识模块：先整理最基础的相关概念，再梳理核心的解方程方法，接着归纳方程根的相关性质，最后补充知识的实际应用板块，再将每个模块对应的具体知识点逐一补充完整，即可形成系统的知识结构。
【解析】
本章为《一元二次方程》，按知识逻辑分类梳理：
1. 首先整理相关概念：包含一元二次方程的定义、一般形式两个基础知识点；
2. 其次梳理方程的四类解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，需牢记公式法对应的求根公式以及适用条件；
3. 接下来归纳根的相关性质：一是根的判别式，明确判别式取值和方程实数根个数的对应关系；二是根与系数的关系，掌握两根和、两根积与方程系数的关系；
4. 最后整理实际应用板块：牢记列方程解应用题的通用步骤，熟悉常见的应用题型即可。
【答案】
解：
本章为《一元二次方程》，知识结构图如下：
一元二次方程
1. 相关概念
定义：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程
一般形式：$ax^2+bx+c=0$（$a,b,c$为常数，$a≠0$）
2. 解法
直接开平方法
配方法
公式法：求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ (b^2-4ac≥0)$
因式分解法
3. 根的判别式
判别式$\Delta = b^2-4ac$
$\Delta＞0$：方程有两个不相等的实数根
$\Delta=0$：方程有两个相等的实数根
$\Delta＜0$：方程没有实数根
4. 根与系数的关系
若方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根为$x_1,x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$
5. 实际应用
解题步骤：审题、设未知数、列方程、解方程、检验、作答
常见类型：增长率问题、图形面积问题、销售利润问题等
【知识点】
一元二次方程概念；一元二次方程的解法；一元二次方程的应用
【点评】
本题属于知识归纳类题目，通过构建知识结构图能够帮助理清知识点之间的逻辑关联，强化对章节内容的整体掌握，为后续综合运用相关知识解决问题打好基础。
【难度系数】
0.8
梳理本章知识结构图时，首先明确本章核心内容为一元二次方程，再按照从基础到应用的逻辑顺序划分知识模块：先整理最基础的相关概念，再梳理核心的解方程方法，接着归纳方程根的相关性质，最后补充知识的实际应用板块，再将每个模块对应的具体知识点逐一补充完整，即可形成系统的知识结构。
【解析】
本章为《一元二次方程》，按知识逻辑分类梳理：
1. 首先整理相关概念：包含一元二次方程的定义、一般形式两个基础知识点；
2. 其次梳理方程的四类解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，需牢记公式法对应的求根公式以及适用条件；
3. 接下来归纳根的相关性质：一是根的判别式，明确判别式取值和方程实数根个数的对应关系；二是根与系数的关系，掌握两根和、两根积与方程系数的关系；
4. 最后整理实际应用板块：牢记列方程解应用题的通用步骤，熟悉常见的应用题型即可。
【答案】
解：
本章为《一元二次方程》，知识结构图如下：
一元二次方程
1. 相关概念
定义：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程
一般形式：$ax^2+bx+c=0$（$a,b,c$为常数，$a≠0$）
2. 解法
直接开平方法
配方法
公式法：求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ (b^2-4ac≥0)$
因式分解法
3. 根的判别式
判别式$\Delta = b^2-4ac$
$\Delta＞0$：方程有两个不相等的实数根
$\Delta=0$：方程有两个相等的实数根
$\Delta＜0$：方程没有实数根
4. 根与系数的关系
若方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根为$x_1,x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$
5. 实际应用
解题步骤：审题、设未知数、列方程、解方程、检验、作答
常见类型：增长率问题、图形面积问题、销售利润问题等
【知识点】
一元二次方程概念；一元二次方程的解法；一元二次方程的应用
【点评】
本题属于知识归纳类题目，通过构建知识结构图能够帮助理清知识点之间的逻辑关联，强化对章节内容的整体掌握，为后续综合运用相关知识解决问题打好基础。
【难度系数】
0.8
活动二:做一做 写一写
一只不透明的袋子中装有5颗珠子,其中3颗红色、2颗绿色,这些珠子除颜色外其余都相同.
(1) 从中任取1颗,记录颜色后放回、搅匀,再任取1颗,所取2颗珠子颜色相同的概率有多大?
(2) 从中任取1颗,记录颜色后不放回,搅匀后再任取1颗,所取2颗珠子颜色相同的概率有多大?
一只不透明的袋子中装有5颗珠子,其中3颗红色、2颗绿色,这些珠子除颜色外其余都相同.
(1) 从中任取1颗,记录颜色后放回、搅匀,再任取1颗,所取2颗珠子颜色相同的概率有多大?
(2) 从中任取1颗,记录颜色后不放回,搅匀后再任取1颗,所取2颗珠子颜色相同的概率有多大?
答案：(1) $\frac{13}{25}$
(2) $\frac{2}{5}$
(2) $\frac{2}{5}$
解析：
【分析】
本题考查古典概型的概率计算，分为放回抽取和不放回抽取两种情况，解题思路如下：1. 先明确概率计算公式：$P(A)=\frac{符合事件A的结果数}{所有等可能的结果数}$；2. 针对两种抽取方式，分别计算总的等可能结果数：放回抽取时两次抽取的总可选数量不变，不放回抽取时第二次抽取的总数量比第一次少1；3. 分别计算两次取到红色、两次取到绿色的结果数，相加得到颜色相同的总结果数，代入公式计算概率即可。
【解析】
（1）放回抽取的情况：
第一次抽取有5种等可能的结果，抽取后放回搅匀，第二次抽取仍有5种等可能的结果，因此总共有$5×5=25$种等可能的结果。
两次都取到红色珠子的结果数：第一次取红有3种可能，第二次取红仍有3种可能，共$3×3=9$种；
两次都取到绿色珠子的结果数：第一次取绿有2种可能，第二次取绿仍有2种可能，共$2×2=4$种；
因此两次颜色相同的结果数共$9+4=13$种，
故所求概率$P=\frac{13}{25}$。
（2）不放回抽取的情况：
第一次抽取有5种等可能的结果，抽取后不放回搅匀，第二次抽取只有4种等可能的结果，因此总共有$5×4=20$种等可能的结果。
两次都取到红色珠子的结果数：第一次取红有3种可能，第二次取红剩余2种可能，共$3×2=6$种；
两次都取到绿色珠子的结果数：第一次取绿有2种可能，第二次取绿剩余1种可能，共$2×1=2$种；
因此两次颜色相同的结果数共$6+2=8$种，
故所求概率$P=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$。
【答案】
(1) $\frac{13}{25}$；(2) $\frac{2}{5}$
【知识点】
概率的计算；放回与不放回试验；列表法（树状图法）求概率
【点评】
本题是概率计算的典型基础题，核心是区分放回和不放回两种试验的差异，准确统计总结果数和符合条件的结果数，熟练掌握古典概型的概率公式即可顺利求解，容易出错的点是混淆两种试验中第二次抽取的可选数量。
【难度系数】
0.7
本题考查古典概型的概率计算，分为放回抽取和不放回抽取两种情况，解题思路如下：1. 先明确概率计算公式：$P(A)=\frac{符合事件A的结果数}{所有等可能的结果数}$；2. 针对两种抽取方式，分别计算总的等可能结果数：放回抽取时两次抽取的总可选数量不变，不放回抽取时第二次抽取的总数量比第一次少1；3. 分别计算两次取到红色、两次取到绿色的结果数，相加得到颜色相同的总结果数，代入公式计算概率即可。
【解析】
（1）放回抽取的情况：
第一次抽取有5种等可能的结果，抽取后放回搅匀，第二次抽取仍有5种等可能的结果，因此总共有$5×5=25$种等可能的结果。
两次都取到红色珠子的结果数：第一次取红有3种可能，第二次取红仍有3种可能，共$3×3=9$种；
两次都取到绿色珠子的结果数：第一次取绿有2种可能，第二次取绿仍有2种可能，共$2×2=4$种；
因此两次颜色相同的结果数共$9+4=13$种，
故所求概率$P=\frac{13}{25}$。
（2）不放回抽取的情况：
第一次抽取有5种等可能的结果，抽取后不放回搅匀，第二次抽取只有4种等可能的结果，因此总共有$5×4=20$种等可能的结果。
两次都取到红色珠子的结果数：第一次取红有3种可能，第二次取红剩余2种可能，共$3×2=6$种；
两次都取到绿色珠子的结果数：第一次取绿有2种可能，第二次取绿剩余1种可能，共$2×1=2$种；
因此两次颜色相同的结果数共$6+2=8$种，
故所求概率$P=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$。
【答案】
(1) $\frac{13}{25}$；(2) $\frac{2}{5}$
【知识点】
概率的计算；放回与不放回试验；列表法（树状图法）求概率
【点评】
本题是概率计算的典型基础题，核心是区分放回和不放回两种试验的差异，准确统计总结果数和符合条件的结果数，熟练掌握古典概型的概率公式即可顺利求解，容易出错的点是混淆两种试验中第二次抽取的可选数量。
【难度系数】
0.7
1. 中国象棋中红方有1个“帅”、5个“兵”，“仕”“相”“马”“车”“炮”各有2个，将所有红方棋子反面朝上放在棋盘中，任意取1个，不是“兵”和“帅”的概率是
$\frac{5}{8}$
。答案：$\frac{5}{8}$
解析：
【分析】
本题属于古典概型的概率计算问题，解题思路遵循“算总数→算符合条件的数量→代入概率公式求解”的步骤：首先明确古典概型的概率公式为“所求事件发生的概率=符合条件的情况数÷所有可能的总情况数”，先统计红方所有棋子的总数量，再统计出不是“兵”和“帅”的棋子数量，最后代入公式约分得到结果即可，统计棋子数量时注意不要漏算“仕”“相”“马”“车”“炮”的种类数。
【解析】
解：首先计算红方棋子的总数量：
红方棋子总数 = 帅的数量 + 兵的数量 + 仕、相、马、车、炮的总数量 = $1 + 5 + 2×5 = 16$（个）
再计算不是“兵”和“帅”的棋子数量：
该类棋子为仕、相、马、车、炮，总数量 = $2×5 = 10$（个）
根据概率公式可得：
$P(\mathrm{任意取1个，不是“兵”和“帅”}) = \frac{\mathrm{符合条件的棋子数}}{\mathrm{总棋子数}} = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}$
【答案】
$\frac{5}{8}$
【知识点】
概率公式，古典概型，分数约分
【点评】
本题是概率基础应用类题目，核心考查对概率计算公式的掌握，解题的关键是准确统计两类棋子的数量，计算完成后注意将结果约分为最简分数，避免因粗心数错棋子种类或数量失分。
【难度系数】
0.8
本题属于古典概型的概率计算问题，解题思路遵循“算总数→算符合条件的数量→代入概率公式求解”的步骤：首先明确古典概型的概率公式为“所求事件发生的概率=符合条件的情况数÷所有可能的总情况数”，先统计红方所有棋子的总数量，再统计出不是“兵”和“帅”的棋子数量，最后代入公式约分得到结果即可，统计棋子数量时注意不要漏算“仕”“相”“马”“车”“炮”的种类数。
【解析】
解：首先计算红方棋子的总数量：
红方棋子总数 = 帅的数量 + 兵的数量 + 仕、相、马、车、炮的总数量 = $1 + 5 + 2×5 = 16$（个）
再计算不是“兵”和“帅”的棋子数量：
该类棋子为仕、相、马、车、炮，总数量 = $2×5 = 10$（个）
根据概率公式可得：
$P(\mathrm{任意取1个，不是“兵”和“帅”}) = \frac{\mathrm{符合条件的棋子数}}{\mathrm{总棋子数}} = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}$
【答案】
$\frac{5}{8}$
【知识点】
概率公式，古典概型，分数约分
【点评】
本题是概率基础应用类题目，核心考查对概率计算公式的掌握，解题的关键是准确统计两类棋子的数量，计算完成后注意将结果约分为最简分数，避免因粗心数错棋子种类或数量失分。
【难度系数】
0.8
2. 国庆假期前，小李家设计了三种度假方案：城市探索、短途周边游、做义工.妈妈将三种方案分别写在三张相同的卡片上，小李随机抽取1张后，放回并混在一起，姐姐再随机抽取1张，则小李和姐姐抽取的度假方案相同的概率是
$\frac{1}{3}$
.答案：$\frac{1}{3}$
解析：
【分析】
这是一道有放回抽取的古典概型概率题，解题思路清晰：首先明确两人抽取是独立事件，先计算所有等可能的总结果数，再统计两人抽取方案相同的符合条件的结果数，最后用古典概型概率公式（符合条件的结果数÷总等可能结果数）计算即可得到答案。
【解析】
将三种方案分别记为A（城市探索）、B（短途周边游）、C（做义工）。
由于是有放回抽取，小李和姐姐的抽取结果互不影响，所有等可能的抽取结果为：(A,A)、(A,B)、(A,C)、(B,A)、(B,B)、(B,C)、(C,A)、(C,B)、(C,C)，共9种。
其中两人抽取方案相同的结果为：(A,A)、(B,B)、(C,C)，共3种。
根据概率计算公式：$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$
代入数据得：$P=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
1. 古典概型 2. 概率计算 3. 有放回抽样
【点评】
本题是概率基础考查题，解题核心是准确枚举所有等可能的结果，避免漏算或多算，掌握古典概型的基本求解方法就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.85
这是一道有放回抽取的古典概型概率题，解题思路清晰：首先明确两人抽取是独立事件，先计算所有等可能的总结果数，再统计两人抽取方案相同的符合条件的结果数，最后用古典概型概率公式（符合条件的结果数÷总等可能结果数）计算即可得到答案。
【解析】
将三种方案分别记为A（城市探索）、B（短途周边游）、C（做义工）。
由于是有放回抽取，小李和姐姐的抽取结果互不影响，所有等可能的抽取结果为：(A,A)、(A,B)、(A,C)、(B,A)、(B,B)、(B,C)、(C,A)、(C,B)、(C,C)，共9种。
其中两人抽取方案相同的结果为：(A,A)、(B,B)、(C,C)，共3种。
根据概率计算公式：$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$
代入数据得：$P=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
1. 古典概型 2. 概率计算 3. 有放回抽样
【点评】
本题是概率基础考查题，解题核心是准确枚举所有等可能的结果，避免漏算或多算，掌握古典概型的基本求解方法就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.85
3. 小刘和小王利用掷骰子来决定谁去看电影.若骰子朝上一面的数是2的倍数,则小刘去;若朝上一面的数是3的倍数,则小王去.这个游戏规则
不公平
(填“公平”或“不公平”).答案：不公平
解析：
【分析】
判断游戏规则是否公平的核心是比较游戏双方获胜的概率是否相等，若概率相等则规则公平，否则不公平。解题时先明确掷骰子的所有等可能结果，再分别统计符合小刘获胜、小王获胜条件的结果数，用概率公式计算两人的获胜概率后对比即可得出结论。
【解析】
掷1枚骰子，朝上一面的点数可能为1、2、3、4、5、6，共6种等可能的结果。
其中是2的倍数的点数为2、4、6，共3种，因此小刘去的概率为：
$ P(\mathrm{小刘去})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} $
其中是3的倍数的点数为3、6，共2种，因此小王去的概率为：
$ P(\mathrm{小王去})=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} $
因为$ \frac{1}{2} ≠ \frac{1}{3} $，两人获胜的概率不相等，所以该游戏规则不公平。
【答案】
不公平
【知识点】
概率计算；游戏公平性判断
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是牢记游戏公平的判断标准，熟练掌握等可能事件的概率计算方法，即可快速得到结论。
【难度系数】
0.8
判断游戏规则是否公平的核心是比较游戏双方获胜的概率是否相等，若概率相等则规则公平，否则不公平。解题时先明确掷骰子的所有等可能结果，再分别统计符合小刘获胜、小王获胜条件的结果数，用概率公式计算两人的获胜概率后对比即可得出结论。
【解析】
掷1枚骰子，朝上一面的点数可能为1、2、3、4、5、6，共6种等可能的结果。
其中是2的倍数的点数为2、4、6，共3种，因此小刘去的概率为：
$ P(\mathrm{小刘去})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} $
其中是3的倍数的点数为3、6，共2种，因此小王去的概率为：
$ P(\mathrm{小王去})=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} $
因为$ \frac{1}{2} ≠ \frac{1}{3} $，两人获胜的概率不相等，所以该游戏规则不公平。
【答案】
不公平
【知识点】
概率计算；游戏公平性判断
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是牢记游戏公平的判断标准，熟练掌握等可能事件的概率计算方法，即可快速得到结论。
【难度系数】
0.8
4. 在一个不透明的盒子中装有3个红球和若干个白球，这些球除颜色外均相同，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则这个盒子中大约有
12
个白球。答案：12
解析：
【分析】
首先明确大量重复试验中，当试验次数足够多时，事件发生的频率会稳定在对应概率附近，因此可得摸到红球的概率约为0.2。接下来设白球个数为未知数，结合“摸到红球的概率=红球个数÷球的总个数”这一概率公式列方程，解方程后检验结果是否符合实际意义，即可得到白球的数量。
【解析】
解：设这个盒子中白球的个数为$x$个。
根据大量重复试验中频率与概率的关系，可知摸到红球的概率约为$0.2$。
由概率公式可得：
$\frac{3}{3+x}=0.2$
解方程：
$3=0.2×(3+x)$
$3=0.6+0.2x$
$0.2x=3-0.6$
$0.2x=2.4$
$x=12$
检验：当$x=12$时，$3+x=15≠0$，且符合实际问题的意义，故$x=12$是原方程的解。
【答案】
12
【知识点】
1. 频率估计概率
2. 概率计算公式
3. 分式方程的应用
【点评】
本题是概率部分的基础题型，解题核心是掌握频率和概率的对应关系，结合概率公式列方程求解即可，注意求解后要检验结果是否符合实际场景。
【难度系数】
0.8
首先明确大量重复试验中，当试验次数足够多时，事件发生的频率会稳定在对应概率附近，因此可得摸到红球的概率约为0.2。接下来设白球个数为未知数，结合“摸到红球的概率=红球个数÷球的总个数”这一概率公式列方程，解方程后检验结果是否符合实际意义，即可得到白球的数量。
【解析】
解：设这个盒子中白球的个数为$x$个。
根据大量重复试验中频率与概率的关系，可知摸到红球的概率约为$0.2$。
由概率公式可得：
$\frac{3}{3+x}=0.2$
解方程：
$3=0.2×(3+x)$
$3=0.6+0.2x$
$0.2x=3-0.6$
$0.2x=2.4$
$x=12$
检验：当$x=12$时，$3+x=15≠0$，且符合实际问题的意义，故$x=12$是原方程的解。
【答案】
12
【知识点】
1. 频率估计概率
2. 概率计算公式
3. 分式方程的应用
【点评】
本题是概率部分的基础题型，解题核心是掌握频率和概率的对应关系，结合概率公式列方程求解即可，注意求解后要检验结果是否符合实际场景。
【难度系数】
0.8