14. (12分)如图是反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象,在图象上任取一点A,过点A分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为B,C,则四边形ABOC是一个矩形,这个矩形的面积为4.根据下列要求画图,并写出理由.
(1) 试利用反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象在图中画出面积为4的平行四边形(不可为矩形);
(2) 试利用反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象在图中画出面积为4的三角形.
(1) 试利用反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象在图中画出面积为4的平行四边形(不可为矩形);
(2) 试利用反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象在图中画出面积为4的三角形.
答案：解：
(1) 画法：在x轴上点B的右侧任取一点D，连接CD，过点A作$AE// CD$，交x轴于点E，则四边形CDAE即为所求的面积为4的非矩形平行四边形。
理由：由作法可知，$CA// x$轴，即$CA// DE$，又$AE// CD$，因此四边形CDAE是平行四边形。
该平行四边形的底$CA=OB$，高等于点A的纵坐标长度即AB的长度，因此面积$S = CA· AB = OB· AB$。
因为点A在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上，所以$OB· AB = 4$，即平行四边形CDAE的面积为4，且该四边形内角不为直角，不是矩形，符合要求。
(2) 画法：延长OB到点D，使$BD=OB$，即$OD=2OB$，连接AD，则$△ AOD$即为所求的面积为4的三角形。
理由：$△ AOD$的底$OD=2OB$，高为AB，因此面积$S=\frac{1}{2}· OD· AB=\frac{1}{2}· 2OB· AB = OB· AB$。
因为点A在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上，所以$OB· AB = 4$，即$△ AOD$的面积为4，符合要求。
(1) 画法：在x轴上点B的右侧任取一点D，连接CD，过点A作$AE// CD$，交x轴于点E，则四边形CDAE即为所求的面积为4的非矩形平行四边形。
理由：由作法可知，$CA// x$轴，即$CA// DE$，又$AE// CD$，因此四边形CDAE是平行四边形。
该平行四边形的底$CA=OB$，高等于点A的纵坐标长度即AB的长度，因此面积$S = CA· AB = OB· AB$。
因为点A在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上，所以$OB· AB = 4$，即平行四边形CDAE的面积为4，且该四边形内角不为直角，不是矩形，符合要求。
(2) 画法：延长OB到点D，使$BD=OB$，即$OD=2OB$，连接AD，则$△ AOD$即为所求的面积为4的三角形。
理由：$△ AOD$的底$OD=2OB$，高为AB，因此面积$S=\frac{1}{2}· OD· AB=\frac{1}{2}· 2OB· AB = OB· AB$。
因为点A在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上，所以$OB· AB = 4$，即$△ AOD$的面积为4，符合要求。
解析：
【分析】
解题时先明确反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k$的几何意义：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为$\left|k\right|$，本题中$k=4$，因此矩形ABOC的面积恒为4。
(1) 要画面积为4的非矩形平行四边形，可利用“同底等高的平行四边形面积相等”的原理，保持底和高与原矩形相等，调整边的倾斜度使内角不为直角即可。
(2) 要画面积为4的三角形，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$，只需让三角形的底和高的乘积等于8（即$2×4$），结合反比例函数上点的横纵坐标乘积为4的性质构造即可。
【解析】
(1) 画法：在x轴上点B的右侧任取一点D，连接CD，过点A作$AE// CD$，交x轴于点E，则四边形CDAE即为所求的面积为4的非矩形平行四边形。
理由：由作法可知，$CA// x$轴，即$CA// DE$，又$AE// CD$，因此四边形CDAE是平行四边形。该平行四边形的底$CA=OB$，高等于点A的纵坐标长度即AB的长度，因此面积$S = CA· AB = OB· AB$。因为点A在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上，所以$OB· AB = 4$，即平行四边形CDAE的面积为4，且该四边形内角不为直角，不是矩形，符合要求。
(2) 画法：延长OB到点D，使$BD=OB$，即$OD=2OB$，连接AD，则$△ AOD$即为所求的面积为4的三角形。
理由：$△ AOD$的底$OD=2OB$，高为AB，因此面积$S=\frac{1}{2}· OD· AB=\frac{1}{2}· 2OB· AB = OB· AB$。因为点A在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上，所以$OB· AB = 4$，即$△ AOD$的面积为4，符合要求。
【答案】
(1) 按上述画法作出的平行四边形CDAE即为所求；
(2) 按上述画法作出的$△ AOD$即为所求。
【知识点】
1. 反比例函数k的几何意义
2. 平行四边形的判定
3. 三角形面积计算
【点评】
本题围绕反比例函数k的几何意义展开，结合了平行四边形、三角形的面积性质，既考查基础知识点的掌握，也考查灵活运用几何性质作图、推理的能力，解法多样，利于发散思维的培养。
【难度系数】
0.7
解题时先明确反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k$的几何意义：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为$\left|k\right|$，本题中$k=4$，因此矩形ABOC的面积恒为4。
(1) 要画面积为4的非矩形平行四边形，可利用“同底等高的平行四边形面积相等”的原理，保持底和高与原矩形相等，调整边的倾斜度使内角不为直角即可。
(2) 要画面积为4的三角形，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$，只需让三角形的底和高的乘积等于8（即$2×4$），结合反比例函数上点的横纵坐标乘积为4的性质构造即可。
【解析】
(1) 画法：在x轴上点B的右侧任取一点D，连接CD，过点A作$AE// CD$，交x轴于点E，则四边形CDAE即为所求的面积为4的非矩形平行四边形。
理由：由作法可知，$CA// x$轴，即$CA// DE$，又$AE// CD$，因此四边形CDAE是平行四边形。该平行四边形的底$CA=OB$，高等于点A的纵坐标长度即AB的长度，因此面积$S = CA· AB = OB· AB$。因为点A在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上，所以$OB· AB = 4$，即平行四边形CDAE的面积为4，且该四边形内角不为直角，不是矩形，符合要求。
(2) 画法：延长OB到点D，使$BD=OB$，即$OD=2OB$，连接AD，则$△ AOD$即为所求的面积为4的三角形。
理由：$△ AOD$的底$OD=2OB$，高为AB，因此面积$S=\frac{1}{2}· OD· AB=\frac{1}{2}· 2OB· AB = OB· AB$。因为点A在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上，所以$OB· AB = 4$，即$△ AOD$的面积为4，符合要求。
【答案】
(1) 按上述画法作出的平行四边形CDAE即为所求；
(2) 按上述画法作出的$△ AOD$即为所求。
【知识点】
1. 反比例函数k的几何意义
2. 平行四边形的判定
3. 三角形面积计算
【点评】
本题围绕反比例函数k的几何意义展开，结合了平行四边形、三角形的面积性质，既考查基础知识点的掌握，也考查灵活运用几何性质作图、推理的能力，解法多样，利于发散思维的培养。
【难度系数】
0.7
15. (13分)数学兴趣小组了解到一款如图①所示的电子托盘秤,它是通过所称重物调节可变电阻R的大小,从而改变电路中的电流I,最终通过显示器显示物体质量.已知可变电阻R kΩ与物体质量m kg之间的关系如图②所示,电流I mA与可变电阻R之间关系为$I=\frac{6}{R+3}(R≥0)$.
(1) 该小组先探究函数$I=\frac{6}{R+3}(R≥0)$的图象与性质,并根据I与R之间关系得到如下表格:
① 表格中的$p=$
② 请在图③中画出$I=\frac{6}{R+3}(R≥0)$对应的函数图象.
(2) 该小组综合图②和图③发现,I随着m的增大而
(3) 若将该款电子秤中的电路电流范围设定为0.2＜I≤0.4(单位:mA),判断该电子托盘秤能否称出质量为2 kg的物体的质量,请说明理由.
(1) 该小组先探究函数$I=\frac{6}{R+3}(R≥0)$的图象与性质,并根据I与R之间关系得到如下表格:
① 表格中的$p=$
1
；② 请在图③中画出$I=\frac{6}{R+3}(R≥0)$对应的函数图象.
(2) 该小组综合图②和图③发现,I随着m的增大而
增大
（填“增大”或“减小”）.(3) 若将该款电子秤中的电路电流范围设定为0.2＜I≤0.4(单位:mA),判断该电子托盘秤能否称出质量为2 kg的物体的质量,请说明理由.
答案：
15. (1) ① 1 ② 由题意,画图象如图所示
(2) 增大
(3) 由题意,设$R=km+b(k≠0,b$为常数) 将$(0,24),(3,0)$代入,得$\begin{cases}24=b,\\0=3k+b.\end{cases}$ $\therefore \begin{cases}k=-8,\\b=24.\end{cases}$ $\therefore R=-8m+24$. 又$\because I=\frac{6}{R+3}$,$\therefore I=\frac{6}{-8m+27}$. $\because$由(2)知$I$随着$m$的增大而增大,$\therefore$当$I=0.4$时,$m=1.5＜2$. $\therefore$该电子托盘秤不能称出质量为2 kg的物体的质量
15. (1) ① 1 ② 由题意,画图象如图所示
(2) 增大
(3) 由题意,设$R=km+b(k≠0,b$为常数) 将$(0,24),(3,0)$代入,得$\begin{cases}24=b,\\0=3k+b.\end{cases}$ $\therefore \begin{cases}k=-8,\\b=24.\end{cases}$ $\therefore R=-8m+24$. 又$\because I=\frac{6}{R+3}$,$\therefore I=\frac{6}{-8m+27}$. $\because$由(2)知$I$随着$m$的增大而增大,$\therefore$当$I=0.4$时,$m=1.5＜2$. $\therefore$该电子托盘秤不能称出质量为2 kg的物体的质量
解析：
【分析】
1. 解答(1)①时，直接将对应R的取值代入给出的函数表达式$I=\frac{6}{R+3}$计算，即可得到p的值；②按照描点法画函数图象的常规步骤，先描出表格中对应坐标点，再用平滑曲线顺次连接各点即可。
2. 解答(2)时，先判断可变电阻R随物体质量m的变化趋势：质量m越大，R的阻值越小，再结合反比例函数$I=\frac{6}{R+3}$的增减性，即可判断I随m的变化规律。
3. 解答(3)时，首先用待定系数法求出R与m的一次函数解析式，将其代入I与R的函数式中，推导得到I与m的函数关系，再结合电流上限值求出可称量的最大质量，和2kg对比即可得出结论。
【解析】
(1) ① 当$R=3\ \mathrm{k}\Omega$时，代入$I=\frac{6}{R+3}$可得：$I=\frac{6}{3+3}=1\ \mathrm{mA}$，因此$p=1$。
② 根据表格中的坐标点在坐标系中描点，再用平滑的曲线依次连接各点，即可得到$I=\frac{6}{R+3}(R≥0)$对应的函数图象。
(2) 由R与m的对应关系可知，m增大时R的阻值减小，对于函数$I=\frac{6}{R+3}$，R越小分母越小，I的值越大，因此I随着m的增大而增大。
(3) 设R与m的函数关系式为$R=km+b(k≠0)$，将$(0,24)$、$(3,0)$代入解析式得：
$\begin{cases}24=b\\0=3k+b\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-8\\b=24\end{cases}$，即$R=-8m+24$。
将$R=-8m+24$代入$I=\frac{6}{R+3}$，得：
$I=\frac{6}{-8m+24+3}=\frac{6}{-8m+27}$
已知电路电流范围为$0.2＜I≤0.4$，当$I=0.4\ \mathrm{mA}$时，代入得：
$0.4=\frac{6}{-8m+27}$
解得$m=1.5$，即该电子秤可称量的最大质量为1.5kg，由于$1.5＜2$，因此该电子托盘秤不能称出质量为2kg的物体的质量。
【答案】
(1) ① $\boldsymbol{1}$；② 图象如图所示
(2) $\boldsymbol{增大}$
(3) 该电子托盘秤不能称出质量为2 kg的物体的质量，理由见解析。
【知识点】
反比例函数的性质，待定系数法求解析式，函数的实际应用
【点评】
本题以电子托盘秤为实际背景，综合考查了一次函数和反比例函数的图象、性质与应用，要求学生理清多变量间的对应关系，熟练运用函数性质解决实际范围判断问题，贴合生活场景，注重对知识迁移应用能力的考查。
【难度系数】
0.65
1. 解答(1)①时，直接将对应R的取值代入给出的函数表达式$I=\frac{6}{R+3}$计算，即可得到p的值；②按照描点法画函数图象的常规步骤，先描出表格中对应坐标点，再用平滑曲线顺次连接各点即可。
2. 解答(2)时，先判断可变电阻R随物体质量m的变化趋势：质量m越大，R的阻值越小，再结合反比例函数$I=\frac{6}{R+3}$的增减性，即可判断I随m的变化规律。
3. 解答(3)时，首先用待定系数法求出R与m的一次函数解析式，将其代入I与R的函数式中，推导得到I与m的函数关系，再结合电流上限值求出可称量的最大质量，和2kg对比即可得出结论。
【解析】
(1) ① 当$R=3\ \mathrm{k}\Omega$时，代入$I=\frac{6}{R+3}$可得：$I=\frac{6}{3+3}=1\ \mathrm{mA}$，因此$p=1$。
② 根据表格中的坐标点在坐标系中描点，再用平滑的曲线依次连接各点，即可得到$I=\frac{6}{R+3}(R≥0)$对应的函数图象。
(2) 由R与m的对应关系可知，m增大时R的阻值减小，对于函数$I=\frac{6}{R+3}$，R越小分母越小，I的值越大，因此I随着m的增大而增大。
(3) 设R与m的函数关系式为$R=km+b(k≠0)$，将$(0,24)$、$(3,0)$代入解析式得：
$\begin{cases}24=b\\0=3k+b\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-8\\b=24\end{cases}$，即$R=-8m+24$。
将$R=-8m+24$代入$I=\frac{6}{R+3}$，得：
$I=\frac{6}{-8m+24+3}=\frac{6}{-8m+27}$
已知电路电流范围为$0.2＜I≤0.4$，当$I=0.4\ \mathrm{mA}$时，代入得：
$0.4=\frac{6}{-8m+27}$
解得$m=1.5$，即该电子秤可称量的最大质量为1.5kg，由于$1.5＜2$，因此该电子托盘秤不能称出质量为2kg的物体的质量。
【答案】
(1) ① $\boldsymbol{1}$；② 图象如图所示
(2) $\boldsymbol{增大}$
(3) 该电子托盘秤不能称出质量为2 kg的物体的质量，理由见解析。
【知识点】
反比例函数的性质，待定系数法求解析式，函数的实际应用
【点评】
本题以电子托盘秤为实际背景，综合考查了一次函数和反比例函数的图象、性质与应用，要求学生理清多变量间的对应关系，熟练运用函数性质解决实际范围判断问题，贴合生活场景，注重对知识迁移应用能力的考查。
【难度系数】
0.65