12.（12分）某农户共摘收草莓1920 kg，为寻求合适的销售价格，进行了6天试销，试销中发现这批草莓每天的销售量y kg与售价x元/kg之间成反比例关系.已知第1天以20元/kg的价格销售了45 kg.
（1）求y关于x的函数表达式.
（2）在试销期间，第6天的销售价格比第2天低了9元/kg，但销售量却是第2天的2倍，求第2天的销售价格.
（3）试销6天共销售草莓420 kg，该农户决定将草莓的售价定为15元/kg，并且每天都按这个价格销售，余下的草莓预计还需多少天可以全部售完？
（1）求y关于x的函数表达式.
（2）在试销期间，第6天的销售价格比第2天低了9元/kg，但销售量却是第2天的2倍，求第2天的销售价格.
（3）试销6天共销售草莓420 kg，该农户决定将草莓的售价定为15元/kg，并且每天都按这个价格销售，余下的草莓预计还需多少天可以全部售完？
答案：12. (1) $y=\frac{900}{x}$
(2) 18元/kg
(3) 25天
(2) 18元/kg
(3) 25天
解析：
【分析】
（1）题目明确销售量y与售价x成反比例关系，先设反比例函数的一般形式$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，再将已知的x=20、y=45代入解析式，求出常数k即可得到函数表达式，注意x需符合实际取值为正数。
（2）设第2天的销售价格为m元/kg，则第6天售价为$(m-9)$元/kg，结合第一问的函数式分别表示出两天的销售量，根据“第6天销售量是第2天的2倍”列分式方程求解，最后检验解是否符合实际意义。
（3）先将x=15代入反比例函数式，求出售价15元/kg时的日销售量，再计算剩余草莓的质量，用剩余质量除以日销售量即可得到还需的销售天数。
【解析】
（1）设y关于x的函数表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$，
把$x=20,y=45$代入得：$45=\frac{k}{20}$，
解得$k=20×45=900$，
因此y关于x的函数表达式为$y=\frac{900}{x}(x＞0)$。
（2）设第2天的销售价格为m元/kg，则第6天的销售价格为$(m-9)$元/kg，
根据题意列方程：$\frac{900}{m-9}=2×\frac{900}{m}$，
两边同时除以900得：$\frac{1}{m-9}=\frac{2}{m}$，
交叉相乘得：$m=2(m-9)$，
解得$m=18$，
检验：当$m=18$时，$m(m-9)=18×9=162≠0$，故$m=18$是原方程的解，且符合实际意义。
（3）当$x=15$时，日销售量$y=\frac{900}{15}=60\ \mathrm{kg}$，
剩余草莓质量为$1920-420=1500\ \mathrm{kg}$，
还需销售天数为$1500÷60=25$（天）。
【答案】
(1) $y=\frac{900}{x}$；(2) 18元/kg；(3) 25天
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式，分式方程的实际应用，反比例函数的实际应用
【点评】
本题以农产品销售为实际背景，考查反比例函数和分式方程的相关知识，解题核心是找准等量关系列解析式或方程，求解分式方程时要注意检验解的合理性，整体思路清晰，计算量适中。
【难度系数】
0.7
（1）题目明确销售量y与售价x成反比例关系，先设反比例函数的一般形式$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，再将已知的x=20、y=45代入解析式，求出常数k即可得到函数表达式，注意x需符合实际取值为正数。
（2）设第2天的销售价格为m元/kg，则第6天售价为$(m-9)$元/kg，结合第一问的函数式分别表示出两天的销售量，根据“第6天销售量是第2天的2倍”列分式方程求解，最后检验解是否符合实际意义。
（3）先将x=15代入反比例函数式，求出售价15元/kg时的日销售量，再计算剩余草莓的质量，用剩余质量除以日销售量即可得到还需的销售天数。
【解析】
（1）设y关于x的函数表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$，
把$x=20,y=45$代入得：$45=\frac{k}{20}$，
解得$k=20×45=900$，
因此y关于x的函数表达式为$y=\frac{900}{x}(x＞0)$。
（2）设第2天的销售价格为m元/kg，则第6天的销售价格为$(m-9)$元/kg，
根据题意列方程：$\frac{900}{m-9}=2×\frac{900}{m}$，
两边同时除以900得：$\frac{1}{m-9}=\frac{2}{m}$，
交叉相乘得：$m=2(m-9)$，
解得$m=18$，
检验：当$m=18$时，$m(m-9)=18×9=162≠0$，故$m=18$是原方程的解，且符合实际意义。
（3）当$x=15$时，日销售量$y=\frac{900}{15}=60\ \mathrm{kg}$，
剩余草莓质量为$1920-420=1500\ \mathrm{kg}$，
还需销售天数为$1500÷60=25$（天）。
【答案】
(1) $y=\frac{900}{x}$；(2) 18元/kg；(3) 25天
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式，分式方程的实际应用，反比例函数的实际应用
【点评】
本题以农产品销售为实际背景，考查反比例函数和分式方程的相关知识，解题核心是找准等量关系列解析式或方程，求解分式方程时要注意检验解的合理性，整体思路清晰，计算量适中。
【难度系数】
0.7
13. (12分)如图,一次函数$y_1=mx+n(m≠0)$的图象与反比例函数$y_2=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象交于$A(a,-1),B(-1,3)$两点,且一次函数$y_1$的图象交$x$轴于点$C$,交$y$轴于点$D$.
(1) 求一次函数和反比例函数的表达式.
(2) 在第四象限的反比例图象上有一点$P$,使得$S_{△ OCP}=6S_{△ OBD}$,请求出点$P$的坐标.
(3) 观察图象,直接写出 $kx+b-\frac{m}{x}≤0$ 时,$x$的取值范围.
(1) 求一次函数和反比例函数的表达式.
(2) 在第四象限的反比例图象上有一点$P$,使得$S_{△ OCP}=6S_{△ OBD}$,请求出点$P$的坐标.
(3) 观察图象,直接写出 $kx+b-\frac{m}{x}≤0$ 时,$x$的取值范围.
答案：13. (1) $y_1=-x+2$,$y_2=-\frac{3}{x}$
(2) 点$P$的坐标为$(\frac{1}{2},-6)$
(3) $-1≤x＜0$ 或 $x≥3$
(2) 点$P$的坐标为$(\frac{1}{2},-6)$
(3) $-1≤x＜0$ 或 $x≥3$
解析：
【分析】
(1) 采用待定系数法求解：先将点B坐标代入反比例函数解析式求出k值，得到反比例函数表达式；再将点A代入反比例函数求出a的值，得到点A的完整坐标；最后将A、B两点坐标代入一次函数，解二元一次方程组得到一次函数的参数，即可得到一次函数表达式。
(2) 先求出一次函数与y轴交点D、与x轴交点C的坐标，先计算△OBD的面积：以OD为底，点B横坐标的绝对值为高计算面积，再根据面积关系求出△OCP的面积，以OC为底，点P纵坐标的绝对值为高求出点P的纵坐标，代入反比例函数求出横坐标，结合P在第四象限的范围确定最终坐标。
(3) 不等式对应一次函数值小于等于反比例函数值的情况，结合函数图象，找到一次函数图象在反比例函数图象下方（包含交点）的x取值范围即可，注意反比例函数自变量x≠0的限制。
【解析】
(1) 把$B(-1,3)$代入$y_2=\frac{k}{x}$，得$3=\frac{k}{-1}$，解得$k=-3$，
∴反比例函数表达式为$y_2=-\frac{3}{x}$。
∵点$A(a,-1)$在反比例函数图象上，
∴$-1=\frac{-3}{a}$，解得$a=3$，即$A(3,-1)$。
将$A(3,-1)$、$B(-1,3)$代入$y_1=mx+n$，得方程组：
$\begin{cases}3m + n = -1 \\ -m + n = 3 \end{cases}$
两式相减得$4m=-4$，解得$m=-1$，代入第二个方程得$1+n=3$，解得$n=2$，
∴一次函数表达式为$y_1=-x+2$。
(2) 对于$y_1=-x+2$，令$x=0$得$y=2$，即$D(0,2)$，$OD=2$；令$y=0$得$x=2$，即$C(2,0)$，$OC=2$。
$S_{△ OBD}=\frac{1}{2}× OD × |x_B|=\frac{1}{2}×2×1=1$，由题意得$S_{△ OCP}=6×1=6$。
设$P(t,-\frac{3}{t})$，
∵P在第四象限，
∴$t＞0$，点P到x轴的距离为$\frac{3}{t}$。
$S_{△ OCP}=\frac{1}{2}× OC × \frac{3}{t}=\frac{1}{2}×2×\frac{3}{t}=\frac{3}{t}=6$，解得$t=\frac{1}{2}$，此时$-\frac{3}{t}=-6$，
∴$P(\frac{1}{2},-6)$。
(3) 观察图象，一次函数图象在反比例函数图象下方（含交点）时，x的取值范围为$-1≤x＜0$或$x≥3$，即不等式的解集为该范围。
【答案】
(1) $y_1=-x+2$，$y_2=-\frac{3}{x}$
(2) 点$P$的坐标为$(\frac{1}{2},-6)$
(3) $-1≤x＜0$ 或 $x≥3$
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数面积计算，数形结合解函数不等式
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的常规综合题型，覆盖了函数解析式求解、面积计算、图像解不等式三大考点，解题时需要熟练运用待定系数法，结合数形结合思想分析图象关系，同时注意反比例函数自变量不为0的隐含限制。
【难度系数】
0.6
(1) 采用待定系数法求解：先将点B坐标代入反比例函数解析式求出k值，得到反比例函数表达式；再将点A代入反比例函数求出a的值，得到点A的完整坐标；最后将A、B两点坐标代入一次函数，解二元一次方程组得到一次函数的参数，即可得到一次函数表达式。
(2) 先求出一次函数与y轴交点D、与x轴交点C的坐标，先计算△OBD的面积：以OD为底，点B横坐标的绝对值为高计算面积，再根据面积关系求出△OCP的面积，以OC为底，点P纵坐标的绝对值为高求出点P的纵坐标，代入反比例函数求出横坐标，结合P在第四象限的范围确定最终坐标。
(3) 不等式对应一次函数值小于等于反比例函数值的情况，结合函数图象，找到一次函数图象在反比例函数图象下方（包含交点）的x取值范围即可，注意反比例函数自变量x≠0的限制。
【解析】
(1) 把$B(-1,3)$代入$y_2=\frac{k}{x}$，得$3=\frac{k}{-1}$，解得$k=-3$，
∴反比例函数表达式为$y_2=-\frac{3}{x}$。
∵点$A(a,-1)$在反比例函数图象上，
∴$-1=\frac{-3}{a}$，解得$a=3$，即$A(3,-1)$。
将$A(3,-1)$、$B(-1,3)$代入$y_1=mx+n$，得方程组：
$\begin{cases}3m + n = -1 \\ -m + n = 3 \end{cases}$
两式相减得$4m=-4$，解得$m=-1$，代入第二个方程得$1+n=3$，解得$n=2$，
∴一次函数表达式为$y_1=-x+2$。
(2) 对于$y_1=-x+2$，令$x=0$得$y=2$，即$D(0,2)$，$OD=2$；令$y=0$得$x=2$，即$C(2,0)$，$OC=2$。
$S_{△ OBD}=\frac{1}{2}× OD × |x_B|=\frac{1}{2}×2×1=1$，由题意得$S_{△ OCP}=6×1=6$。
设$P(t,-\frac{3}{t})$，
∵P在第四象限，
∴$t＞0$，点P到x轴的距离为$\frac{3}{t}$。
$S_{△ OCP}=\frac{1}{2}× OC × \frac{3}{t}=\frac{1}{2}×2×\frac{3}{t}=\frac{3}{t}=6$，解得$t=\frac{1}{2}$，此时$-\frac{3}{t}=-6$，
∴$P(\frac{1}{2},-6)$。
(3) 观察图象，一次函数图象在反比例函数图象下方（含交点）时，x的取值范围为$-1≤x＜0$或$x≥3$，即不等式的解集为该范围。
【答案】
(1) $y_1=-x+2$，$y_2=-\frac{3}{x}$
(2) 点$P$的坐标为$(\frac{1}{2},-6)$
(3) $-1≤x＜0$ 或 $x≥3$
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数面积计算，数形结合解函数不等式
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的常规综合题型，覆盖了函数解析式求解、面积计算、图像解不等式三大考点，解题时需要熟练运用待定系数法，结合数形结合思想分析图象关系，同时注意反比例函数自变量不为0的隐含限制。
【难度系数】
0.6