3. 选择适当的方法解下列方程：
(1) $2x^2 + 1 = 2\sqrt{5}x$；
(2) $(2x + 1)^2 + 3(2x + 1) + 2 = 0$。
(1) $2x^2 + 1 = 2\sqrt{5}x$；
(2) $(2x + 1)^2 + 3(2x + 1) + 2 = 0$。
答案：(1) $x_1=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2},x_2=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$
(2) $x_1=-1,x_2=-\frac{3}{2}$
(2) $x_1=-1,x_2=-\frac{3}{2}$
解析：
【分析】
对于第(1)题，先将方程整理为一元二次方程的一般形式，观察到各项系数含根号，使用公式法求解更稳妥，步骤为：先移项得一般式，确定a、b、c的值，计算判别式判断根的情况，再代入求根公式化简即可。对于第(2)题，方程中多次出现(2x+1)这个整体，可采用换元法或直接把(2x+1)看作整体进行因式分解，不需要展开括号，能简化计算，避免出错。
【解析】
(1) 移项，将方程化为一元二次方程的一般形式：
$2x^2 - 2\sqrt{5}x + 1 = 0$
其中二次项系数$a=2$，一次项系数$b=-2\sqrt{5}$，常数项$c=1$，
计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-2\sqrt{5})^2 - 4×2×1 = 20 - 8 = 12 ＞ 0$，可知方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$，得：
$x = \frac{2\sqrt{5} \pm \sqrt{12}}{2×2} = \frac{2\sqrt{5} \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{5} \pm \sqrt{3}}{2}$
(2) 令$t = 2x + 1$，原方程可转化为关于$t$的一元二次方程：
$t^2 + 3t + 2 = 0$
对左边因式分解得：$(t+1)(t+2)=0$
所以$t+1=0$或$t+2=0$，解得$t_1=-1$，$t_2=-2$。
将$t=2x+1$代回求解：
当$t=-1$时，$2x+1=-1$，解得$x=-1$；
当$t=-2$时，$2x+1=-2$，解得$x=-\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2},x_2=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$
(2) $x_1=-1,x_2=-\frac{3}{2}$
【知识点】
一元二次方程解法，换元法，因式分解
【点评】
本题考查一元二次方程解法的灵活选择，解题时要根据方程的特征选择最简便的方法：系数含根号的方程优先考虑公式法，含相同整体的方程可优先考虑整体换元或整体因式分解，能有效降低计算量，提高正确率。
【难度系数】
0.7
对于第(1)题，先将方程整理为一元二次方程的一般形式，观察到各项系数含根号，使用公式法求解更稳妥，步骤为：先移项得一般式，确定a、b、c的值，计算判别式判断根的情况，再代入求根公式化简即可。对于第(2)题，方程中多次出现(2x+1)这个整体，可采用换元法或直接把(2x+1)看作整体进行因式分解，不需要展开括号，能简化计算，避免出错。
【解析】
(1) 移项，将方程化为一元二次方程的一般形式：
$2x^2 - 2\sqrt{5}x + 1 = 0$
其中二次项系数$a=2$，一次项系数$b=-2\sqrt{5}$，常数项$c=1$，
计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-2\sqrt{5})^2 - 4×2×1 = 20 - 8 = 12 ＞ 0$，可知方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$，得：
$x = \frac{2\sqrt{5} \pm \sqrt{12}}{2×2} = \frac{2\sqrt{5} \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{5} \pm \sqrt{3}}{2}$
(2) 令$t = 2x + 1$，原方程可转化为关于$t$的一元二次方程：
$t^2 + 3t + 2 = 0$
对左边因式分解得：$(t+1)(t+2)=0$
所以$t+1=0$或$t+2=0$，解得$t_1=-1$，$t_2=-2$。
将$t=2x+1$代回求解：
当$t=-1$时，$2x+1=-1$，解得$x=-1$；
当$t=-2$时，$2x+1=-2$，解得$x=-\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2},x_2=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$
(2) $x_1=-1,x_2=-\frac{3}{2}$
【知识点】
一元二次方程解法，换元法，因式分解
【点评】
本题考查一元二次方程解法的灵活选择，解题时要根据方程的特征选择最简便的方法：系数含根号的方程优先考虑公式法，含相同整体的方程可优先考虑整体换元或整体因式分解，能有效降低计算量，提高正确率。
【难度系数】
0.7
4. 受益于新能源汽车产业的快速发展，某汽车零部件生产企业的利润逐年提高.据统计，2023年利润为2亿元，2025年利润为2.88亿元.
（1）求该企业从2023年到2025年利润的年平均增长率；
（2）若利润的年平均增长率不变，该企业2026年的利润能否超过3.5亿元？
（1）求该企业从2023年到2025年利润的年平均增长率；
（2）若利润的年平均增长率不变，该企业2026年的利润能否超过3.5亿元？
答案：(1) 平均年增长率为20%
(2) 不能
(2) 不能
解析：
【分析】
本题属于增长率类实际应用题，解题思路分为两步：①求解年平均增长率：利用增长率问题的通用等量关系“初始值×(1+年平均增长率)^增长年数=最终值”，设未知数列一元二次方程求解，注意舍去不符合实际意义的负根；②判断2026年利润是否达标：用求得的年平均增长率计算2026年的利润，再和3.5亿元比较大小即可得出结论。
【解析】
（1）设该企业从2023年到2025年利润的年平均增长率为$ x $。
根据题意可列方程：
$ 2(1+x)^2=2.88 $
方程两边同时除以2，得：
$ (1+x)^2=1.44 $
开平方得：
$ 1+x=\pm1.2 $
解得：$ x_1=0.2=20\% $，$ x_2=-2.2 $
因为年平均增长率不能为负数，故舍去$ x_2=-2.2 $。
（2）若年平均增长率不变，2026年的利润为：
$ 2.88×(1+20\%)=2.88×1.2=3.456 $（亿元）
因为$ 3.456＜3.5 $，所以该企业2026年的利润不能超过3.5亿元。
【答案】
(1) 年平均增长率为20%
(2) 不能
【知识点】
一元二次方程应用；增长率问题；实数大小比较
【点评】
本题是增长率类常规应用题，核心是掌握增长率问题的等量关系公式，求解方程后要注意结合实际意义对根进行取舍，计算过程中仔细运算即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
本题属于增长率类实际应用题，解题思路分为两步：①求解年平均增长率：利用增长率问题的通用等量关系“初始值×(1+年平均增长率)^增长年数=最终值”，设未知数列一元二次方程求解，注意舍去不符合实际意义的负根；②判断2026年利润是否达标：用求得的年平均增长率计算2026年的利润，再和3.5亿元比较大小即可得出结论。
【解析】
（1）设该企业从2023年到2025年利润的年平均增长率为$ x $。
根据题意可列方程：
$ 2(1+x)^2=2.88 $
方程两边同时除以2，得：
$ (1+x)^2=1.44 $
开平方得：
$ 1+x=\pm1.2 $
解得：$ x_1=0.2=20\% $，$ x_2=-2.2 $
因为年平均增长率不能为负数，故舍去$ x_2=-2.2 $。
（2）若年平均增长率不变，2026年的利润为：
$ 2.88×(1+20\%)=2.88×1.2=3.456 $（亿元）
因为$ 3.456＜3.5 $，所以该企业2026年的利润不能超过3.5亿元。
【答案】
(1) 年平均增长率为20%
(2) 不能
【知识点】
一元二次方程应用；增长率问题；实数大小比较
【点评】
本题是增长率类常规应用题，核心是掌握增长率问题的等量关系公式，求解方程后要注意结合实际意义对根进行取舍，计算过程中仔细运算即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
5. 已知$x_1,x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 6x + k = 0$的两个实数根，且$x_1^2 x_2^2 - x_1 - x_2 = 115$.
(1) 求$k$的值；
(2) 求$x_1^2 + x_2^2 + 8$的值.
(1) 求$k$的值；
(2) 求$x_1^2 + x_2^2 + 8$的值.
答案：(1) $k$的值为$-11$
(2) $x_1^2+x_2^2+8=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2+8=36+2×11+8=66$
(2) $x_1^2+x_2^2+8=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2+8=36+2×11+8=66$
解析：
【分析】
本题考查一元二次方程根的相关性质，解题思路如下：
1. 针对第(1)问求k：首先根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），得出两根之和$x_1+x_2$、两根之积$x_1x_2$与系数的关系，再将已知等式变形为用$x_1+x_2$、$x_1x_2$表示的形式，代入后得到关于k的方程求解；最后结合方程有两个实数根的条件，即判别式$\Delta≥0$，对求出的k值进行检验，舍去不符合条件的解。
2. 针对第(2)问求代数式的值：利用完全平方公式将$x_1^2+x_2^2$变形为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，代入第(1)问得到的$x_1+x_2$、$x_1x_2$的值，即可计算出结果。
【解析】
(1)
∵$x_1$，$x_2$是一元二次方程$x^2 - 6x + k = 0$的两个实数根
∴由韦达定理得：$x_1+x_2=6$，$x_1x_2=k$
且方程有两个实数根，故判别式$\Delta = (-6)^2 - 4×1× k = 36 - 4k ≥ 0$，解得$k ≤ 9$
将已知等式$x_1^2 x_2^2 - x_1 - x_2 = 115$变形得：
$(x_1x_2)^2 - (x_1+x_2) = 115$
代入$x_1+x_2=6$，$x_1x_2=k$得：
$k^2 - 6 = 115$
解得$k_1=11$，$k_2=-11$
结合$k ≤ 9$的条件，舍去$k=11$，故$k=-11$。
(2) 由(1)可知$x_1+x_2=6$，$x_1x_2=-11$
对所求代数式变形：
$x_1^2 + x_2^2 + 8 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 + 8$
代入数值计算：
原式$=6^2 - 2×(-11) + 8 = 36 + 22 + 8 = 66$
【答案】
(1) $k=-11$
(2) $66$
【知识点】
韦达定理；根的判别式；完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程根的性质的基础综合题，解题关键是熟练运用韦达定理对代数式进行整体代换，要特别注意求解参数后需结合根的判别式检验解的合理性，避免出现增根。
【难度系数】
0.65
本题考查一元二次方程根的相关性质，解题思路如下：
1. 针对第(1)问求k：首先根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），得出两根之和$x_1+x_2$、两根之积$x_1x_2$与系数的关系，再将已知等式变形为用$x_1+x_2$、$x_1x_2$表示的形式，代入后得到关于k的方程求解；最后结合方程有两个实数根的条件，即判别式$\Delta≥0$，对求出的k值进行检验，舍去不符合条件的解。
2. 针对第(2)问求代数式的值：利用完全平方公式将$x_1^2+x_2^2$变形为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，代入第(1)问得到的$x_1+x_2$、$x_1x_2$的值，即可计算出结果。
【解析】
(1)
∵$x_1$，$x_2$是一元二次方程$x^2 - 6x + k = 0$的两个实数根
∴由韦达定理得：$x_1+x_2=6$，$x_1x_2=k$
且方程有两个实数根，故判别式$\Delta = (-6)^2 - 4×1× k = 36 - 4k ≥ 0$，解得$k ≤ 9$
将已知等式$x_1^2 x_2^2 - x_1 - x_2 = 115$变形得：
$(x_1x_2)^2 - (x_1+x_2) = 115$
代入$x_1+x_2=6$，$x_1x_2=k$得：
$k^2 - 6 = 115$
解得$k_1=11$，$k_2=-11$
结合$k ≤ 9$的条件，舍去$k=11$，故$k=-11$。
(2) 由(1)可知$x_1+x_2=6$，$x_1x_2=-11$
对所求代数式变形：
$x_1^2 + x_2^2 + 8 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 + 8$
代入数值计算：
原式$=6^2 - 2×(-11) + 8 = 36 + 22 + 8 = 66$
【答案】
(1) $k=-11$
(2) $66$
【知识点】
韦达定理；根的判别式；完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程根的性质的基础综合题，解题关键是熟练运用韦达定理对代数式进行整体代换，要特别注意求解参数后需结合根的判别式检验解的合理性，避免出现增根。
【难度系数】
0.65
1. 已知关于$x$的方程$kx^2+(2k+1)x+2=0$.求证:无论$k$取任何实数,该方程总有实数根.
答案：(1) 当$k=0$时,方程为$x+2=0$. 所以$x=-2$,方程有实数根
(2) 当$k≠0$时，$\because b^2-4ac=(2k+1)^2-4k×2=(2k-1)^2≥0$,即$b^2-4ac≥0$. $\therefore$ 无论$k$取任何实数时,方程总有实数根
(2) 当$k≠0$时，$\because b^2-4ac=(2k+1)^2-4k×2=(2k-1)^2≥0$,即$b^2-4ac≥0$. $\therefore$ 无论$k$取任何实数时,方程总有实数根
解析：
【分析】
要证明方程总有实数根，因题目未明确方程类型，需分类讨论：①当k=0时，方程为一元一次方程，直接求解即可判断是否有实根；②当k≠0时，方程为一元二次方程，通过计算根的判别式，判断判别式的符号即可证明是否有实根，两种情况均满足有实根即可得证。
【解析】
证明：分两种情况讨论：
（1）当$k=0$时，原方程化简为$x+2=0$，解得$x=-2$，此时方程有实数根；
（2）当$k≠0$时，原方程是一元二次方程，其中$a=k$，$b=2k+1$，$c=2$，
根的判别式$\Delta = b^2-4ac=(2k+1)^2-4× k×2=4k^2+4k+1-8k=4k^2-4k+1=(2k-1)^2$，
∵ 任意实数的平方均为非负数，
∴ $(2k-1)^2≥0$，即$\Delta≥0$，
∴ 此时一元二次方程有两个实数根。
综上，无论k取任何实数，该方程总有实数根。
【答案】
无论k取任何实数，该方程总有实数根，得证。
【知识点】
1. 一元一次方程求解
2. 一元二次方程根的判别式
3. 分类讨论思想
【点评】
本题属于方程根的判定的基础题型，解题的关键是注意对二次项系数是否为0进行分类讨论，避免直接默认方程为一元二次方程导致漏解，能很好地考查学生对不同类型方程实根判定方法的掌握情况。
【难度系数】
0.7
要证明方程总有实数根，因题目未明确方程类型，需分类讨论：①当k=0时，方程为一元一次方程，直接求解即可判断是否有实根；②当k≠0时，方程为一元二次方程，通过计算根的判别式，判断判别式的符号即可证明是否有实根，两种情况均满足有实根即可得证。
【解析】
证明：分两种情况讨论：
（1）当$k=0$时，原方程化简为$x+2=0$，解得$x=-2$，此时方程有实数根；
（2）当$k≠0$时，原方程是一元二次方程，其中$a=k$，$b=2k+1$，$c=2$，
根的判别式$\Delta = b^2-4ac=(2k+1)^2-4× k×2=4k^2+4k+1-8k=4k^2-4k+1=(2k-1)^2$，
∵ 任意实数的平方均为非负数，
∴ $(2k-1)^2≥0$，即$\Delta≥0$，
∴ 此时一元二次方程有两个实数根。
综上，无论k取任何实数，该方程总有实数根。
【答案】
无论k取任何实数，该方程总有实数根，得证。
【知识点】
1. 一元一次方程求解
2. 一元二次方程根的判别式
3. 分类讨论思想
【点评】
本题属于方程根的判定的基础题型，解题的关键是注意对二次项系数是否为0进行分类讨论，避免直接默认方程为一元二次方程导致漏解，能很好地考查学生对不同类型方程实根判定方法的掌握情况。
【难度系数】
0.7
2. 我们可以用“转化”的数学思想解一些其他类型的方程.例如,一元三次方程$x^3 + x^2 - 2x = 0$,可以通过因式分解转化为$x(x^2 + x - 2)=0$,解方程$x=0$和$x^2 + x - 2=0$,可得原方程的根.
(1) 问题:方程$x^3 + x^2 - 2x = 0$的根是$x_1=0,x_2=$
(2) 拓展:用“转化”思想解方程$\sqrt{2x+3}=x$.
(1) 问题:方程$x^3 + x^2 - 2x = 0$的根是$x_1=0,x_2=$
-2
,$x_3=$1
.(2) 拓展:用“转化”思想解方程$\sqrt{2x+3}=x$.
答案：(1) $-2,1$
(2) $x=3$
(2) $x=3$
解析：
【分析】
(1) 已知原三次方程可因式分解为$x(x^2 + x - 2)=0$，因此除$x=0$外，只需解一元二次方程$x^2 + x - 2=0$即可得到剩余两个根，用因式分解法解该二次方程即可。(2) 求解带根号的无理方程，可通过两边平方转化为熟悉的一元二次方程求解，需注意平方操作可能引入增根，最后必须代入原方程检验根的有效性。
【解析】
(1) 由题意得，方程$x^3 + x^2 - 2x = 0$因式分解为$x(x^2 + x - 2)=0$，对二次式继续因式分解：$x^2 + x - 2=(x+2)(x-1)$，因此原方程可写为$x(x+2)(x-1)=0$，则$x+2=0$或$x-1=0$，解得$x=-2$或$x=1$。
(2) 解方程$\sqrt{2x+3}=x$：
第一步，方程两边同时平方，消去根号得：$2x+3 = x^2$；
第二步，整理为标准一元二次方程：$x^2 - 2x - 3 = 0$；
第三步，因式分解得：$(x-3)(x+1)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-1$；
第四步，验根：将$x=-1$代入原方程，左边$\sqrt{2×(-1)+3}=1$，右边为$-1$，左右两边不相等，是增根，舍去；将$x=3$代入原方程，左边$\sqrt{2×3+3}=3$，右边为$3$，左右两边相等，是原方程的根。
【答案】
(1) $-2$，$1$；(2) $x=3$
【知识点】
因式分解解方程，无理方程转化，方程验根
【点评】
本题核心考查转化的数学思想，将陌生的高次方程、无理方程转化为已学的一元二次方程求解，需特别注意无理方程求解后必须验根，排除不符合题意的增根。
【难度系数】
0.7
(1) 已知原三次方程可因式分解为$x(x^2 + x - 2)=0$，因此除$x=0$外，只需解一元二次方程$x^2 + x - 2=0$即可得到剩余两个根，用因式分解法解该二次方程即可。(2) 求解带根号的无理方程，可通过两边平方转化为熟悉的一元二次方程求解，需注意平方操作可能引入增根，最后必须代入原方程检验根的有效性。
【解析】
(1) 由题意得，方程$x^3 + x^2 - 2x = 0$因式分解为$x(x^2 + x - 2)=0$，对二次式继续因式分解：$x^2 + x - 2=(x+2)(x-1)$，因此原方程可写为$x(x+2)(x-1)=0$，则$x+2=0$或$x-1=0$，解得$x=-2$或$x=1$。
(2) 解方程$\sqrt{2x+3}=x$：
第一步，方程两边同时平方，消去根号得：$2x+3 = x^2$；
第二步，整理为标准一元二次方程：$x^2 - 2x - 3 = 0$；
第三步，因式分解得：$(x-3)(x+1)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-1$；
第四步，验根：将$x=-1$代入原方程，左边$\sqrt{2×(-1)+3}=1$，右边为$-1$，左右两边不相等，是增根，舍去；将$x=3$代入原方程，左边$\sqrt{2×3+3}=3$，右边为$3$，左右两边相等，是原方程的根。
【答案】
(1) $-2$，$1$；(2) $x=3$
【知识点】
因式分解解方程，无理方程转化，方程验根
【点评】
本题核心考查转化的数学思想，将陌生的高次方程、无理方程转化为已学的一元二次方程求解，需特别注意无理方程求解后必须验根，排除不符合题意的增根。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$AB=BC=8\ \mathrm{cm}$,动点$P$从点$A$出发,以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度沿射线$AB$运动,同时动点$Q$从点$C$出发,以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度沿边$BC$的延长线运动,$PQ$与直线$AC$相交于点$D$.经过多长时间$△ PCQ$的面积与$△ ABC$的面积相等?
答案：经过$(2+2\sqrt{5})$ s
解析：
【分析】
首先先计算出△ABC的固定面积，再设运动时间为t s，用含t的代数式分别表示CQ的长度、点P到直线BC的距离（即PB的长度）。由于动点P沿射线AB运动，需要分P在线段AB上、P在AB延长线上两种情况讨论，根据△PCQ的面积等于△ABC的面积列方程求解，最后舍去不符合实际意义的解即可。
【解析】
解：先计算△ABC的面积：
∵∠ABC=90°，AB=BC=8 cm
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × BC=\frac{1}{2} × 8 × 8=32\ \mathrm{cm^2}$
设运动时间为t s，由题意得$CQ=2t\ \mathrm{cm}$，分两种情况讨论：
1. 当点P在线段AB上时，$0 ≤ t ≤ 4$，此时$PB=(8-2t)\ \mathrm{cm}$
$S_{△ PCQ}=\frac{1}{2} × CQ × PB=\frac{1}{2} × 2t × (8-2t)=t(8-2t)$
令$t(8-2t)=32$，整理得$t^2-4t+16=0$
判别式$\Delta=(-4)^2-4 × 1 × 16=-48＜0$，方程无实数根，该情况不成立。
2. 当点P在AB的延长线上时，$t＞4$，此时$PB=(2t-8)\ \mathrm{cm}$
$S_{△ PCQ}=\frac{1}{2} × CQ × PB=\frac{1}{2} × 2t × (2t-8)=2t^2-8t$
令$2t^2-8t=32$，整理得$t^2-4t-16=0$
由求根公式得$t=\frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2+4 × 16}}{2}=\frac{4 \pm 4\sqrt{5}}{2}=2 \pm 2\sqrt{5}$
∵$t＞4$，
∴$t=2-2\sqrt{5}$为负数，舍去，即$t=2+2\sqrt{5}$。
【答案】
经过$(2+2\sqrt{5})\ \mathrm{s}$
【知识点】
动点问题；一元二次方程的应用；三角形面积计算
【点评】
本题结合动点运动考查一元二次方程的实际应用，解题时需注意动点的运动路径是射线，要分情况讨论，最终所得的解要符合实际意义，舍去不合理的解。
【难度系数】
0.6
首先先计算出△ABC的固定面积，再设运动时间为t s，用含t的代数式分别表示CQ的长度、点P到直线BC的距离（即PB的长度）。由于动点P沿射线AB运动，需要分P在线段AB上、P在AB延长线上两种情况讨论，根据△PCQ的面积等于△ABC的面积列方程求解，最后舍去不符合实际意义的解即可。
【解析】
解：先计算△ABC的面积：
∵∠ABC=90°，AB=BC=8 cm
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × BC=\frac{1}{2} × 8 × 8=32\ \mathrm{cm^2}$
设运动时间为t s，由题意得$CQ=2t\ \mathrm{cm}$，分两种情况讨论：
1. 当点P在线段AB上时，$0 ≤ t ≤ 4$，此时$PB=(8-2t)\ \mathrm{cm}$
$S_{△ PCQ}=\frac{1}{2} × CQ × PB=\frac{1}{2} × 2t × (8-2t)=t(8-2t)$
令$t(8-2t)=32$，整理得$t^2-4t+16=0$
判别式$\Delta=(-4)^2-4 × 1 × 16=-48＜0$，方程无实数根，该情况不成立。
2. 当点P在AB的延长线上时，$t＞4$，此时$PB=(2t-8)\ \mathrm{cm}$
$S_{△ PCQ}=\frac{1}{2} × CQ × PB=\frac{1}{2} × 2t × (2t-8)=2t^2-8t$
令$2t^2-8t=32$，整理得$t^2-4t-16=0$
由求根公式得$t=\frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2+4 × 16}}{2}=\frac{4 \pm 4\sqrt{5}}{2}=2 \pm 2\sqrt{5}$
∵$t＞4$，
∴$t=2-2\sqrt{5}$为负数，舍去，即$t=2+2\sqrt{5}$。
【答案】
经过$(2+2\sqrt{5})\ \mathrm{s}$
【知识点】
动点问题；一元二次方程的应用；三角形面积计算
【点评】
本题结合动点运动考查一元二次方程的实际应用，解题时需注意动点的运动路径是射线，要分情况讨论，最终所得的解要符合实际意义，舍去不合理的解。
【难度系数】
0.6