9. 如图，已知锐角∠AOB，画射线OC⊥OA，射线OD⊥OB，并直接写出∠AOB与∠COD的关系。
答案：
9. 如图①～④
，$∠ AOB=∠ COD$ 或 $∠ AOB+∠ COD=180°$
9. 如图①～④
，$∠ AOB=∠ COD$ 或 $∠ AOB+∠ COD=180°$解析：
【分析】
解题时首先明确：过点O作已知射线的垂线时，垂线可以在已知角的两侧，因此需要分情况画图讨论。首先根据垂直的定义得到直角，再结合角的和差关系推导∠AOB和∠COD的数量关系，注意不要遗漏任何一种作图情况。
【解析】
分4种情况作图推导：
1. 如图①，射线OC、OD都在∠AOB的同侧：
∵ $OC⊥OA$，$OD⊥OB$（已知）
∴ $∠AOC=∠BOD=90°$（垂直的定义）
∴ $∠COD + ∠AOD = 90°$，$∠AOB + ∠AOD =90°$
∴ $∠AOB = ∠COD$（同角的余角相等）
2. 如图②，射线OC在OB下方，OD在OA左侧：
∵ $OC⊥OA$，$OD⊥OB$（已知）
∴ $∠AOC=∠BOD=90°$（垂直的定义）
∴ $∠AOB + ∠BOC =90°$，$∠AOB + ∠AOD=90°$
∴ $∠COD = ∠AOD + ∠AOB + ∠BOC = (90°-∠AOB) + ∠AOB + (90°-∠AOB) = 180°-∠AOB$，即$∠AOB + ∠COD =180°$
3. 如图③，射线OC在OB下方，OD在OA另一侧：
同理可得$∠COD + ∠BOC =90°$，$∠AOB + ∠BOC=90°$，因此$∠AOB=∠COD$
4. 如图④，射线OC、OD都在∠AOB的异侧：
同理可得$∠AOB + ∠COD = 360° - 90° -90°=180°$
综上，∠AOB与∠COD的关系为相等或互补。
【答案】
如图①～④，$\boldsymbol{∠ AOB=∠ COD}$ 或 $\boldsymbol{∠ AOB+∠ COD=180°}$
【知识点】
1. 垂直的定义
2. 角的和差运算
3. 余角补角的性质
【点评】
本题考查与垂直相关的角度关系推导，解题的关键是注意作垂线时存在两种不同的位置方向，需要分类讨论所有可能的作图情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确：过点O作已知射线的垂线时，垂线可以在已知角的两侧，因此需要分情况画图讨论。首先根据垂直的定义得到直角，再结合角的和差关系推导∠AOB和∠COD的数量关系，注意不要遗漏任何一种作图情况。
【解析】
分4种情况作图推导：
1. 如图①，射线OC、OD都在∠AOB的同侧：
∵ $OC⊥OA$，$OD⊥OB$（已知）
∴ $∠AOC=∠BOD=90°$（垂直的定义）
∴ $∠COD + ∠AOD = 90°$，$∠AOB + ∠AOD =90°$
∴ $∠AOB = ∠COD$（同角的余角相等）
2. 如图②，射线OC在OB下方，OD在OA左侧：
∵ $OC⊥OA$，$OD⊥OB$（已知）
∴ $∠AOC=∠BOD=90°$（垂直的定义）
∴ $∠AOB + ∠BOC =90°$，$∠AOB + ∠AOD=90°$
∴ $∠COD = ∠AOD + ∠AOB + ∠BOC = (90°-∠AOB) + ∠AOB + (90°-∠AOB) = 180°-∠AOB$，即$∠AOB + ∠COD =180°$
3. 如图③，射线OC在OB下方，OD在OA另一侧：
同理可得$∠COD + ∠BOC =90°$，$∠AOB + ∠BOC=90°$，因此$∠AOB=∠COD$
4. 如图④，射线OC、OD都在∠AOB的异侧：
同理可得$∠AOB + ∠COD = 360° - 90° -90°=180°$
综上，∠AOB与∠COD的关系为相等或互补。
【答案】
如图①～④
，$\boldsymbol{∠ AOB=∠ COD}$ 或 $\boldsymbol{∠ AOB+∠ COD=180°}$【知识点】
1. 垂直的定义
2. 角的和差运算
3. 余角补角的性质
【点评】
本题考查与垂直相关的角度关系推导，解题的关键是注意作垂线时存在两种不同的位置方向，需要分类讨论所有可能的作图情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
10. 如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在点F处，折痕为BC.
(1) ∠FBC
(2) 如果BE是∠FBD的平分线，那么BE与BC有怎样的位置关系？为什么？
(3) 在(2)的条件下，将BE沿BF折叠使其落在∠FBC的内部，交CF于点M，若BM平分∠FBC，求∠FBE的大小.
(1) ∠FBC
=
（填“＞”“=”或“＜”）∠ABC.(2) 如果BE是∠FBD的平分线，那么BE与BC有怎样的位置关系？为什么？
(3) 在(2)的条件下，将BE沿BF折叠使其落在∠FBC的内部，交CF于点M，若BM平分∠FBC，求∠FBE的大小.
答案：
10. (1) = （2）由折叠可知$∠ CBA=∠ CBF$，所以$∠ CBF=\frac{1}{2}∠ ABF$，因为BE平分$∠ FBD$，所以$∠ EBF=∠ EBD=\frac{1}{2}∠ DBF$，又因为$∠ ABF+∠ DBF=180°$，所以$∠ CBF+∠ EBF=90°$，即$∠ CBE=90°$，所以$BE⊥ BC$ （3）依照题意画出图形. 如图
，设$∠ FBE=x°$，因为BE是$∠ FDB$的角平分线，所以$∠ DBF=∠ FBE=x°$. 由翻折可知，$∠ FBM=∠ FBE=x°$. 因为BM平分$∠ FBC$，所以$∠ FBC=2∠ FBM=2x°$. 所以$∠ ABC=∠ FBC=2x°$. 又因为$∠ ABC+∠ FBC+∠ FBE+∠ DBE=180°$，即$2x+2x+x+x=180,x=30$. 所以$∠ FBE=30°$
10. (1) = （2）由折叠可知$∠ CBA=∠ CBF$，所以$∠ CBF=\frac{1}{2}∠ ABF$，因为BE平分$∠ FBD$，所以$∠ EBF=∠ EBD=\frac{1}{2}∠ DBF$，又因为$∠ ABF+∠ DBF=180°$，所以$∠ CBF+∠ EBF=90°$，即$∠ CBE=90°$，所以$BE⊥ BC$ （3）依照题意画出图形. 如图
，设$∠ FBE=x°$，因为BE是$∠ FDB$的角平分线，所以$∠ DBF=∠ FBE=x°$. 由翻折可知，$∠ FBM=∠ FBE=x°$. 因为BM平分$∠ FBC$，所以$∠ FBC=2∠ FBM=2x°$. 所以$∠ ABC=∠ FBC=2x°$. 又因为$∠ ABC+∠ FBC+∠ FBE+∠ DBE=180°$，即$2x+2x+x+x=180,x=30$. 所以$∠ FBE=30°$解析：
【分析】
(1) 第一问根据折叠的性质，折叠后对应角相等，折痕是对应点连线的角平分线，可直接判断两个角的大小关系。
(2) 第二问要判断BE与BC的位置关系，先利用折叠性质得到∠CBF是∠ABF的一半，再结合角平分线定义得到∠EBF是∠DBF的一半，结合∠ABF与∠DBF组成平角，可推出两个角的和为90°，即可得到垂直关系。
(3) 第三问可通过设未知数，将相关角都用同一个未知数表示，再利用平角为180°列方程求解，要注意结合两次折叠的性质和角平分线的定义梳理角的数量关系。
【解析】
(1) 由折叠的性质可知，折痕BC平分∠ABF，因此$∠ FBC=∠ ABC$。
(2) $BE⊥ BC$，理由如下：
由折叠的性质得：$∠ CBA=∠ CBF$，所以$∠ CBF=\frac{1}{2}∠ ABF$，
因为BE是$∠ FBD$的平分线，所以$∠ EBF=∠ EBD=\frac{1}{2}∠ DBF$，
又因为点A、B、D在同一直线上，$∠ ABF+∠ DBF=180°$，
所以$∠ CBF+∠ EBF=\frac{1}{2}(∠ ABF+∠ DBF)=\frac{1}{2}×180°=90°$，即$∠ CBE=90°$，
因此$BE⊥ BC$。
(3) 依照题意画出图形如图，设$∠ FBE=x°$，
因为BE是$∠ FBD$的角平分线，所以$∠ DBE=∠ FBE=x°$，
将BE沿BF折叠，由折叠性质得$∠ FBM=∠ FBE=x°$，
因为BM平分$∠ FBC$，所以$∠ FBC=2∠ FBM=2x°$，
由第一次折叠的性质得$∠ ABC=∠ FBC=2x°$，
因为$∠ ABC+∠ FBC+∠ FBE+∠ DBE=180°$，
代入得：$2x+2x+x+x=180$，
解得$x=30$，因此$∠ FBE=30°$。
【答案】
(1) =
(2) $BE⊥ BC$，理由见解析；
(3) 如图，$∠ FBE=30°$
【知识点】
折叠的性质，角平分线的定义，垂直的判定
【点评】
本题以长方形折叠为背景，综合考查了折叠变换的性质、角平分线的定义、垂直的判定以及角度的方程求解，解题关键是理清各个角之间的数量关系，合理运用方程思想简化运算。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问根据折叠的性质，折叠后对应角相等，折痕是对应点连线的角平分线，可直接判断两个角的大小关系。
(2) 第二问要判断BE与BC的位置关系，先利用折叠性质得到∠CBF是∠ABF的一半，再结合角平分线定义得到∠EBF是∠DBF的一半，结合∠ABF与∠DBF组成平角，可推出两个角的和为90°，即可得到垂直关系。
(3) 第三问可通过设未知数，将相关角都用同一个未知数表示，再利用平角为180°列方程求解，要注意结合两次折叠的性质和角平分线的定义梳理角的数量关系。
【解析】
(1) 由折叠的性质可知，折痕BC平分∠ABF，因此$∠ FBC=∠ ABC$。
(2) $BE⊥ BC$，理由如下：
由折叠的性质得：$∠ CBA=∠ CBF$，所以$∠ CBF=\frac{1}{2}∠ ABF$，
因为BE是$∠ FBD$的平分线，所以$∠ EBF=∠ EBD=\frac{1}{2}∠ DBF$，
又因为点A、B、D在同一直线上，$∠ ABF+∠ DBF=180°$，
所以$∠ CBF+∠ EBF=\frac{1}{2}(∠ ABF+∠ DBF)=\frac{1}{2}×180°=90°$，即$∠ CBE=90°$，
因此$BE⊥ BC$。
(3) 依照题意画出图形如图
，设$∠ FBE=x°$，因为BE是$∠ FBD$的角平分线，所以$∠ DBE=∠ FBE=x°$，
将BE沿BF折叠，由折叠性质得$∠ FBM=∠ FBE=x°$，
因为BM平分$∠ FBC$，所以$∠ FBC=2∠ FBM=2x°$，
由第一次折叠的性质得$∠ ABC=∠ FBC=2x°$，
因为$∠ ABC+∠ FBC+∠ FBE+∠ DBE=180°$，
代入得：$2x+2x+x+x=180$，
解得$x=30$，因此$∠ FBE=30°$。
【答案】
(1) =
(2) $BE⊥ BC$，理由见解析；
(3) 如图
，$∠ FBE=30°$【知识点】
折叠的性质，角平分线的定义，垂直的判定
【点评】
本题以长方形折叠为背景，综合考查了折叠变换的性质、角平分线的定义、垂直的判定以及角度的方程求解，解题关键是理清各个角之间的数量关系，合理运用方程思想简化运算。
【难度系数】
0.7
11. (1)【动手操作】如图①，已知$∠ AOB$.
① 用量角器画$∠ AOB$的平分线$OC$.
② 在$OC$上任取一点$M$，画$MP⊥ OA$，$MQ⊥ OB$，垂足分别为$P$，$Q$.
③ 度量点$M$到$OA$，$OB$的距离，你发现了什么？在$OC$上再取几点试一试.
(2)【实验发现】角的平分线上的点到角的两边的距离
(3)【结论应用】如图②，点$P$是$∠ AOC$的平分线上一点，$PD⊥ OA$，垂足为$D$，且$PD=3$，$M$是射线$OC$上一动点，则$PM$的最小值是
① 用量角器画$∠ AOB$的平分线$OC$.
② 在$OC$上任取一点$M$，画$MP⊥ OA$，$MQ⊥ OB$，垂足分别为$P$，$Q$.
③ 度量点$M$到$OA$，$OB$的距离，你发现了什么？在$OC$上再取几点试一试.
(2)【实验发现】角的平分线上的点到角的两边的距离
相等
.(3)【结论应用】如图②，点$P$是$∠ AOC$的平分线上一点，$PD⊥ OA$，垂足为$D$，且$PD=3$，$M$是射线$OC$上一动点，则$PM$的最小值是
3
.答案：11.（1）图略 （2）相等 （3）3
解析：
【分析】
(1) 动手操作部分按照要求逐步完成即可：先用量角器测量出∠AOB的度数，画出度数为其一半的射线OC即为角平分线，再在OC上取点向两边作垂线，度量两条垂线段的长度，可发现长度相等；(2) 实验发现部分可直接根据操作结果归纳角平分线的性质；(3) 结论应用部分首先根据“垂线段最短”确定PM取最小值的情况是PM⊥OC，再结合角平分线的性质，即可得到PM的最小值等于PD的长度。
【解析】
(1) ① 用量角器量出∠AOB的度数，计算其半值，以O为顶点、OA为始边，在∠AOB内部画出对应半值度数的射线OC，OC就是∠AOB的平分线；② 在OC上任选一点M，使用三角板的直角边分别过M作OA、OB的垂线，垂足分别记为P、Q，即可得到MP⊥OA，MQ⊥OB；③ 度量MP、MQ的长度，可发现MP=MQ，在OC上另取几点重复操作，都能得到相同的结论。
(2) 由上述操作的结论可总结：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
(3) 根据垂线段最短的性质，当PM⊥OC时，PM的长度最小。已知点P是∠AOC平分线上的点，PD⊥OA，PD=3，由角平分线的性质可知，点P到OC的距离等于PD=3，即PM的最小值为3。
【答案】
(1) 图略，发现：角平分线上的点到角两边的距离相等；(2) 相等；(3) 3
【知识点】
角平分线的性质、垂线段最短、角平分线的画法
【点评】
本题以动手操作为切入点，引导学生自主归纳角平分线的性质，再结合垂线段最短的知识求解最值，侧重对基础几何性质的理解与简单应用，贴合基础学习的需求。
【难度系数】
0.8
(1) 动手操作部分按照要求逐步完成即可：先用量角器测量出∠AOB的度数，画出度数为其一半的射线OC即为角平分线，再在OC上取点向两边作垂线，度量两条垂线段的长度，可发现长度相等；(2) 实验发现部分可直接根据操作结果归纳角平分线的性质；(3) 结论应用部分首先根据“垂线段最短”确定PM取最小值的情况是PM⊥OC，再结合角平分线的性质，即可得到PM的最小值等于PD的长度。
【解析】
(1) ① 用量角器量出∠AOB的度数，计算其半值，以O为顶点、OA为始边，在∠AOB内部画出对应半值度数的射线OC，OC就是∠AOB的平分线；② 在OC上任选一点M，使用三角板的直角边分别过M作OA、OB的垂线，垂足分别记为P、Q，即可得到MP⊥OA，MQ⊥OB；③ 度量MP、MQ的长度，可发现MP=MQ，在OC上另取几点重复操作，都能得到相同的结论。
(2) 由上述操作的结论可总结：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
(3) 根据垂线段最短的性质，当PM⊥OC时，PM的长度最小。已知点P是∠AOC平分线上的点，PD⊥OA，PD=3，由角平分线的性质可知，点P到OC的距离等于PD=3，即PM的最小值为3。
【答案】
(1) 图略，发现：角平分线上的点到角两边的距离相等；(2) 相等；(3) 3
【知识点】
角平分线的性质、垂线段最短、角平分线的画法
【点评】
本题以动手操作为切入点，引导学生自主归纳角平分线的性质，再结合垂线段最短的知识求解最值，侧重对基础几何性质的理解与简单应用，贴合基础学习的需求。
【难度系数】
0.8