8. 如图，已知直线AB，CD被直线EF所截，如果∠BMN=∠DNF，∠1=∠2，那么MQ//NP. 为什么？
答案：8. 平行. 因为∠BMN=∠DNF,∠1=∠2(已知),所以∠BMN+∠1=∠DNF+∠2,即∠PNF=∠QMN,所以MQ//NP(同位角相等,两直线平行)
解析：
【分析】要证明MQ//NP，可依据平行线的判定定理，寻找两条直线被截线EF所形成的同位角的数量关系。观察图形可知，∠QMN和∠PNF是直线MQ、NP被EF截得的同位角，若能证明这两个角相等，即可判定两直线平行。已知∠BMN=∠DNF，∠1=∠2，根据等式的性质，将两组相等的角分别相加，就能得到∠QMN=∠PNF，进而推导出结论。
【解析】
证明：
∵ ∠BMN=∠DNF，∠1=∠2（已知）
∴ ∠BMN + ∠1 = ∠DNF + ∠2（等式的性质）
即 ∠QMN = ∠PNF
∴ MQ//NP（同位角相等，两直线平行）
【答案】MQ//NP，因为∠BMN=∠DNF,∠1=∠2(已知),所以∠BMN+∠1=∠DNF+∠2,即∠PNF=∠QMN,所以MQ//NP(同位角相等,两直线平行)
【知识点】平行线的判定；等式的性质
【点评】本题是平行线判定的基础应用，解题核心是通过已知的角的等量关系，推导得到判定平行线所需的同位角相等的条件，熟练掌握平行线的判定定理即可快速解题。
【难度系数】0.85
【解析】
证明：
∵ ∠BMN=∠DNF，∠1=∠2（已知）
∴ ∠BMN + ∠1 = ∠DNF + ∠2（等式的性质）
即 ∠QMN = ∠PNF
∴ MQ//NP（同位角相等，两直线平行）
【答案】MQ//NP，因为∠BMN=∠DNF,∠1=∠2(已知),所以∠BMN+∠1=∠DNF+∠2,即∠PNF=∠QMN,所以MQ//NP(同位角相等,两直线平行)
【知识点】平行线的判定；等式的性质
【点评】本题是平行线判定的基础应用，解题核心是通过已知的角的等量关系，推导得到判定平行线所需的同位角相等的条件，熟练掌握平行线的判定定理即可快速解题。
【难度系数】0.85
9. 如图，在三角形ABC中，∠B=∠ACB，点D，F分别在边BC，AC的延长线上，作射线CE，如果CD平分∠ECF，那么AB与CE平行吗？为什么？
答案：9. AB//CE. 因为CD平分∠ECF,所以∠DCF=∠DCE. 又因为∠DCF=∠ACB,所以∠ACB=∠DCE. 又因为∠B=∠ACB,所以∠B=∠DCE. 所以AB//CE
解析：
【分析】
要判断AB与CE是否平行，可依据平行线的判定定理，寻找两条直线被第三条直线所截形成的角的数量关系。本题中AB、CE被BD所截，∠B和∠DCE是同位角，因此只需证明∠B=∠DCE即可：首先利用角平分线的性质得到∠DCF=∠DCE，再结合对顶角相等推出∠ACB=∠DCE，最后结合已知∠B=∠ACB，通过等量代换得到同位角相等，即可证明平行。
【解析】
解：AB//CE，理由如下：
∵ CD平分∠ECF（已知），
∴ ∠DCF=∠DCE（角平分线的定义）。
∵ ∠DCF与∠ACB是对顶角，
∴ ∠DCF=∠ACB（对顶角相等），
∴ ∠ACB=∠DCE（等量代换）。
又
∵ ∠B=∠ACB（已知），
∴ ∠B=∠DCE（等量代换），
∴ AB//CE（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
AB//CE. 因为CD平分∠ECF,所以∠DCF=∠DCE. 又因为∠DCF=∠ACB,所以∠ACB=∠DCE. 又因为∠B=∠ACB,所以∠B=∠DCE. 所以AB//CE
【知识点】
角平分线的定义；对顶角的性质；平行线的判定
【点评】
本题属于基础的几何证明题，解题核心是通过已知的角平分线、对顶角性质推导角的等量关系，再结合平行线判定定理得出结论，能有效锻炼逻辑推导的严谨性。
【难度系数】
0.8
要判断AB与CE是否平行，可依据平行线的判定定理，寻找两条直线被第三条直线所截形成的角的数量关系。本题中AB、CE被BD所截，∠B和∠DCE是同位角，因此只需证明∠B=∠DCE即可：首先利用角平分线的性质得到∠DCF=∠DCE，再结合对顶角相等推出∠ACB=∠DCE，最后结合已知∠B=∠ACB，通过等量代换得到同位角相等，即可证明平行。
【解析】
解：AB//CE，理由如下：
∵ CD平分∠ECF（已知），
∴ ∠DCF=∠DCE（角平分线的定义）。
∵ ∠DCF与∠ACB是对顶角，
∴ ∠DCF=∠ACB（对顶角相等），
∴ ∠ACB=∠DCE（等量代换）。
又
∵ ∠B=∠ACB（已知），
∴ ∠B=∠DCE（等量代换），
∴ AB//CE（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
AB//CE. 因为CD平分∠ECF,所以∠DCF=∠DCE. 又因为∠DCF=∠ACB,所以∠ACB=∠DCE. 又因为∠B=∠ACB,所以∠B=∠DCE. 所以AB//CE
【知识点】
角平分线的定义；对顶角的性质；平行线的判定
【点评】
本题属于基础的几何证明题，解题核心是通过已知的角平分线、对顶角性质推导角的等量关系，再结合平行线判定定理得出结论，能有效锻炼逻辑推导的严谨性。
【难度系数】
0.8
10. 如图，∠B与∠BCD互为余角，∠B=∠ACD，DE⊥BC，垂足为E，AC与DE平行吗？为什么？
答案：10. AC//DE. 因为∠B=∠ACD,∠B+∠BCD=90°,所以∠ACD+∠BCD=90°,即∠ACB=90°,因为DE⊥BC,所以∠DEB=90°=∠ACB,所以AC//DE
解析：
【分析】
要判断AC与DE是否平行，可结合平行线的判定定理分析：首先利用已知的余角关系和角相等的条件，推导∠ACB的度数；再结合DE⊥BC得到的直角，判断对应角的数量关系，进而判定两直线是否平行。具体步骤为：第一步，根据互余的定义得∠B+∠BCD=90°，结合∠B=∠ACD，通过等量代换得到∠ACB=90°；第二步，由垂直的定义得∠DEB=90°，此时∠DEB和∠ACB是同位角且相等，即可判定两直线平行。
【解析】
解：AC与DE平行，理由如下：
∵ ∠B与∠BCD互为余角，
∴ ∠B + ∠BCD = 90°（余角的定义），
又
∵ ∠B = ∠ACD（已知），
∴ ∠ACD + ∠BCD = 90°（等量代换），即∠ACB = 90°，
∵ DE⊥BC（已知），
∴ ∠DEB = 90°（垂直的定义），
∴ ∠DEB = ∠ACB（等量代换），
∴ AC//DE（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
AC//DE。因为∠B=∠ACD，∠B+∠BCD=90°，所以∠ACD+∠BCD=90°，即∠ACB=90°，因为DE⊥BC，所以∠DEB=90°=∠ACB，所以AC//DE
【知识点】
余角的定义；垂直的定义；平行线的判定
【点评】
本题是平行线判定的基础应用题，解题的关键是结合已知角的关系推导得到同位角相等，进而完成平行的判定，需要熟练掌握相关基础定义和定理。
【难度系数】
0.8
要判断AC与DE是否平行，可结合平行线的判定定理分析：首先利用已知的余角关系和角相等的条件，推导∠ACB的度数；再结合DE⊥BC得到的直角，判断对应角的数量关系，进而判定两直线是否平行。具体步骤为：第一步，根据互余的定义得∠B+∠BCD=90°，结合∠B=∠ACD，通过等量代换得到∠ACB=90°；第二步，由垂直的定义得∠DEB=90°，此时∠DEB和∠ACB是同位角且相等，即可判定两直线平行。
【解析】
解：AC与DE平行，理由如下：
∵ ∠B与∠BCD互为余角，
∴ ∠B + ∠BCD = 90°（余角的定义），
又
∵ ∠B = ∠ACD（已知），
∴ ∠ACD + ∠BCD = 90°（等量代换），即∠ACB = 90°，
∵ DE⊥BC（已知），
∴ ∠DEB = 90°（垂直的定义），
∴ ∠DEB = ∠ACB（等量代换），
∴ AC//DE（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
AC//DE。因为∠B=∠ACD，∠B+∠BCD=90°，所以∠ACD+∠BCD=90°，即∠ACB=90°，因为DE⊥BC，所以∠DEB=90°=∠ACB，所以AC//DE
【知识点】
余角的定义；垂直的定义；平行线的判定
【点评】
本题是平行线判定的基础应用题，解题的关键是结合已知角的关系推导得到同位角相等，进而完成平行的判定，需要熟练掌握相关基础定义和定理。
【难度系数】
0.8
11. 如图，a，b，c三根木棒钉在一起，交点分别为A，B，∠1=70°，∠2=100°. 现将木棒a，b分别绕点A，B顺时针旋转，同时开始，速度分别为12°/s和2°/s，两根木棒各自转满了一周就停止转动. 转动
3 s或21 s或75 s或165 s
s时，木棒a，b平行.答案：11. 3 s或21 s或75 s或165 s
解析：
【分析】要使木棒a、b平行，需满足两直线同位角相等或同旁内角互补。首先计算两根木棒转满一周的时长，分两个阶段讨论：①a未转满一周，两根木棒同时转动阶段；②a转满一周停止，仅b转动的阶段。结合平行的判定条件，分别列方程求解，注意不要遗漏情况。
【解析】
先计算两根木棒转满一周的时间：
木棒a转满一周时长：$ 360° ÷ 12°/\mathrm{s} = 30\ \mathrm{s} $
木棒b转满一周时长：$ 360° ÷ 2°/\mathrm{s} = 180\ \mathrm{s} $
初始时两根木棒对应同位角的差为$ 100° - 70° = 30° $，要使a、b平行，需a比b多转的角度为$ 30° + 180° · k $（k为非负整数，k取不同值对应平行时的不同朝向）。
1. 当$ t ≤ 30\ \mathrm{s} $时，两根木棒均在转动，a每秒比b多转$ 12° - 2° = 10° $：
当k=0时，$ 10t = 30 $，解得$ t=3\ \mathrm{s} $，符合要求；
当k=1时，$ 10t = 30 + 180 = 210 $，解得$ t=21\ \mathrm{s} $，符合要求；
当k=2时，$ 10t=30+360=390 $，解得$ t=39\ \mathrm{s}＞30\ \mathrm{s} $，进入下一阶段。
2. 当$ 30\ \mathrm{s}＜t ≤ 180\ \mathrm{s} $时，a停止转动，仅b继续顺时针转动，前30s a已比b多转$ 10×30=300° $，后续每过1秒，a和b的角度差增加$ 2° $：
当k=2时，还需增加角度差$ 390-300=90° $，则$ 2(t-30)=90 $，解得$ t=75\ \mathrm{s} $，符合要求；
当k=3时，需总角度差$ 30+180×3=570° $，还需增加$ 570-300=270° $，则$ 2(t-30)=270 $，解得$ t=165\ \mathrm{s} $，符合要求；
当k=4时，总角度差为$ 30+180×4=750° $，解得$ t=255\ \mathrm{s}＞180\ \mathrm{s} $，b已停止转动，不符合要求。
综上，转动时间为3s、21s、75s、165s。
【答案】3 s或21 s或75 s或165 s
【知识点】平行线的判定；旋转的性质；一元一次方程应用
【点评】本题属于动态几何问题，解题关键是分阶段讨论木棒的转动状态，结合平行的判定条件列方程，注意不要遗漏a停止转动后的两种平行情况。
【难度系数】0.3
【解析】
先计算两根木棒转满一周的时间：
木棒a转满一周时长：$ 360° ÷ 12°/\mathrm{s} = 30\ \mathrm{s} $
木棒b转满一周时长：$ 360° ÷ 2°/\mathrm{s} = 180\ \mathrm{s} $
初始时两根木棒对应同位角的差为$ 100° - 70° = 30° $，要使a、b平行，需a比b多转的角度为$ 30° + 180° · k $（k为非负整数，k取不同值对应平行时的不同朝向）。
1. 当$ t ≤ 30\ \mathrm{s} $时，两根木棒均在转动，a每秒比b多转$ 12° - 2° = 10° $：
当k=0时，$ 10t = 30 $，解得$ t=3\ \mathrm{s} $，符合要求；
当k=1时，$ 10t = 30 + 180 = 210 $，解得$ t=21\ \mathrm{s} $，符合要求；
当k=2时，$ 10t=30+360=390 $，解得$ t=39\ \mathrm{s}＞30\ \mathrm{s} $，进入下一阶段。
2. 当$ 30\ \mathrm{s}＜t ≤ 180\ \mathrm{s} $时，a停止转动，仅b继续顺时针转动，前30s a已比b多转$ 10×30=300° $，后续每过1秒，a和b的角度差增加$ 2° $：
当k=2时，还需增加角度差$ 390-300=90° $，则$ 2(t-30)=90 $，解得$ t=75\ \mathrm{s} $，符合要求；
当k=3时，需总角度差$ 30+180×3=570° $，还需增加$ 570-300=270° $，则$ 2(t-30)=270 $，解得$ t=165\ \mathrm{s} $，符合要求；
当k=4时，总角度差为$ 30+180×4=750° $，解得$ t=255\ \mathrm{s}＞180\ \mathrm{s} $，b已停止转动，不符合要求。
综上，转动时间为3s、21s、75s、165s。
【答案】3 s或21 s或75 s或165 s
【知识点】平行线的判定；旋转的性质；一元一次方程应用
【点评】本题属于动态几何问题，解题关键是分阶段讨论木棒的转动状态，结合平行的判定条件列方程，注意不要遗漏a停止转动后的两种平行情况。
【难度系数】0.3