10. 有下列两个结论：① 两数之和为负，至少有一个加数为负；② 两数之和不可能比两个加数都小. 其中正确的是 （
A.只有①
B.只有②
C.有①和②
D.一个也没有
A
）A.只有①
B.只有②
C.有①和②
D.一个也没有
答案：A
解析：
【分析】
我们需要结合有理数加法的规则，逐个验证两个结论是否成立：首先分析结论①，先考虑如果两个加数都不是负数的情况，它们的和的符号是什么，反过来推导和为负时加数的特征；再分析结论②，尝试找是否存在反例满足“两数之和比两个加数都小”，如果能找到反例就说明结论不成立。
【解析】
1. 判断结论①：
根据有理数加法法则，若两个加数均为非负数（即正数或0），它们的和一定是非负数，不可能为负数。因此要使两数之和为负，必然至少有一个加数是负数，故结论①正确。
2. 判断结论②：
我们可以举反例验证：取两个加数为-1和-2，计算它们的和：$(-1)+(-2)=-3$。对比可得：$-3 ＜ -1$，且$-3 ＜ -2$，即两数之和比两个加数都小，说明结论②不成立。
综上，只有结论①正确，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
有理数加法法则，举反例验证命题
【点评】
本题侧重考查对有理数加法运算规律的理解，要注意负数参与加法时和与加数的大小关系和正数加法的规律不同，遇到结论判断类题目时，可通过举反例快速验证结论是否正确。
【难度系数】
0.8
我们需要结合有理数加法的规则，逐个验证两个结论是否成立：首先分析结论①，先考虑如果两个加数都不是负数的情况，它们的和的符号是什么，反过来推导和为负时加数的特征；再分析结论②，尝试找是否存在反例满足“两数之和比两个加数都小”，如果能找到反例就说明结论不成立。
【解析】
1. 判断结论①：
根据有理数加法法则，若两个加数均为非负数（即正数或0），它们的和一定是非负数，不可能为负数。因此要使两数之和为负，必然至少有一个加数是负数，故结论①正确。
2. 判断结论②：
我们可以举反例验证：取两个加数为-1和-2，计算它们的和：$(-1)+(-2)=-3$。对比可得：$-3 ＜ -1$，且$-3 ＜ -2$，即两数之和比两个加数都小，说明结论②不成立。
综上，只有结论①正确，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
有理数加法法则，举反例验证命题
【点评】
本题侧重考查对有理数加法运算规律的理解，要注意负数参与加法时和与加数的大小关系和正数加法的规律不同，遇到结论判断类题目时，可通过举反例快速验证结论是否正确。
【难度系数】
0.8
11. 计算：
(1) $-29+32$；
(2) $(-2\dfrac{2}{3})+(+3\dfrac{1}{2})$；
(3) $(-\dfrac{3}{7})+\dfrac{7}{3}$；
(4) $-1.9-2.7$。
(1) $-29+32$；
(2) $(-2\dfrac{2}{3})+(+3\dfrac{1}{2})$；
(3) $(-\dfrac{3}{7})+\dfrac{7}{3}$；
(4) $-1.9-2.7$。
答案：(1) $3$ (2) $\dfrac{5}{6}$ (3) $\dfrac{40}{21}$ (4) $-4.6$
解析：
【分析】
这四道题均为有理数的加减基础运算，解题思路如下：①先明确运算类型，遇到减法时先依据“减去一个数等于加上这个数的相反数”转化为加法运算；②判断参与运算的两个数是同号还是异号，按照有理数加法法则确定结果的符号；③计算绝对值部分：整数直接加减，分数先通分化为同分母分数再计算，小数直接按小数加减法规则计算；④带分数运算可选择拆分为整数部分和分数部分分别计算，或转化为假分数后计算，最后结果要化为最简形式。
【解析】
(1) 异号两数相加，取绝对值较大的32的正号，再用较大绝对值减去较小绝对值：
$-29+32=+(32-29)=3$
(2) 先将带分数化为假分数，再通分计算：
$(-2\dfrac{2}{3})+(+3\dfrac{1}{2})=-\dfrac{8}{3}+\dfrac{7}{2}=-\dfrac{16}{6}+\dfrac{21}{6}=\dfrac{5}{6}$
(3) 异号分数相加，先通分（分母最小公倍数为21）再计算：
$(-\dfrac{3}{7})+\dfrac{7}{3}=-\dfrac{9}{21}+\dfrac{49}{21}=\dfrac{49-9}{21}=\dfrac{40}{21}$
(4) 先将减法转化为同号两数相加，取负号，再计算绝对值的和：
$-1.9-2.7=-1.9+(-2.7)=-(1.9+2.7)=-4.6$
【答案】
(1) $\boxed{3}$；(2) $\boxed{\dfrac{5}{6}}$；(3) $\boxed{\dfrac{40}{21}}$；(4) $\boxed{-4.6}$
【知识点】
有理数加法法则，有理数减法法则，分数通分运算
【点评】
本题是有理数加减运算的基础题型，重点考察对有理数加减运算法则的理解与应用，计算时要特别注意符号的判断，分数运算要保证通分准确，最终结果需化为最简形式，避免因粗心导致符号、计算错误。
【难度系数】
0.8
这四道题均为有理数的加减基础运算，解题思路如下：①先明确运算类型，遇到减法时先依据“减去一个数等于加上这个数的相反数”转化为加法运算；②判断参与运算的两个数是同号还是异号，按照有理数加法法则确定结果的符号；③计算绝对值部分：整数直接加减，分数先通分化为同分母分数再计算，小数直接按小数加减法规则计算；④带分数运算可选择拆分为整数部分和分数部分分别计算，或转化为假分数后计算，最后结果要化为最简形式。
【解析】
(1) 异号两数相加，取绝对值较大的32的正号，再用较大绝对值减去较小绝对值：
$-29+32=+(32-29)=3$
(2) 先将带分数化为假分数，再通分计算：
$(-2\dfrac{2}{3})+(+3\dfrac{1}{2})=-\dfrac{8}{3}+\dfrac{7}{2}=-\dfrac{16}{6}+\dfrac{21}{6}=\dfrac{5}{6}$
(3) 异号分数相加，先通分（分母最小公倍数为21）再计算：
$(-\dfrac{3}{7})+\dfrac{7}{3}=-\dfrac{9}{21}+\dfrac{49}{21}=\dfrac{49-9}{21}=\dfrac{40}{21}$
(4) 先将减法转化为同号两数相加，取负号，再计算绝对值的和：
$-1.9-2.7=-1.9+(-2.7)=-(1.9+2.7)=-4.6$
【答案】
(1) $\boxed{3}$；(2) $\boxed{\dfrac{5}{6}}$；(3) $\boxed{\dfrac{40}{21}}$；(4) $\boxed{-4.6}$
【知识点】
有理数加法法则，有理数减法法则，分数通分运算
【点评】
本题是有理数加减运算的基础题型，重点考察对有理数加减运算法则的理解与应用，计算时要特别注意符号的判断，分数运算要保证通分准确，最终结果需化为最简形式，避免因粗心导致符号、计算错误。
【难度系数】
0.8
12. 某人创业经营一家公司，前5年的盈亏情况如下表：
（1）求他这5年的总利润；
（2）若他的目标是6年内盈利250万元，则他第6年要盈利多少万元？
（1）求他这5年的总利润；
（2）若他的目标是6年内盈利250万元，则他第6年要盈利多少万元？
答案：(1) 亏损5万元，即总利润为$-5$万元 (2) 第6年需要盈利255万元
解析：
【分析】
（1）求5年总利润，本质是求这5年每年利润的和，利润中的负数代表亏损，正数代表盈利，将5个数据直接相加即可得到总利润。
（2）6年内总盈利要达到250万元，即前5年总利润加上第6年的利润等于250万元，因此用目标总盈利减去前5年的总利润，即可求出第6年需要盈利的金额。
【解析】
（1）总利润为5年利润相加：
$\begin{aligned}&(-120)+(-65)+(-30)+60+150\\=&-(120+65+30)+(60+150)\\=&-215+210\\=&-5(\mathrm{万元})\end{aligned}$
即总利润为-5万元，也就是亏损5万元。
（2）设第6年盈利$x$万元，根据题意得：
$-5 + x = 250$
解得$x=250 - (-5)=255$（万元）
【答案】
(1) 总利润为$-5$万元（即亏损5万元）
(2) 第6年要盈利255万元
【知识点】
正负数的实际应用、有理数的加法运算、有理数的减法运算
【点评】
本题结合创业盈亏的生活场景，考查有理数加减运算在实际问题中的应用，解题关键是明确正负数代表的实际含义，正确进行有理数的加减计算，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
（1）求5年总利润，本质是求这5年每年利润的和，利润中的负数代表亏损，正数代表盈利，将5个数据直接相加即可得到总利润。
（2）6年内总盈利要达到250万元，即前5年总利润加上第6年的利润等于250万元，因此用目标总盈利减去前5年的总利润，即可求出第6年需要盈利的金额。
【解析】
（1）总利润为5年利润相加：
$\begin{aligned}&(-120)+(-65)+(-30)+60+150\\=&-(120+65+30)+(60+150)\\=&-215+210\\=&-5(\mathrm{万元})\end{aligned}$
即总利润为-5万元，也就是亏损5万元。
（2）设第6年盈利$x$万元，根据题意得：
$-5 + x = 250$
解得$x=250 - (-5)=255$（万元）
【答案】
(1) 总利润为$-5$万元（即亏损5万元）
(2) 第6年要盈利255万元
【知识点】
正负数的实际应用、有理数的加法运算、有理数的减法运算
【点评】
本题结合创业盈亏的生活场景，考查有理数加减运算在实际问题中的应用，解题关键是明确正负数代表的实际含义，正确进行有理数的加减计算，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
13. 幻方是古老的数学问题，我国古代的“洛书”中记载了世界上最早的幻方. 请你将－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4这九个数分别填入图中的空格，使每一行、每一列以及每条对角线上的各数之和都相等，构造一个三阶幻方.
答案：如图（答案不唯一，写出一种即可）
$\begin{array}{|c|c|c|}\hline 1 & 2 & -3 \\\hline -4 & 0 & 4 \\\hline 3 & -2 & -1 \\\hline\end{array}$
$\begin{array}{|c|c|c|}\hline 1 & 2 & -3 \\\hline -4 & 0 & 4 \\\hline 3 & -2 & -1 \\\hline\end{array}$
解析：
【分析】
构造三阶幻方可按三步思考：第一步先求幻和，即每行、每列、对角线的和，9个数的总和除以3就是幻和；第二步确定中间数，三阶幻方的中间数等于幻和除以3；第三步将剩余数字凑成和相等的数对，放在中间数的对称位置，再调整位置验证满足和的要求即可。
【解析】
1. 计算9个数的总和：$(-4)+(-3)+(-2)+(-1)+0+1+2+3+4=0$，由于三行的和相等，因此幻和为$0÷3=0$，即每行、每列、每条对角线的和都为0。
2. 确定中间数：三阶幻方中中间数等于幻和除以3，因此正中间位置填$0÷3=0$。
3. 配对剩余数字：剩下的8个数可分为4组和为0的数对：$(-4,4)$、$(-3,3)$、$(-2,2)$、$(-1,1)$，每组两个数放在0的对称位置。
4. 调整位置验证：尝试填入数字后验证，如第一行填1、2，第三个数字为$0-1-2=-3$；第二行第一个填-4，第二个为0，第三个数字为$0-(-4)-0=4$；第三行根据列和为0推算得3、-2、-1，验证所有行、列、对角线的和均为0，符合要求。
【答案】
（答案不唯一，示例如下）
$\begin{array}{|c|c|c|}\hline 1 & 2 & -3 \\\hline -4 & 0 & 4 \\\hline 3 & -2 & -1 \\\hline\end{array}$
【知识点】
有理数加法运算，三阶幻方性质
【点评】
本题是幻方构造的基础题型，解题关键是先求出幻和与中间数，再利用数的对称性配对调整，只要满足各行、各列、对角线和相等均为正确答案，解法较为灵活。
【难度系数】
0.6
构造三阶幻方可按三步思考：第一步先求幻和，即每行、每列、对角线的和，9个数的总和除以3就是幻和；第二步确定中间数，三阶幻方的中间数等于幻和除以3；第三步将剩余数字凑成和相等的数对，放在中间数的对称位置，再调整位置验证满足和的要求即可。
【解析】
1. 计算9个数的总和：$(-4)+(-3)+(-2)+(-1)+0+1+2+3+4=0$，由于三行的和相等，因此幻和为$0÷3=0$，即每行、每列、每条对角线的和都为0。
2. 确定中间数：三阶幻方中中间数等于幻和除以3，因此正中间位置填$0÷3=0$。
3. 配对剩余数字：剩下的8个数可分为4组和为0的数对：$(-4,4)$、$(-3,3)$、$(-2,2)$、$(-1,1)$，每组两个数放在0的对称位置。
4. 调整位置验证：尝试填入数字后验证，如第一行填1、2，第三个数字为$0-1-2=-3$；第二行第一个填-4，第二个为0，第三个数字为$0-(-4)-0=4$；第三行根据列和为0推算得3、-2、-1，验证所有行、列、对角线的和均为0，符合要求。
【答案】
（答案不唯一，示例如下）
$\begin{array}{|c|c|c|}\hline 1 & 2 & -3 \\\hline -4 & 0 & 4 \\\hline 3 & -2 & -1 \\\hline\end{array}$
【知识点】
有理数加法运算，三阶幻方性质
【点评】
本题是幻方构造的基础题型，解题关键是先求出幻和与中间数，再利用数的对称性配对调整，只要满足各行、各列、对角线和相等均为正确答案，解法较为灵活。
【难度系数】
0.6