12. 用简便方法计算：某种粮专业户出售余粮10袋，每袋质量如下（单位：kg）.
199，201，197，203，200，195，197，199，202，196.
（1）以每袋余粮200 kg为标准，求这10袋余粮总计超过（或不足）多少千克；
（2）这10袋余粮一共多少千克？
199，201，197，203，200，195，197，199，202，196.
（1）以每袋余粮200 kg为标准，求这10袋余粮总计超过（或不足）多少千克；
（2）这10袋余粮一共多少千克？
答案：解：
（1）以200 kg为标准，将每袋余粮的质量与200 kg的差值记为：不足200 kg的部分记为负数，超过200 kg的部分记为正数，得到10个差值分别为：
$-1$，$+1$，$-3$，$+3$，$0$，$-5$，$-3$，$-1$，$+2$，$-4$
将这些差值求和：
$\begin{aligned}&(-1)+1+(-3)+3+0+(-5)+(-3)+(-1)+2+(-4)\\=&[(-1)+1]+[(-3)+3]+0+[(-5)+(-3)+(-1)+(-4)]+2\\=&0+0+0-13+2\\=&-11\end{aligned}$
因此这10袋余粮总计不足11 kg。
（2）10袋余粮的总标准质量为 $10×200=2000\ \mathrm{kg}$，结合（1）的差值结果，总质量为：
$2000 + (-11) = 1989\ \mathrm{kg}$
答：（1）这10袋余粮总计不足11千克；（2）这10袋余粮一共1989千克。
（1）以200 kg为标准，将每袋余粮的质量与200 kg的差值记为：不足200 kg的部分记为负数，超过200 kg的部分记为正数，得到10个差值分别为：
$-1$，$+1$，$-3$，$+3$，$0$，$-5$，$-3$，$-1$，$+2$，$-4$
将这些差值求和：
$\begin{aligned}&(-1)+1+(-3)+3+0+(-5)+(-3)+(-1)+2+(-4)\\=&[(-1)+1]+[(-3)+3]+0+[(-5)+(-3)+(-1)+(-4)]+2\\=&0+0+0-13+2\\=&-11\end{aligned}$
因此这10袋余粮总计不足11 kg。
（2）10袋余粮的总标准质量为 $10×200=2000\ \mathrm{kg}$，结合（1）的差值结果，总质量为：
$2000 + (-11) = 1989\ \mathrm{kg}$
答：（1）这10袋余粮总计不足11千克；（2）这10袋余粮一共1989千克。
解析：
【解析】
（1）以200kg为标准，将每袋余粮的质量与200kg作差，得到对应的差值分别为：
$199-200=-1$，$201-200=1$，$197-200=-3$，$203-200=3$，$200-200=0$，$195-200=-5$，$197-200=-3$，$199-200=-1$，$202-200=2$，$196-200=-4$。
将所有差值求和：
$-1+1-3+3+0-5-3-1+2-4=-11$
结果为负，说明这10袋余粮总计不足11kg。
（2）先计算10袋余粮以200kg为标准的总基准质量：$10×200=2000\ \mathrm{kg}$
结合第一问得到的总差值，计算实际总质量：$2000-11=1989\ \mathrm{kg}$
【答案】
（1）总计不足11kg；（2）这10袋余粮一共1989kg
【知识点】
有理数加法；基准数法简便计算
【点评】
本题通过设定基准数将接近整百的数值转化为小的有理数进行加减运算，大幅简化多位数求和的计算过程，重点考察对简便运算思路的理解与正负数的实际应用能力。
【难度系数】
0.8
（1）以200kg为标准，将每袋余粮的质量与200kg作差，得到对应的差值分别为：
$199-200=-1$，$201-200=1$，$197-200=-3$，$203-200=3$，$200-200=0$，$195-200=-5$，$197-200=-3$，$199-200=-1$，$202-200=2$，$196-200=-4$。
将所有差值求和：
$-1+1-3+3+0-5-3-1+2-4=-11$
结果为负，说明这10袋余粮总计不足11kg。
（2）先计算10袋余粮以200kg为标准的总基准质量：$10×200=2000\ \mathrm{kg}$
结合第一问得到的总差值，计算实际总质量：$2000-11=1989\ \mathrm{kg}$
【答案】
（1）总计不足11kg；（2）这10袋余粮一共1989kg
【知识点】
有理数加法；基准数法简便计算
【点评】
本题通过设定基准数将接近整百的数值转化为小的有理数进行加减运算，大幅简化多位数求和的计算过程，重点考察对简便运算思路的理解与正负数的实际应用能力。
【难度系数】
0.8
13. 在如图的数轴上先画出位于点A右边4个单位长度的点B，在原点左边画点C，使B，C两点到原点的距离相等，写出B，C两点所表示的数，并求A，C两点间的距离.
（第13题）
（第13题）答案：
解：
首先由数轴可知，点A表示的数是。
点B在点A右边4个单位长度，因此点B表示的数为：
因为点B到原点的距离是，点C在原点左边且到原点的距离与点B相等，所以点C表示的数是。
计算A、C两点间的距离：
结论：点B表示的数是，点C表示的数是，A、C两点间的距离为。
（注：在数轴上点A右侧距A4个单位处标注点B，原点左侧距原点1.5个单位处标注点C即可完成画图要求）
解：
首先由数轴可知，点A表示的数是。
点B在点A右边4个单位长度，因此点B表示的数为：
因为点B到原点的距离是，点C在原点左边且到原点的距离与点B相等，所以点C表示的数是。
计算A、C两点间的距离：
结论：点B表示的数是，点C表示的数是，A、C两点间的距离为。
（注：在数轴上点A右侧距A4个单位处标注点B，原点左侧距原点1.5个单位处标注点C即可完成画图要求）
14. 已知$m＞0$，$n＜0$，$|n|＞|m|$，请你结合数轴，用“＜”连接$m$，$n$，$-m$，$-n$.
答案：解：
已知$m＞0$，则$m$是正数，在数轴上位于原点右侧；$n＜0$，则$n$是负数，在数轴上位于原点左侧。
由相反数的定义可知：$-m＜0$，即$-m$是位于原点左侧的负数；$-n＞0$，即$-n$是位于原点右侧的正数。
又因为$|n|＞|m|$，数轴上一个数的绝对值代表该数到原点的距离，因此$n$到原点的距离大于$m$到原点的距离，对应可得：原点左侧的数满足$n ＜ -m$，原点右侧的数满足$m ＜ -n$。
结合数轴上的数从左到右逐渐增大的性质，可得大小关系：
$n ＜ -m ＜ m ＜ -n$
已知$m＞0$，则$m$是正数，在数轴上位于原点右侧；$n＜0$，则$n$是负数，在数轴上位于原点左侧。
由相反数的定义可知：$-m＜0$，即$-m$是位于原点左侧的负数；$-n＞0$，即$-n$是位于原点右侧的正数。
又因为$|n|＞|m|$，数轴上一个数的绝对值代表该数到原点的距离，因此$n$到原点的距离大于$m$到原点的距离，对应可得：原点左侧的数满足$n ＜ -m$，原点右侧的数满足$m ＜ -n$。
结合数轴上的数从左到右逐渐增大的性质，可得大小关系：
$n ＜ -m ＜ m ＜ -n$
15. 阅读下列材料：对于有理数$x$，$|x|=\begin{cases}x, & x＞0, \\0, & x=0, \\-x, & x＜0.\end{cases}$，可知，当$x＜0$时，$\frac{x}{|x|}=\frac{x}{-x}=-1$。
用这个结论解答问题：
（1）已知$a$，$b$是有理数，当$ab＞0$时，求$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}$的值；
（2）已知$a$，$b$，$c$是有理数，当$abc＞0$时，求$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}$的值；
（3）已知$a$，$b$，$c$是有理数，$a+b+c=0$，$abc＜0$，求$\frac{b+c}{|a|}+\frac{a+c}{|b|}+\frac{a+b}{|c|}$的值。
用这个结论解答问题：
（1）已知$a$，$b$是有理数，当$ab＞0$时，求$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}$的值；
（2）已知$a$，$b$，$c$是有理数，当$abc＞0$时，求$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}$的值；
（3）已知$a$，$b$，$c$是有理数，$a+b+c=0$，$abc＜0$，求$\frac{b+c}{|a|}+\frac{a+c}{|b|}+\frac{a+b}{|c|}$的值。
答案：解：
（1）已知$ab＞0$，说明$a$、$b$同号：
- 当$a＞0$，$b＞0$时，$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}=\frac{a}{a}+\frac{b}{b}=1+1=2$；
- 当$a＜0$，$b＜0$时，$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}=\frac{a}{-a}+\frac{b}{-b}=-1+(-1)=-2$。
因此$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}$的值为$2$或$-2$。
（2）已知$abc＞0$，说明$a$、$b$、$c$三个数中负数的个数为0个或2个：
- 当$a＞0,b＞0,c＞0$（负数个数为0）时，$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}=1+1+1=3$；
- 当$a$、$b$、$c$中有两个负数、一个正数时，不妨设$a＜0,b＜0,c＞0$，则$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}=-1+(-1)+1=-1$。
因此$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}$的值为$3$或$-1$。
（3）由$a+b+c=0$可得$b+c=-a$，$a+c=-b$，$a+b=-c$，代入原式得：
$\frac{b+c}{|a|}+\frac{a+c}{|b|}+\frac{a+b}{|c|}=\frac{-a}{|a|}+\frac{-b}{|b|}+\frac{-c}{|c|}=-(\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|})$
已知$abc＜0$，且$a+b+c=0$，说明$a$、$b$、$c$不可能全为负数（三个负数的和不可能为0），因此三个数中负数的个数为1个，正数的个数为2个：
此时$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}=1+1+(-1)=1$，因此原式$=-1$。
综上，（1）的值为$2$或$-2$；（2）的值为$3$或$-1$；（3）的值为$-1$。
（1）已知$ab＞0$，说明$a$、$b$同号：
- 当$a＞0$，$b＞0$时，$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}=\frac{a}{a}+\frac{b}{b}=1+1=2$；
- 当$a＜0$，$b＜0$时，$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}=\frac{a}{-a}+\frac{b}{-b}=-1+(-1)=-2$。
因此$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}$的值为$2$或$-2$。
（2）已知$abc＞0$，说明$a$、$b$、$c$三个数中负数的个数为0个或2个：
- 当$a＞0,b＞0,c＞0$（负数个数为0）时，$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}=1+1+1=3$；
- 当$a$、$b$、$c$中有两个负数、一个正数时，不妨设$a＜0,b＜0,c＞0$，则$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}=-1+(-1)+1=-1$。
因此$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}$的值为$3$或$-1$。
（3）由$a+b+c=0$可得$b+c=-a$，$a+c=-b$，$a+b=-c$，代入原式得：
$\frac{b+c}{|a|}+\frac{a+c}{|b|}+\frac{a+b}{|c|}=\frac{-a}{|a|}+\frac{-b}{|b|}+\frac{-c}{|c|}=-(\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|})$
已知$abc＜0$，且$a+b+c=0$，说明$a$、$b$、$c$不可能全为负数（三个负数的和不可能为0），因此三个数中负数的个数为1个，正数的个数为2个：
此时$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}=1+1+(-1)=1$，因此原式$=-1$。
综上，（1）的值为$2$或$-2$；（2）的值为$3$或$-1$；（3）的值为$-1$。