8. 用字母表示下列运算或数量关系：
（1）某个数的2倍与5的差；
（2）一个数的相反数与2的平方的和大于3。
（1）某个数的2倍与5的差；
（2）一个数的相反数与2的平方的和大于3。
答案： (1) $2a-5$ (2) $-a+2^2＞3$
9. 用字母表示图中阴影部分的面积：
图①中 $ S_{阴影} = $
图①中 $ S_{阴影} = $
$(a-x)b$
，图②中 $ S_{阴影} = $ $(1-\frac{π}{4})x^2$
.答案：9. $(a-x)b$，$(1-\frac{π}{4})x^2$
10. 观察下列各式：$2^2 - 2×1 = 1 + 1$，$3^2 - 2×2 = 4 + 1$，$4^2 - 2×3 = 9 + 1$，$5^2 - 2×4 = 16 + 1$，…，第n个等式是
$(n+1)^2-2n=n^2+1$
。答案：10. $(n+1)^2-2n=n^2+1$
解析：
【解析】
我们逐个分析给出的等式，将序号和等式的结构对应：
1. 当n=1时，等式为$2^2 - 2×1 = 1 + 1$，其中$2=1+1$，右侧的$1=1^2$；
2. 当n=2时，等式为$3^2 - 2×2 = 4 + 1$，其中$3=2+1$，右侧的$4=2^2$；
3. 当n=3时，等式为$4^2 - 2×3 = 9 + 1$，其中$4=3+1$，右侧的$9=3^2$；
……
以此类推，第n个等式的左侧第一项底数为$n+1$，第二项为$2×n$，右侧为$n^2 + 1$，因此第n个等式为$(n+1)^2-2n=n^2+1$，展开左右两侧可验证等式恒成立。
【答案】
$(n+1)^2-2n=n^2+1$
【知识点】
规律探究
代数式表示
整式运算
【点评】
本题属于数字规律探究的基础题型，解题的核心是将等式的各项数值和对应序号n建立关联，通过归纳前几个等式的共性推导出通式，难度较低，侧重考查学生的观察归纳能力。
【难度系数】
0.8
我们逐个分析给出的等式，将序号和等式的结构对应：
1. 当n=1时，等式为$2^2 - 2×1 = 1 + 1$，其中$2=1+1$，右侧的$1=1^2$；
2. 当n=2时，等式为$3^2 - 2×2 = 4 + 1$，其中$3=2+1$，右侧的$4=2^2$；
3. 当n=3时，等式为$4^2 - 2×3 = 9 + 1$，其中$4=3+1$，右侧的$9=3^2$；
……
以此类推，第n个等式的左侧第一项底数为$n+1$，第二项为$2×n$，右侧为$n^2 + 1$，因此第n个等式为$(n+1)^2-2n=n^2+1$，展开左右两侧可验证等式恒成立。
【答案】
$(n+1)^2-2n=n^2+1$
【知识点】
规律探究
代数式表示
整式运算
【点评】
本题属于数字规律探究的基础题型，解题的核心是将等式的各项数值和对应序号n建立关联，通过归纳前几个等式的共性推导出通式，难度较低，侧重考查学生的观察归纳能力。
【难度系数】
0.8
11. 观察下面两个算式并回答问题：
① $63×67=6×(6+1)×100+3×7=4\ 200+21=4\ 221$；
② $692×698=69×(69+1)×100+2×8=483\ 000+16=483\ 016$.
（1）上述算式中，两个因数个位上的数字之和是多少？其余各位上的数字有什么特征？
（2）猜想符合上述特征的两数相乘的计算方法，并举例验证.
① $63×67=6×(6+1)×100+3×7=4\ 200+21=4\ 221$；
② $692×698=69×(69+1)×100+2×8=483\ 000+16=483\ 016$.
（1）上述算式中，两个因数个位上的数字之和是多少？其余各位上的数字有什么特征？
（2）猜想符合上述特征的两数相乘的计算方法，并举例验证.
答案：(1) 10,对应相同 (2) 如果两个数个位上数字之和为10,其余数位上数字相同,记其余数位上数字组成的数为k,个位上数字为m,n,那么这两个数之积等于$k×(k+1)×100+m×n$.例如,$1234×1236=123×(123+1)×100+4×6=1525224$例如，
41×49=4×(4+1)×100+1×9=2009
例如，
325×325=32×(32+1)×100+5×5=105625
12. 将奇数1至2025按照顺序排成下表：
记$ P_{mn} $表示第$ m $行第$ n $个数，如$ P_{23}=17 $表示第2行第3个数是17.
(1) $ P_{43}= $
(2) $ P_{mn}= $
记$ P_{mn} $表示第$ m $行第$ n $个数，如$ P_{23}=17 $表示第2行第3个数是17.
(1) $ P_{43}= $
41
；(2) $ P_{mn}= $
形式不唯一,如$12(m-1)+2(n-1)+1$(注:不需要化简)
（用含$ m $，$ n $的代数式表示）.答案：(1) $\boldsymbol{41}$
(2) $\boldsymbol{12(m-1)+2(n-1)+1}$（形式不唯一）
(2) $\boldsymbol{12(m-1)+2(n-1)+1}$（形式不唯一）
解析：
【解析】
(1) 观察数表可知，每行有6个连续奇数，每相邻两行同位置的数相差12：
第1行的数为1,3,5,7,9,11；
第2行的数为13,15,17,19,21,23；
第3行的数为25,27,29,31,33,35；
则第4行的数为37,39,41,43,45,47，因此第4行第3个数$P_{43}=41$。
(2) 前$m-1$行共有$6(m-1)$个奇数，第$m$行第$n$个数是第$6(m-1)+n$个正奇数，第$k$个正奇数可表示为$2(k-1)+1$，代入得：
$P_{mn}=2[6(m-1)+n-1]+1=12(m-1)+2(n-1)+1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{41}$；(2) $\boldsymbol{12(m-1)+2(n-1)+1}$（形式不唯一）
【知识点】
数字规律探究
奇数的表示
代数式列写
【点评】
本题通过排列奇数的数表考查数字规律的推导，先从局部数的排列特征入手得到每行的数的排布规律，再推广到用字母表示任意位置的数，难度梯度合理，适合锻炼学生从特殊到一般的归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
(1) 观察数表可知，每行有6个连续奇数，每相邻两行同位置的数相差12：
第1行的数为1,3,5,7,9,11；
第2行的数为13,15,17,19,21,23；
第3行的数为25,27,29,31,33,35；
则第4行的数为37,39,41,43,45,47，因此第4行第3个数$P_{43}=41$。
(2) 前$m-1$行共有$6(m-1)$个奇数，第$m$行第$n$个数是第$6(m-1)+n$个正奇数，第$k$个正奇数可表示为$2(k-1)+1$，代入得：
$P_{mn}=2[6(m-1)+n-1]+1=12(m-1)+2(n-1)+1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{41}$；(2) $\boldsymbol{12(m-1)+2(n-1)+1}$（形式不唯一）
【知识点】
数字规律探究
奇数的表示
代数式列写
【点评】
本题通过排列奇数的数表考查数字规律的推导，先从局部数的排列特征入手得到每行的数的排布规律，再推广到用字母表示任意位置的数，难度梯度合理，适合锻炼学生从特殊到一般的归纳推理能力。
【难度系数】
0.7