如图，AC是$\odot O$的直径，弦$BD⊥ AO$于点$E$，连接$BC$，过点$O$作$OF⊥ BC$于点$F$，$BD=8\ \mathrm{cm}$，$AE=2\ \mathrm{cm}$。
（1）求$\odot O$的半径；
（2）求点$O$到弦$BC$的距离。
（1）求$\odot O$的半径；
（2）求点$O$到弦$BC$的距离。
答案：(1) 5 cm；(2) $\sqrt{5}$ cm.
解析：
【分析】
（1）求⊙O的半径时，先利用垂径定理得到BD被AC平分，求出BE的长度；再设半径为r，用含r的式子表示出Rt△OBE的三边长，最后根据勾股定理列方程即可求解。
（2）求点O到弦BC的距离即OF的长度，先在Rt△BEC中用勾股定理求出BC的长度，再利用同一三角形面积的两种计算方式建立等式，即可求出OF的长度。
【解析】
（1）解：
∵AC是⊙O的直径，弦$BD⊥AO$于点E
根据垂径定理可得：$BE=\frac{1}{2}BD$
已知$BD=8\ \mathrm{cm}$，因此$BE=4\ \mathrm{cm}$
设⊙O的半径为$r\ \mathrm{cm}$，则$OB=r\ \mathrm{cm}$，$OE=OA-AE=(r-2)\ \mathrm{cm}$
在$\mathrm{Rt}△ OBE$中，由勾股定理得：
$OB^2=OE^2+BE^2$
代入得 $r^2=(r-2)^2+4^2$
展开得 $r^2=r^2-4r+4+16$
化简得 $4r=20$，解得$r=5$
即⊙O的半径为5cm。
（2）解：由（1）可知$OC=OA=5\ \mathrm{cm}$，因此$CE=OC+OE=5+(5-2)=8\ \mathrm{cm}$
在$\mathrm{Rt}△ BEC$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{BE^2+CE^2}=\sqrt{4^2+8^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
∵$OF⊥BC$，
∴$△ OBC$的面积可表示为$S_{△ OBC}=\frac{1}{2}× BC× OF$
又
∵$BE⊥AC$，
∴$△ OBC$的面积也可表示为$S_{△ OBC}=\frac{1}{2}× OC× BE$
联立两式得：$\frac{1}{2}×4\sqrt{5}× OF=\frac{1}{2}×5×4$
化简得$2\sqrt{5}· OF=10$，解得$OF=\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
即点O到弦BC的距离为$\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{5\ \mathrm{cm}}$；（2）$\boldsymbol{\sqrt{5}\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；三角形面积计算
【点评】
本题是圆章节的常规题型，解题核心是熟练运用垂径定理得到线段的等量关系，再结合勾股定理或面积法求解未知量，需要注意方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
（1）求⊙O的半径时，先利用垂径定理得到BD被AC平分，求出BE的长度；再设半径为r，用含r的式子表示出Rt△OBE的三边长，最后根据勾股定理列方程即可求解。
（2）求点O到弦BC的距离即OF的长度，先在Rt△BEC中用勾股定理求出BC的长度，再利用同一三角形面积的两种计算方式建立等式，即可求出OF的长度。
【解析】
（1）解：
∵AC是⊙O的直径，弦$BD⊥AO$于点E
根据垂径定理可得：$BE=\frac{1}{2}BD$
已知$BD=8\ \mathrm{cm}$，因此$BE=4\ \mathrm{cm}$
设⊙O的半径为$r\ \mathrm{cm}$，则$OB=r\ \mathrm{cm}$，$OE=OA-AE=(r-2)\ \mathrm{cm}$
在$\mathrm{Rt}△ OBE$中，由勾股定理得：
$OB^2=OE^2+BE^2$
代入得 $r^2=(r-2)^2+4^2$
展开得 $r^2=r^2-4r+4+16$
化简得 $4r=20$，解得$r=5$
即⊙O的半径为5cm。
（2）解：由（1）可知$OC=OA=5\ \mathrm{cm}$，因此$CE=OC+OE=5+(5-2)=8\ \mathrm{cm}$
在$\mathrm{Rt}△ BEC$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{BE^2+CE^2}=\sqrt{4^2+8^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
∵$OF⊥BC$，
∴$△ OBC$的面积可表示为$S_{△ OBC}=\frac{1}{2}× BC× OF$
又
∵$BE⊥AC$，
∴$△ OBC$的面积也可表示为$S_{△ OBC}=\frac{1}{2}× OC× BE$
联立两式得：$\frac{1}{2}×4\sqrt{5}× OF=\frac{1}{2}×5×4$
化简得$2\sqrt{5}· OF=10$，解得$OF=\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
即点O到弦BC的距离为$\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{5\ \mathrm{cm}}$；（2）$\boldsymbol{\sqrt{5}\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；三角形面积计算
【点评】
本题是圆章节的常规题型，解题核心是熟练运用垂径定理得到线段的等量关系，再结合勾股定理或面积法求解未知量，需要注意方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
1. 下列各角中，是圆心角的是 （
D
） 答案：1. D.
解析：
【分析】
解题时首先要明确圆心角的判定条件，需同时满足两个要求：①角的顶点在圆的圆心处；②角的两条边均与圆相交（即两边都是圆的半径所在射线）。接下来按照这两个条件逐一排查每个选项，排除不符合要求的选项，即可得到正确答案。
【解析】
根据圆心角的定义：顶点在圆心，且两边都与圆相交的角叫做圆心角，逐一分析选项：
选项A：角的顶点在圆周上，不满足“顶点在圆心”的条件，不是圆心角；
选项B：角的顶点未与圆心重合，不满足“顶点在圆心”的条件，不是圆心角；
选项C：角的顶点在圆外，且有一条边未与圆相交，不满足圆心角的判定条件，不是圆心角；
选项D：角的顶点与圆心重合，两条边均为圆的半径、都与圆相交，符合圆心角的定义，是圆心角。
【答案】
D
【知识点】
圆心角的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，重点是区分圆心角和其他与圆相关的角，只要牢记圆心角的两个判定特征就能快速解题，是对基础概念掌握情况的常规考查。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确圆心角的判定条件，需同时满足两个要求：①角的顶点在圆的圆心处；②角的两条边均与圆相交（即两边都是圆的半径所在射线）。接下来按照这两个条件逐一排查每个选项，排除不符合要求的选项，即可得到正确答案。
【解析】
根据圆心角的定义：顶点在圆心，且两边都与圆相交的角叫做圆心角，逐一分析选项：
选项A：角的顶点在圆周上，不满足“顶点在圆心”的条件，不是圆心角；
选项B：角的顶点未与圆心重合，不满足“顶点在圆心”的条件，不是圆心角；
选项C：角的顶点在圆外，且有一条边未与圆相交，不满足圆心角的判定条件，不是圆心角；
选项D：角的顶点与圆心重合，两条边均为圆的半径、都与圆相交，符合圆心角的定义，是圆心角。
【答案】
D
【知识点】
圆心角的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，重点是区分圆心角和其他与圆相关的角，只要牢记圆心角的两个判定特征就能快速解题，是对基础概念掌握情况的常规考查。
【难度系数】
0.9
2. 如图，在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，$∠ A=40°$，则$∠ B=$
70°
。答案：2. $70°$.
解析：
【分析】
首先从已知条件入手：1. 同圆中相等的弧对应的弦相等，由$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$可推出$AB=AC$，即$△ ABC$为等腰三角形，两个底角$∠ B$和$∠ C$相等；2. 已知等腰三角形顶角$∠ A=40°$，结合三角形内角和为$180°$，即可计算出底角$∠ B$的度数。
【解析】
$\because$ 在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$
$\therefore AB=AC$（同圆中，等弧对等弦）
$\therefore △ ABC$是等腰三角形，$∠ B=∠ C$
又$\because$ 三角形内角和为$180°$，$∠ A=40°$
$\therefore ∠ B=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-40°}{2}=70°$
【答案】
$70°$
【知识点】
等弧对等弦、等腰三角形性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础题型，解题核心是通过弧的等量关系得到边的等量关系，进而结合三角形性质计算角度，是对基础知识点的常规考察。
【难度系数】
0.8
首先从已知条件入手：1. 同圆中相等的弧对应的弦相等，由$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$可推出$AB=AC$，即$△ ABC$为等腰三角形，两个底角$∠ B$和$∠ C$相等；2. 已知等腰三角形顶角$∠ A=40°$，结合三角形内角和为$180°$，即可计算出底角$∠ B$的度数。
【解析】
$\because$ 在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$
$\therefore AB=AC$（同圆中，等弧对等弦）
$\therefore △ ABC$是等腰三角形，$∠ B=∠ C$
又$\because$ 三角形内角和为$180°$，$∠ A=40°$
$\therefore ∠ B=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-40°}{2}=70°$
【答案】
$70°$
【知识点】
等弧对等弦、等腰三角形性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础题型，解题核心是通过弧的等量关系得到边的等量关系，进而结合三角形性质计算角度，是对基础知识点的常规考察。
【难度系数】
0.8
3. 若一条弦把圆周分成1：2的两段弧，则劣弧所对圆心角的度数是
120
°。答案：3. 120.
解析：
【分析】
解题首先要明确两个核心知识：一是整个圆周对应的圆心角为周角360°，二是弧的度数等于它所对圆心角的度数。题目中弦把圆周分成1:2的两段弧，说明两段弧所对的圆心角的比也为1:2，劣弧对应占比更小的那份，通过按比例分配的方法就能计算出劣弧对应的圆心角度数。
【解析】
解：
∵ 整个圆周对应的圆心角的度数为360°，且弧的度数等于它所对圆心角的度数，已知弦把圆周分成1:2的两段弧，
∴ 两段弧所对的圆心角的度数之比也为1:2，
设劣弧所对圆心角的度数为$x$，则优弧所对圆心角的度数为$2x$，
可列方程：$x + 2x = 360°$，
解得：$x = 120°$。
【答案】
120
【知识点】
弧与圆心角的关系；周角的定义
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题关键是掌握弧的度数和所对圆心角度数的对应关系，结合周角的度数按比例计算即可，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.9
解题首先要明确两个核心知识：一是整个圆周对应的圆心角为周角360°，二是弧的度数等于它所对圆心角的度数。题目中弦把圆周分成1:2的两段弧，说明两段弧所对的圆心角的比也为1:2，劣弧对应占比更小的那份，通过按比例分配的方法就能计算出劣弧对应的圆心角度数。
【解析】
解：
∵ 整个圆周对应的圆心角的度数为360°，且弧的度数等于它所对圆心角的度数，已知弦把圆周分成1:2的两段弧，
∴ 两段弧所对的圆心角的度数之比也为1:2，
设劣弧所对圆心角的度数为$x$，则优弧所对圆心角的度数为$2x$，
可列方程：$x + 2x = 360°$，
解得：$x = 120°$。
【答案】
120
【知识点】
弧与圆心角的关系；周角的定义
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题关键是掌握弧的度数和所对圆心角度数的对应关系，结合周角的度数按比例计算即可，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.9
4. 下列说法:①等弧所对的圆心角相等;②相等的圆心角所对的弧是等弧;③在同圆中,若$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$,则$AB=2CD$;④在$\odot O$中,若$∠ AOB=2∠ COD$,则$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$.其中说法正确的是
①④
(填序号).答案：4. ①④.
解析：
【分析】
这道题考查圆心角、弧、弦的相关性质，解题时需结合性质的适用前提对每个说法逐一判断：首先明确等弧的定义和性质，牢记圆心角、弧、弦的对应关系只有在同圆或等圆中才成立；对于弧长倍数关系和对应弦长倍数关系的判断，可通过构造三角形，利用三边关系验证。
【解析】
我们结合圆心角、弧、弦的关系定理逐一分析4个说法：
1. 分析说法①：等弧是指能够完全重合的弧，必然存在于同圆或等圆中，根据圆心角与弧的对应关系，等弧所对的圆心角一定相等，故①正确。
2. 分析说法②：“相等的圆心角所对的弧是等弧”缺少“同圆或等圆”的前提条件，若两个圆半径不同，即使圆心角相等，所对的弧也无法重合，不是等弧，故②错误。
3. 分析说法③：在同圆中，若$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$，可将$\overset{\frown}{AB}$平均分为两段弧$\overset{\frown}{AE}$、$\overset{\frown}{EB}$，则$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{EB}=\overset{\frown}{CD}$，对应弦长$AE=EB=CD$。在$△ AEB$中，根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”，可得$AB＜AE+EB=2CD$，因此$AB≠2CD$，故③错误。
4. 分析说法④：在$\odot O$中，满足同圆的前提条件，圆心角的度数等于它所对弧的度数，因此若$∠AOB=2∠COD$，则$\overset{\frown}{AB}$的度数是$\overset{\frown}{CD}$度数的2倍，即$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$，故④正确。
综上，正确的是①④。
【答案】
①④
【知识点】
圆心角弧弦的关系、等弧的定义、三角形三边关系
【点评】
本题易错点在于忽略圆心角、弧、弦关系成立的“同圆或等圆”前提误判②，或是混淆弧长与弦长的倍数关系误判③，解题时要紧扣性质的适用条件，结合几何特征灵活验证。
【难度系数】
0.6
这道题考查圆心角、弧、弦的相关性质，解题时需结合性质的适用前提对每个说法逐一判断：首先明确等弧的定义和性质，牢记圆心角、弧、弦的对应关系只有在同圆或等圆中才成立；对于弧长倍数关系和对应弦长倍数关系的判断，可通过构造三角形，利用三边关系验证。
【解析】
我们结合圆心角、弧、弦的关系定理逐一分析4个说法：
1. 分析说法①：等弧是指能够完全重合的弧，必然存在于同圆或等圆中，根据圆心角与弧的对应关系，等弧所对的圆心角一定相等，故①正确。
2. 分析说法②：“相等的圆心角所对的弧是等弧”缺少“同圆或等圆”的前提条件，若两个圆半径不同，即使圆心角相等，所对的弧也无法重合，不是等弧，故②错误。
3. 分析说法③：在同圆中，若$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$，可将$\overset{\frown}{AB}$平均分为两段弧$\overset{\frown}{AE}$、$\overset{\frown}{EB}$，则$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{EB}=\overset{\frown}{CD}$，对应弦长$AE=EB=CD$。在$△ AEB$中，根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”，可得$AB＜AE+EB=2CD$，因此$AB≠2CD$，故③错误。
4. 分析说法④：在$\odot O$中，满足同圆的前提条件，圆心角的度数等于它所对弧的度数，因此若$∠AOB=2∠COD$，则$\overset{\frown}{AB}$的度数是$\overset{\frown}{CD}$度数的2倍，即$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$，故④正确。
综上，正确的是①④。
【答案】
①④
【知识点】
圆心角弧弦的关系、等弧的定义、三角形三边关系
【点评】
本题易错点在于忽略圆心角、弧、弦关系成立的“同圆或等圆”前提误判②，或是混淆弧长与弦长的倍数关系误判③，解题时要紧扣性质的适用条件，结合几何特征灵活验证。
【难度系数】
0.6
问题 已知A,B,C为$\odot O$上的三点，且有$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CA}$，连接AB，BC，CA.
(1) 试确定$△ ABC$的形状；
(2) 若$AB=a$，求$\odot O$的半径.
名师指导
由圆心角、弦、弧之间的关系，可知$△ ABC$为等边三角形；过圆心O作$△ ABC$一边的垂线，利用勾股定理建立方程，可求$\odot O$的半径.
解题示范 (学生在教师指导下，独立完成)
解：
(1) 试确定$△ ABC$的形状；
(2) 若$AB=a$，求$\odot O$的半径.
名师指导
由圆心角、弦、弧之间的关系，可知$△ ABC$为等边三角形；过圆心O作$△ ABC$一边的垂线，利用勾股定理建立方程，可求$\odot O$的半径.
解题示范 (学生在教师指导下，独立完成)
解：
答案：解：
(1) ∵ A,B,C为⊙O上的三点，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CA}$，
根据同圆中相等的弧所对的弦相等，可得AB=BC=CA，
∴ △ ABC是等边三角形。
(2) 过点O作OD⊥ AB于点D，连接OA，OB。
由垂径定理得：$AD = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}$。
∵$ \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CA}$，
∴ 三条弧所对的圆心角相等，即∠ AOB=∠ BOC=∠ COA，
又∵ ∠ AOB+∠ BOC+∠ COA=360°，
∴ ∠ AOB=120°。
∵ OA=OB，OD⊥ AB，
∴$ ∠ AOD = \frac{1}{2}∠ AOB = 60°$，∠ OAD=30°，
∴$ OD = \frac{1}{2}OA$。
设$\odot O$的半径为R，则OA=R，$OD=\frac{1}{2}R$。
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，由勾股定理得：
$OA^2 = OD^2 + AD^2$
即$ R^2 = (\frac{1}{2}R)^2 + (\frac{a}{2})^2$整理得$\frac{3}{4}R^2=\frac{a^2}{4}$，解得$R=\frac{\sqrt{3}}{3}a（$半径为正数，舍去负根）。∴$ \odot O$的半径为$\frac{\sqrt{3}}{3}a$。
(1) ∵ A,B,C为⊙O上的三点，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CA}$，
根据同圆中相等的弧所对的弦相等，可得AB=BC=CA，
∴ △ ABC是等边三角形。
(2) 过点O作OD⊥ AB于点D，连接OA，OB。
由垂径定理得：$AD = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}$。
∵$ \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CA}$，
∴ 三条弧所对的圆心角相等，即∠ AOB=∠ BOC=∠ COA，
又∵ ∠ AOB+∠ BOC+∠ COA=360°，
∴ ∠ AOB=120°。
∵ OA=OB，OD⊥ AB，
∴$ ∠ AOD = \frac{1}{2}∠ AOB = 60°$，∠ OAD=30°，
∴$ OD = \frac{1}{2}OA$。
设$\odot O$的半径为R，则OA=R，$OD=\frac{1}{2}R$。
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，由勾股定理得：
$OA^2 = OD^2 + AD^2$
即$ R^2 = (\frac{1}{2}R)^2 + (\frac{a}{2})^2$整理得$\frac{3}{4}R^2=\frac{a^2}{4}$，解得$R=\frac{\sqrt{3}}{3}a（$半径为正数，舍去负根）。∴$ \odot O$的半径为$\frac{\sqrt{3}}{3}a$。
解析：
【分析】
(1) 要判断△ABC的形状，已知A、B、C为⊙O上的三点且三段弧相等，根据同圆中相等的弧所对的弦相等，可推出AB=BC=CA，即可判定三角形的形状。
(2) 求⊙O的半径时，可通过作辅助线将半径放入直角三角形中计算：先过圆心作AB的垂线，结合垂径定理得到AD的长度；再由三段弧相等推出三个圆心角相等，结合周角为360°求出∠AOB的度数，利用等腰三角形三线合一的性质得到∠AOD的度数，设半径为R，用含R的式子表示OD，最后在Rt△AOD中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1)
∵ A,B,C为⊙O上的三点，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CA}$，根据同圆中相等的弧所对的弦相等，可得AB=BC=CA，
∴ △ABC是等边三角形。
(2) 过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，OB。由垂径定理得：$AD = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}$。
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CA}$，
∴ 三条弧所对的圆心角相等，即∠AOB=∠BOC=∠COA，又
∵ ∠AOB+∠BOC+∠COA=360°，
∴ ∠AOB=120°。
∵ OA=OB，OD⊥AB，
∴$∠AOD = \frac{1}{2}∠AOB = 60°$，∠OAD=30°，
∴$OD = \frac{1}{2}OA$。设$\odot O$的半径为R，则OA=R，$OD=\frac{1}{2}R$。在$\mathrm{Rt}△AOD$中，由勾股定理得：$OA^2 = OD^2 + AD^2$，即$ R^2 = (\frac{1}{2}R)^2 + (\frac{a}{2})^2$，整理得$\frac{3}{4}R^2=\frac{a^2}{4}$，解得$R=\frac{\sqrt{3}}{3}a$（半径为正数，舍去负根）。
【答案】
(1) △ABC是等边三角形；(2) $\odot O$的半径为$\frac{\sqrt{3}}{3}a$
【知识点】
1.圆心角、弧、弦的关系 2.垂径定理 3.勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础题型，核心考查同圆中弧、弦、圆心角的对应关系，以及垂径定理在圆的计算中的应用。解题的关键是通过作垂线构造直角三角形，利用勾股定理建立方程求解，对几何辅助线的构造能力有一定基础要求，是圆相关计算的常考类型题。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断△ABC的形状，已知A、B、C为⊙O上的三点且三段弧相等，根据同圆中相等的弧所对的弦相等，可推出AB=BC=CA，即可判定三角形的形状。
(2) 求⊙O的半径时，可通过作辅助线将半径放入直角三角形中计算：先过圆心作AB的垂线，结合垂径定理得到AD的长度；再由三段弧相等推出三个圆心角相等，结合周角为360°求出∠AOB的度数，利用等腰三角形三线合一的性质得到∠AOD的度数，设半径为R，用含R的式子表示OD，最后在Rt△AOD中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1)
∵ A,B,C为⊙O上的三点，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CA}$，根据同圆中相等的弧所对的弦相等，可得AB=BC=CA，
∴ △ABC是等边三角形。
(2) 过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，OB。由垂径定理得：$AD = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}$。
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CA}$，
∴ 三条弧所对的圆心角相等，即∠AOB=∠BOC=∠COA，又
∵ ∠AOB+∠BOC+∠COA=360°，
∴ ∠AOB=120°。
∵ OA=OB，OD⊥AB，
∴$∠AOD = \frac{1}{2}∠AOB = 60°$，∠OAD=30°，
∴$OD = \frac{1}{2}OA$。设$\odot O$的半径为R，则OA=R，$OD=\frac{1}{2}R$。在$\mathrm{Rt}△AOD$中，由勾股定理得：$OA^2 = OD^2 + AD^2$，即$ R^2 = (\frac{1}{2}R)^2 + (\frac{a}{2})^2$，整理得$\frac{3}{4}R^2=\frac{a^2}{4}$，解得$R=\frac{\sqrt{3}}{3}a$（半径为正数，舍去负根）。
【答案】
(1) △ABC是等边三角形；(2) $\odot O$的半径为$\frac{\sqrt{3}}{3}a$
【知识点】
1.圆心角、弧、弦的关系 2.垂径定理 3.勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础题型，核心考查同圆中弧、弦、圆心角的对应关系，以及垂径定理在圆的计算中的应用。解题的关键是通过作垂线构造直角三角形，利用勾股定理建立方程求解，对几何辅助线的构造能力有一定基础要求，是圆相关计算的常考类型题。
【难度系数】
0.7