【分析】
要证明$AB=2AD$，首先观察到$AD$垂直于半径$OC$，可联想到垂径定理的应用条件，因此考虑延长$AD$交$\odot O$于点$E$，构造垂径定理的基本模型，即可得到$AE=2AD$，此时只需证明$AB=AE$即可。根据同圆中弦相等的判定条件，只需证明$AB$和$AE$所对的弧相等，结合已知$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{AC}$，再通过垂径定理得到$\overset{\frown}{AE}=2\overset{\frown}{AC}$，即可推出$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AE}$，进而得到弦的等量关系，完成证明。
【解析】
证明：延长$AD$交$\odot O$于点$E$。
$\because AD⊥ OC$，$OC$是$\odot O$的半径，
$\therefore$ 根据垂径定理可得：$AD=DE$，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CE}$，
$\therefore AE=AD+DE=2AD$，$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{CE}=2\overset{\frown}{AC}$。
又$\because \overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{AC}$，
$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AE}$。
$\because$ 同圆中相等的弧所对的弦相等，
$\therefore AB=AE$，
$\therefore AB=2AD$。
【答案】
$AB=2AD$，证明成立。
【知识点】
1. 垂径定理
2. 等弧对等弦
【点评】
本题是圆中线段倍分关系的常规证明题，解题核心是通过构造垂径定理的基本图形得到倍分线段，再结合弧与弦的等量关系完成转化，熟练掌握圆的基本性质是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1) 要证明$\overset{\frown}{CE}=2\overset{\frown}{EA}$，根据圆心角的度数等于其所对弧的度数，只需证明两个弧对应的圆心角$∠ COE=2∠ AOE$即可。首先连接OE，结合已知垂直、平行关系可得$EF⊥ OC$，再利用D是OC中点得到直角边OD是斜边OE的一半，即可推出特殊角度，得到两个圆心角的倍数关系。
(2) 求EF的长可利用垂径定理，先在直角三角形EDO中用勾股定理求出ED的长度，再乘2得到EF的长。
【解析】
(1) 证明：连接$OE$
$\because OC⊥ AB$，$EF// AB$
$\therefore EF⊥ OC$，即$∠ EDO=90°$
$\because D$是$CO$的中点，$OC=OE=R$
$\therefore OD=\frac{1}{2}OC=\frac{1}{2}OE$
$\therefore \mathrm{Rt}△ EDO$中，$∠ OED=30°$
$\therefore ∠ COE=90°-30°=60°$
又$\because OC⊥ AB$，$\therefore ∠ AOC=90°$
$\therefore ∠ AOE=∠ AOC-∠ COE=90°-60°=30°$
$\because$圆心角的度数等于所对弧的度数
$\therefore \overset{\frown}{CE}$的度数为$60°$，$\overset{\frown}{EA}$的度数为$30°$
$\therefore \overset{\frown}{CE}=2\overset{\frown}{EA}$，得证。
(2) 解：在$\mathrm{Rt}△ EDO$中，$OE=R$，$OD=\frac{1}{2}R$
由勾股定理得：
$ED=\sqrt{OE^2-OD^2}=\sqrt{R^2-(\frac{R}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}R$
根据垂径定理，$OC⊥ EF$，则$EF=2ED$
$\therefore EF=2×\frac{\sqrt{3}}{2}R=\sqrt{3}R$
【答案】
(1) 证明如上；(2) $\sqrt{3}R$
【知识点】
垂径定理，圆心角与弧的关系，直角三角形性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，核心解题思路是连接半径构造直角三角形，结合特殊直角三角形的边角关系和垂径定理求解，是圆章节的典型常考题。
【难度系数】
0.7

【分析】
要解这道题，我们首先将弦的两个端点与圆心相连，得到以圆心角为顶角、两条半径为腰、弦长为底的三角形。已知圆的半径和弦长，可先得到三角形三边的长度，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，就能求出圆心角的度数。
【解析】
设圆的圆心为O，长度为2的弦为AB，连接OA、OB：
1. 根据圆的性质，圆的所有半径都相等，因此OA=OB=$\sqrt{2}$，已知弦长AB=2；
2. 计算三边的平方：$OA^2+OB^2=(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2=2+2=4$，$AB^2=2^2=4$，可得$OA^2+OB^2=AB^2$；
3. 根据勾股定理的逆定理，△AOB是直角三角形，顶角∠AOB=90°，即该弦所对的圆心角为90°。
【答案】
90
【知识点】
圆的半径相等，勾股定理的逆定理，圆心角的概念
【点评】
本题是圆相关角度计算的基础题，解题核心是构造出由半径、弦组成的三角形，结合三角形相关定理求解角度，属于需要熟练掌握的基础题型。
【难度系数】
0.9

【分析】
解题的核心是利用圆周角定理求解，首先判断角的类型：∠AOB顶点在圆心O，是对应弧AB的圆心角，∠ACB顶点在圆上，两边均与圆相交，是对应弧AB的圆周角，二者对应同一段弧AB，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，代入∠AOB的度数即可计算出∠ACB的大小。
【解析】
解：
∵∠AOB是⊙O中对应弧AB的圆心角，∠ACB是⊙O中对应弧AB的圆周角，二者所对的弧为同一段弧AB，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB$，
又
∵$∠ AOB=60°$，
∴$∠ ACB=\frac{1}{2}×60°=30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题属于基础常考题，主要考查圆周角定理的直接应用，解题关键是准确识别同弧所对的圆心角和圆周角，熟练掌握定理即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9

【分析】
解题依据是圆周角定理的推论：同弧所对的圆周角相等。解题时只需逐一找到每个角对应的弧，若两个角所对的是同一段弧，那么这两个角相等。我们依次分析8个角对应的弧：∠1和∠4都对应弧CD，∠2和∠7都对应弧BC，∠3和∠6都对应弧AD，∠5和∠8都对应弧AB，即可得到所有相等的角对。
【解析】
根据同弧所对的圆周角相等的性质：
1. 弧CD所对的圆周角为∠1和∠4，因此$∠ 1=∠ 4$；
2. 弧BC所对的圆周角为∠2和∠7，因此$∠ 2=∠ 7$；
3. 弧AD所对的圆周角为∠3和∠6，因此$∠ 3=∠ 6$；
4. 弧AB所对的圆周角为∠5和∠8，因此$∠ 5=∠ 8$。
综上可得共有4对相等的角。
【答案】
4对，$∠ 1=∠ 4,∠ 2=∠ 7,∠ 3=∠ 6,∠ 5=∠ 8$
【知识点】
圆周角定理、同弧所对圆周角相等
【点评】
本题是圆周角定理的基础应用题型，解题核心是准确匹配每个角对应的弧，熟练掌握相关定理即可快速作答。
【难度系数】
0.8

【分析】
要求$\odot O$的半径，已知圆周角$∠ C$的度数和它所对的弦$AB$的长度，首先可利用圆周角定理，得到同弧$AB$所对的圆心角的度数。连接$OA$、$OB$构造等腰三角形，结合圆心角的度数可判断该三角形为等腰直角三角形，最后利用勾股定理即可求出半径长度。
【解析】
连接$OA$、$OB$。
$\because ∠ ACB$是弧$AB$所对的圆周角，$∠ AOB$是弧$AB$所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
$\therefore ∠ AOB=2∠ ACB=2×45°=90°$。
又$\because OA$、$OB$均为$\odot O$的半径，$\therefore OA=OB$，即$△ AOB$为等腰直角三角形。
设$\odot O$的半径为$r$，在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，由勾股定理得：
$OA^2+OB^2=AB^2$，即$r^2+r^2=2^2$，
整理得$2r^2=4$，解得$r=\sqrt{2}$（半径为正数，舍去负根）。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形性质
【点评】
本题是圆中求半径的基础题型，解题的关键是通过连接半径构造圆心角，将圆周角的条件转化为圆心角的度数，再结合勾股定理计算，掌握常见的圆类辅助线作法和圆周角定理是解决此类题的核心。
【难度系数】
0.7