1. 已知矩形ABCD的一边AB为2 cm，另一边AD为4 cm，则以直线AD为轴旋转一周所得的图形是
圆柱
，其侧面积是$16π$
cm²，表面积是$24π$
cm²。答案：1. 圆柱; $16π$; $24π$.
解析：
【分析】
首先根据面动成体的原理，矩形绕其一条边所在直线旋转时，所得旋转体为圆柱，其中作为旋转轴的边是圆柱的高，与该边相邻的矩形的边是圆柱底面的半径。接下来先确定旋转后圆柱的底面半径和高，再分别代入圆柱侧面积公式、表面积公式计算即可。
【解析】
1. 确定旋转所得几何体：矩形ABCD以直线AD为轴旋转一周，AD的长度为圆柱的高$h=4\mathrm{cm}$，与AD垂直的边AB的长度为圆柱底面圆的半径$r=2\mathrm{cm}$，因此所得图形是圆柱。
2. 计算侧面积：圆柱侧面积公式为$S_{\mathrm{侧}}=2π rh$，代入$r=2\mathrm{cm}$，$h=4\mathrm{cm}$，得$S_{\mathrm{侧}}=2π×2×4=16π\ \mathrm{cm^2}$。
3. 计算表面积：圆柱表面积为侧面积加两个底面圆的面积，底面圆面积公式为$S_{\mathrm{底}}=π r^2$，因此两个底面积为$2S_{\mathrm{底}}=2π×2^2=8π\ \mathrm{cm^2}$，则表面积$S_{\mathrm{表}}=S_{\mathrm{侧}}+2S_{\mathrm{底}}=16π+8π=24π\ \mathrm{cm^2}$。
【答案】
圆柱；$16π$；$24π$
【知识点】
面动成体；圆柱侧面积计算；圆柱表面积计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查旋转体的形成规律和圆柱面积的相关计算，解题关键是准确判断旋转后圆柱的底面半径和高，牢记对应公式即可轻松解答。
【难度系数】
0.85
首先根据面动成体的原理，矩形绕其一条边所在直线旋转时，所得旋转体为圆柱，其中作为旋转轴的边是圆柱的高，与该边相邻的矩形的边是圆柱底面的半径。接下来先确定旋转后圆柱的底面半径和高，再分别代入圆柱侧面积公式、表面积公式计算即可。
【解析】
1. 确定旋转所得几何体：矩形ABCD以直线AD为轴旋转一周，AD的长度为圆柱的高$h=4\mathrm{cm}$，与AD垂直的边AB的长度为圆柱底面圆的半径$r=2\mathrm{cm}$，因此所得图形是圆柱。
2. 计算侧面积：圆柱侧面积公式为$S_{\mathrm{侧}}=2π rh$，代入$r=2\mathrm{cm}$，$h=4\mathrm{cm}$，得$S_{\mathrm{侧}}=2π×2×4=16π\ \mathrm{cm^2}$。
3. 计算表面积：圆柱表面积为侧面积加两个底面圆的面积，底面圆面积公式为$S_{\mathrm{底}}=π r^2$，因此两个底面积为$2S_{\mathrm{底}}=2π×2^2=8π\ \mathrm{cm^2}$，则表面积$S_{\mathrm{表}}=S_{\mathrm{侧}}+2S_{\mathrm{底}}=16π+8π=24π\ \mathrm{cm^2}$。
【答案】
圆柱；$16π$；$24π$
【知识点】
面动成体；圆柱侧面积计算；圆柱表面积计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查旋转体的形成规律和圆柱面积的相关计算，解题关键是准确判断旋转后圆柱的底面半径和高，牢记对应公式即可轻松解答。
【难度系数】
0.85
2. 如图，有一圆柱，它的高为20 cm，底面半径为7 cm. 在圆柱的下底面点A处有一只蜘蛛，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的苍蝇，需要爬行的最短路径是
$\sqrt{49π^2+400}$
cm（结果用带根号和π的式子表示）。答案：2. $\sqrt{49π^2+400}$.
解析：
【分析】
要解决圆柱表面两点的最短爬行路径问题，核心思路是“化曲为直”，将立体图形转化为平面图形求解。首先利用“两点之间，线段最短”确定最短路径是展开图中A、B两点的连线，再明确连线对应的直角三角形两条直角边的长度：一条是圆柱的高，另一条是底面圆周长的一半（因为A、B为上下底面相对的点，展开后水平方向的距离为底面半周），最后用勾股定理计算长度即可。
【解析】
解：将圆柱侧面沿过点A的母线剪开，得到长方形展开图：
1. 计算底面圆周长的一半：已知底面半径$r=7\mathrm{cm}$，圆的周长$C=2π r$，因此半周长为$\frac{1}{2}×2π r=π r=7π\ \mathrm{cm}$，即展开后A、B的水平距离为$7π\ \mathrm{cm}$。
2. 已知圆柱高为$20\mathrm{cm}$，即展开后A、B的竖直距离为$20\mathrm{cm}$。
3. 根据勾股定理，最短路径长度为：
$AB=\sqrt{(7π)^2+20^2}=\sqrt{49π^2+400}\ (\mathrm{cm})$
【答案】
$\sqrt{49π^2+400}$
【知识点】
圆柱侧面展开图、勾股定理、最短路径计算
【点评】
本题是典型的立体图形最短路径考题，解题关键是正确完成立体到平面的转化，注意区分半周长和整周长，避免因错算水平边长度导致结果错误，掌握“化曲为直”的思路即可轻松解决这类问题。
【难度系数】
0.7
要解决圆柱表面两点的最短爬行路径问题，核心思路是“化曲为直”，将立体图形转化为平面图形求解。首先利用“两点之间，线段最短”确定最短路径是展开图中A、B两点的连线，再明确连线对应的直角三角形两条直角边的长度：一条是圆柱的高，另一条是底面圆周长的一半（因为A、B为上下底面相对的点，展开后水平方向的距离为底面半周），最后用勾股定理计算长度即可。
【解析】
解：将圆柱侧面沿过点A的母线剪开，得到长方形展开图：
1. 计算底面圆周长的一半：已知底面半径$r=7\mathrm{cm}$，圆的周长$C=2π r$，因此半周长为$\frac{1}{2}×2π r=π r=7π\ \mathrm{cm}$，即展开后A、B的水平距离为$7π\ \mathrm{cm}$。
2. 已知圆柱高为$20\mathrm{cm}$，即展开后A、B的竖直距离为$20\mathrm{cm}$。
3. 根据勾股定理，最短路径长度为：
$AB=\sqrt{(7π)^2+20^2}=\sqrt{49π^2+400}\ (\mathrm{cm})$
【答案】
$\sqrt{49π^2+400}$
【知识点】
圆柱侧面展开图、勾股定理、最短路径计算
【点评】
本题是典型的立体图形最短路径考题，解题关键是正确完成立体到平面的转化，注意区分半周长和整周长，避免因错算水平边长度导致结果错误，掌握“化曲为直”的思路即可轻松解决这类问题。
【难度系数】
0.7
3. 如图是一个圆锥形冰激凌，已知它的母线长是13 cm，高是12 cm，则这个圆锥形冰激凌的底面积是
（第3题）
$25π$
cm².（第3题）答案：3. $25π$.
解析：
【分析】
要计算圆锥的底面积，首先需要求出底面圆的半径。根据圆锥的性质，圆锥的母线、高、底面半径可构成直角三角形，其中母线为斜边，因此可先通过勾股定理求出底面半径，再代入圆的面积公式计算底面积即可。
【解析】
设该圆锥的底面半径为$ r \, \mathrm{cm} $。
由圆锥的特征可知，母线长$ l=13\,\mathrm{cm} $、高$ h=12\,\mathrm{cm} $、底面半径$ r $满足勾股定理：
$ r^2 + h^2 = l^2 $
代入数值计算：
$ r = \sqrt{l^2 - h^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5\,\mathrm{cm} $
根据圆的面积公式$ S = π r^2 $，可得底面积：
$ S = π × 5^2 = 25π \, \mathrm{cm}^2 $
【答案】
$ 25π $
【知识点】
圆锥的性质、勾股定理、圆的面积计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查圆锥基本量的关系，解题的突破口是明确圆锥母线、高、底面半径构成直角三角形，熟练掌握相关公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要计算圆锥的底面积，首先需要求出底面圆的半径。根据圆锥的性质，圆锥的母线、高、底面半径可构成直角三角形，其中母线为斜边，因此可先通过勾股定理求出底面半径，再代入圆的面积公式计算底面积即可。
【解析】
设该圆锥的底面半径为$ r \, \mathrm{cm} $。
由圆锥的特征可知，母线长$ l=13\,\mathrm{cm} $、高$ h=12\,\mathrm{cm} $、底面半径$ r $满足勾股定理：
$ r^2 + h^2 = l^2 $
代入数值计算：
$ r = \sqrt{l^2 - h^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5\,\mathrm{cm} $
根据圆的面积公式$ S = π r^2 $，可得底面积：
$ S = π × 5^2 = 25π \, \mathrm{cm}^2 $
【答案】
$ 25π $
【知识点】
圆锥的性质、勾股定理、圆的面积计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查圆锥基本量的关系，解题的突破口是明确圆锥母线、高、底面半径构成直角三角形，熟练掌握相关公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4. 如图，从一块直径是8 m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，则圆锥的高是
$\sqrt{30}$
m.答案：4. $\sqrt{30}$.
解析：
【分析】
解题时可按3个步骤思考：①先求扇形的半径（即圆锥的母线长）：由90°圆周角对应的弦是圆的直径，可知BC为原圆形铁皮的直径，结合等腰直角三角形的性质可求出扇形半径AB的长度；②再求圆锥底面半径：利用扇形弧长公式计算出弧BC的长度，该长度等于圆锥底面的周长，据此可求出圆锥底面半径；③最后求圆锥的高：圆锥的母线长、底面半径、高构成直角三角形，结合勾股定理即可计算出圆锥的高。
【解析】
1. 求扇形半径（圆锥母线长）：
连接BC，
∵∠BAC=90°，
∴BC是原圆形铁皮的直径，即$BC=8\ \mathrm{m}$。
在Rt△ABC中，$AB=AC$，由勾股定理得：
$AB^2 + AC^2 = BC^2$，即$2AB^2=8^2=64$，解得$AB=4\sqrt{2}\ \mathrm{m}$，即圆锥母线长$l=4\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
2. 求圆锥底面半径：
扇形弧长（即弧BC的长）为：$l_{\mathrm{弧}}=\frac{nπ R}{180}=\frac{90π×4\sqrt{2}}{180}=2\sqrt{2}π\ \mathrm{m}$。
设圆锥底面半径为$r$，
∵圆锥底面周长等于扇形弧长，
∴$2π r=2\sqrt{2}π$，解得$r=\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
3. 求圆锥的高：
圆锥的高$h$、母线长$l$、底面半径$r$满足勾股定理：
$h=\sqrt{l^2 - r^2}=\sqrt{(4\sqrt{2})^2 - (\sqrt{2})^2}=\sqrt{32-2}=\sqrt{30}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\sqrt{30}$
【知识点】
弧长计算，圆锥的相关计算，勾股定理
【点评】
本题属于几何综合类常规题，解题核心是抓住“扇形围成圆锥时，扇形的弧长等于圆锥底面周长”这一关系，结合圆的性质和勾股定理逐步推导即可，要注意区分扇形半径和圆锥底面半径两个不同的量。
【难度系数】
0.6
解题时可按3个步骤思考：①先求扇形的半径（即圆锥的母线长）：由90°圆周角对应的弦是圆的直径，可知BC为原圆形铁皮的直径，结合等腰直角三角形的性质可求出扇形半径AB的长度；②再求圆锥底面半径：利用扇形弧长公式计算出弧BC的长度，该长度等于圆锥底面的周长，据此可求出圆锥底面半径；③最后求圆锥的高：圆锥的母线长、底面半径、高构成直角三角形，结合勾股定理即可计算出圆锥的高。
【解析】
1. 求扇形半径（圆锥母线长）：
连接BC，
∵∠BAC=90°，
∴BC是原圆形铁皮的直径，即$BC=8\ \mathrm{m}$。
在Rt△ABC中，$AB=AC$，由勾股定理得：
$AB^2 + AC^2 = BC^2$，即$2AB^2=8^2=64$，解得$AB=4\sqrt{2}\ \mathrm{m}$，即圆锥母线长$l=4\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
2. 求圆锥底面半径：
扇形弧长（即弧BC的长）为：$l_{\mathrm{弧}}=\frac{nπ R}{180}=\frac{90π×4\sqrt{2}}{180}=2\sqrt{2}π\ \mathrm{m}$。
设圆锥底面半径为$r$，
∵圆锥底面周长等于扇形弧长，
∴$2π r=2\sqrt{2}π$，解得$r=\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
3. 求圆锥的高：
圆锥的高$h$、母线长$l$、底面半径$r$满足勾股定理：
$h=\sqrt{l^2 - r^2}=\sqrt{(4\sqrt{2})^2 - (\sqrt{2})^2}=\sqrt{32-2}=\sqrt{30}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\sqrt{30}$
【知识点】
弧长计算，圆锥的相关计算，勾股定理
【点评】
本题属于几何综合类常规题，解题核心是抓住“扇形围成圆锥时，扇形的弧长等于圆锥底面周长”这一关系，结合圆的性质和勾股定理逐步推导即可，要注意区分扇形半径和圆锥底面半径两个不同的量。
【难度系数】
0.6
5. 已知圆锥的底面半径为 4 cm，母线长为 6 cm，则它的侧面展开图的面积等于________ cm²。
答案：5. $24π$.
解析：
【分析】
解决本题首先需要明确圆锥的侧面展开图是扇形，且扇形的对应参数和圆锥参数存在固定关系：扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。圆锥侧面积有专用计算公式$S=π rl$（$r$为圆锥底面半径，$l$为圆锥母线长），只需将题干给出的已知量代入公式即可算出结果。
【解析】
圆锥的侧面展开图为扇形，其侧面积计算公式为：
$S_{\mathrm{侧}}=π r l$
其中$r$是圆锥底面半径，$l$是圆锥母线长。
将$r=4\mathrm{cm}$，$l=6\mathrm{cm}$代入公式得：
$S_{\mathrm{侧}}=π×4×6=24π (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$24π$
【知识点】
圆锥侧面积计算，扇形面积计算
【点评】
本题是基础类题型，重点考查圆锥与其侧面展开图的参数对应关系，熟练掌握相关公式即可快速得分。
【难度系数】
0.85
解决本题首先需要明确圆锥的侧面展开图是扇形，且扇形的对应参数和圆锥参数存在固定关系：扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。圆锥侧面积有专用计算公式$S=π rl$（$r$为圆锥底面半径，$l$为圆锥母线长），只需将题干给出的已知量代入公式即可算出结果。
【解析】
圆锥的侧面展开图为扇形，其侧面积计算公式为：
$S_{\mathrm{侧}}=π r l$
其中$r$是圆锥底面半径，$l$是圆锥母线长。
将$r=4\mathrm{cm}$，$l=6\mathrm{cm}$代入公式得：
$S_{\mathrm{侧}}=π×4×6=24π (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$24π$
【知识点】
圆锥侧面积计算，扇形面积计算
【点评】
本题是基础类题型，重点考查圆锥与其侧面展开图的参数对应关系，熟练掌握相关公式即可快速得分。
【难度系数】
0.85
问题 如图，圆锥的母线长为4，底面圆半径为1.若一只小虫从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，试求小虫爬行的最短距离.
名师指导
直接求解无法看到小虫爬行的路线，只有将圆锥展开，在展开图上找到两点，利用“两点之间，线段最短”进行求解.
解题示范 （学生在教师指导下，独立完成）
解：
名师指导
直接求解无法看到小虫爬行的路线，只有将圆锥展开，在展开图上找到两点，利用“两点之间，线段最短”进行求解.
解题示范 （学生在教师指导下，独立完成）
解：
答案：解：将圆锥的侧面沿SA展开，得到扇形，设该扇形的圆心角为$ n° $。
圆锥底面圆的周长为 $ 2π × 1 = 2π $，
由扇形弧长等于底面圆周长，结合弧长公式得：
$\frac{nπ × 4}{180} = 2π$
解得 $ n = 90 $，即展开图的扇形圆心角为$ 90° $。
由题意知母线长$ SA=4 $，C是展开图中SA对应边的中点，因此 $ SC = \frac{1}{2} × 4 = 2 $。
根据两点之间线段最短，小虫爬行的最短距离为线段AC的长度。
在$ \mathrm{Rt}△ SAC $中，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{SA^2 + SC^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = 2\sqrt{5}$
答：小虫爬行的最短距离为$ 2\sqrt{5} $。
圆锥底面圆的周长为 $ 2π × 1 = 2π $，
由扇形弧长等于底面圆周长，结合弧长公式得：
$\frac{nπ × 4}{180} = 2π$
解得 $ n = 90 $，即展开图的扇形圆心角为$ 90° $。
由题意知母线长$ SA=4 $，C是展开图中SA对应边的中点，因此 $ SC = \frac{1}{2} × 4 = 2 $。
根据两点之间线段最短，小虫爬行的最短距离为线段AC的长度。
在$ \mathrm{Rt}△ SAC $中，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{SA^2 + SC^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = 2\sqrt{5}$
答：小虫爬行的最短距离为$ 2\sqrt{5} $。
解析：
【分析】
要解决圆锥表面的最短路径问题，需遵循“化曲为直”的思路：首先把圆锥侧面展开为平面图形，利用“两点之间，线段最短”确定最短路径是展开图中两点的连线段。第一步先根据圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长，计算扇形的圆心角；第二步确定点A、点C在展开图中的对应位置，得到对应线段的长度；第三步结合展开图的形状，用勾股定理计算线段长度即可得到最短路径。
【解析】
将圆锥的侧面沿SA展开，得到扇形，设该扇形的圆心角为$ n° $。
圆锥底面圆的周长为 $ 2π × 1 = 2π $，
由于圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长，结合弧长公式可得：
$\frac{nπ × 4}{180} = 2π$
解得 $ n = 90 $，即展开图的扇形圆心角为$ 90° $。
由题意知母线长$ SA=4 $，C是SA的中点，因此展开图中 $ SC = \frac{1}{2} × 4 = 2 $，且$∠ASC=90°$。
根据两点之间线段最短，小虫爬行的最短距离为线段AC的长度。
在$ \mathrm{Rt}△ SAC $中，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{SA^2 + SC^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20}=2\sqrt{5}$
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
圆锥侧面展开图、弧长公式、勾股定理
【点评】
本题是立体图形表面最短路径的典型考题，核心是将曲面转化为平面求解，解题时要准确对应圆锥和展开扇形的元素关系：底面周长对应扇形弧长、母线长对应扇形半径，同时要正确定位两点在展开图中的位置，避免对应关系出错。
【难度系数】
0.6
要解决圆锥表面的最短路径问题，需遵循“化曲为直”的思路：首先把圆锥侧面展开为平面图形，利用“两点之间，线段最短”确定最短路径是展开图中两点的连线段。第一步先根据圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长，计算扇形的圆心角；第二步确定点A、点C在展开图中的对应位置，得到对应线段的长度；第三步结合展开图的形状，用勾股定理计算线段长度即可得到最短路径。
【解析】
将圆锥的侧面沿SA展开，得到扇形，设该扇形的圆心角为$ n° $。
圆锥底面圆的周长为 $ 2π × 1 = 2π $，
由于圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长，结合弧长公式可得：
$\frac{nπ × 4}{180} = 2π$
解得 $ n = 90 $，即展开图的扇形圆心角为$ 90° $。
由题意知母线长$ SA=4 $，C是SA的中点，因此展开图中 $ SC = \frac{1}{2} × 4 = 2 $，且$∠ASC=90°$。
根据两点之间线段最短，小虫爬行的最短距离为线段AC的长度。
在$ \mathrm{Rt}△ SAC $中，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{SA^2 + SC^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20}=2\sqrt{5}$
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
圆锥侧面展开图、弧长公式、勾股定理
【点评】
本题是立体图形表面最短路径的典型考题，核心是将曲面转化为平面求解，解题时要准确对应圆锥和展开扇形的元素关系：底面周长对应扇形弧长、母线长对应扇形半径，同时要正确定位两点在展开图中的位置，避免对应关系出错。
【难度系数】
0.6