【分析】
解题时首先要明确圆与它的内接、外切多边形的周长大小关系：圆的内接多边形的每条边都是圆的弦，弦长小于对应弧长，因此内接多边形的总周长小于圆周长；圆的外切多边形的每条边是圆的切线，每条边的长度大于对应弧长，因此外切多边形的总周长大于圆周长。先根据这个规律确定圆周长的取值范围，再通过平方运算估算各选项的数值，找到落在取值范围内的结果即可。
【解析】
1. 确定圆周长的取值范围
已知⊙O的内接多边形周长为3，外切多边形周长为3.4，根据圆与内接、外切多边形的周长关系可得：
$3 ＜ 圆的周长C ＜ 3.4$
2. 对不等式两边同时平方，方便比较各选项：
$3^2 ＜ C^2 ＜ 3.4^2$，即$9 ＜ C^2 ＜ 11.56$
3. 逐一判断选项：
A选项：$(\sqrt{6})^2=6$，$6＜9$，不符合取值范围；
B选项：$(\sqrt{8})^2=8$，$8＜9$，不符合取值范围；
C选项：$(\sqrt{10})^2=10$，$9＜10＜11.56$，符合取值范围；
D选项：$(\sqrt{17})^2=17$，$17＞11.56$，不符合取值范围。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
正多边形与圆的性质，无理数的估算
【点评】
本题将圆和正多边形的性质与无理数估算结合考查，解题核心是先确定圆周长的取值范围，通过平方运算比较无理数大小可以简化计算，降低出错概率。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题思路如下：1. 求高：利用等边三角形“三线合一”的性质，高将底边平分，再结合勾股定理即可求出高的长度；2. 求面积：直接用三角形面积公式“底×高÷2”，代入底和已求出的高计算即可；3. 求外接圆、内切圆半径：等边三角形的重心、内心、外心重合，且重心将高（中线）分为2:1的两段，较长段为外接圆半径，较短段为内切圆半径，结合已求出的高即可计算两个半径。
【解析】
已知等边三角形边长$a=6\mathrm{cm}$：
1. 求高：等边三角形三线合一，高将底边分为长度相等的两段，每段长$\frac{a}{2}=3\mathrm{cm}$，由勾股定理得高：
$h=\sqrt{a^2-(\frac{a}{2})^2}=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\mathrm{cm}$
2. 求面积：根据三角形面积公式：
$S=\frac{1}{2}× 底× 高=\frac{1}{2}×6×3\sqrt{3}=9\sqrt{3}\mathrm{cm}^2$
3. 求外接圆、内切圆半径：等边三角形的重心、外心、内心重合，重心分高的比例为$2:1$：
外接圆半径为高的$\frac{2}{3}$，即$R=\frac{2}{3}×3\sqrt{3}=2\sqrt{3}\mathrm{cm}$
内切圆半径为高的$\frac{1}{3}$，即$r=\frac{1}{3}×3\sqrt{3}=\sqrt{3}\mathrm{cm}$
【答案】
$3\sqrt{3};9\sqrt{3};2\sqrt{3};\sqrt{3}$
【知识点】
等边三角形性质；勾股定理；正多边形与圆
【点评】
本题属于基础题，核心考查等边三角形特殊性质的应用，解题的关键是熟练掌握等边三角形三线合一、多心重合的特点，结合勾股定理和重心的比例性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7

【分析】
本题考查正多边形的相关概念与性质，解题时需逐个对4个命题进行辨析，结合正多边形的定义、正多边形与圆的关系、轴对称和中心对称图形的概念，通过举反例或者定理推导判断命题的真假。
【解析】
我们对4个命题逐一分析：
1. 分析命题①：各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形。例如圆内接矩形，四个内角均为90°满足各角相等，但矩形邻边不一定相等，不属于正多边形，因此①是假命题。
2. 分析命题②：各边相等的圆内接多边形是正多边形。同圆中相等的弦对应相等的弧，因此该多边形各边对应的弧长相等，进一步可推出各内角也相等，符合正多边形“各边相等、各角相等”的定义，因此②是真命题。
3. 分析命题③：正多边形不一定同时是轴对称图形和中心对称图形。例如正三角形是轴对称图形，但不存在对称中心，不属于中心对称图形，仅边数为偶数的正多边形才同时具备两种对称性，因此③是假命题。
4. 分析命题④：正多边形的中心是其外接圆与内切圆的公共圆心，而任意两边的垂直平分线的交点到所有顶点的距离相等，即为外接圆圆心，也就是正多边形的中心，因此④是真命题。
综上，真命题为②④。
【答案】
②④
【知识点】
正多边形的定义；正多边形与圆；轴对称与中心对称图形
【点评】
本题侧重对基础概念的考查，解题的核心是准确理解正多边形的性质以及它和圆的对应关系，判断假命题时可以通过举常见反例快速验证，要注意区分边数为奇数和偶数的正多边形的对称性差异。
【难度系数】
0.7

【分析】
要绘制指定半径的正九边形，可利用正多边形与外接圆的对应关系思考：正九边形的所有顶点都在半径为1.5cm的外接圆上，且正n边形的中心角都相等，等于$\frac{360°}{n}$。因此解题思路可拆分为三步：首先画出半径为1.5cm的外接圆，其次计算正九边形的中心角，通过绘制等大的圆心角将圆周9等分，最后顺次连接各等分点即可得到所求正九边形。
【解析】
1. 任取一点O为圆心，以1.5 cm为半径作⊙O；
2. 计算正九边形的中心角为$\frac{360°}{9}=40°$；
3. 以点O为顶点，用量角器在⊙O中顺次画出9个度数为40°的圆心角，各角的终边与圆周依次交于9个不同的点；
4. 顺次连接这9个交点，得到的多边形即为半径为1.5 cm的正九边形。
【答案】
1. 任取一点O为圆心，以1.5 cm为半径作⊙O；
2. 计算正九边形的中心角为$\frac{360°}{9}=40°$；
3. 以点O为顶点，用量角器在⊙O中顺次画出9个度数为40°的圆心角，各角的终边与圆周依次交于9个不同的点；
4. 顺次连接这9个交点，得到的多边形即为半径为1.5 cm的正九边形。
【知识点】
正多边形与圆的关系，正多边形中心角计算，正多边形作图
【点评】
本题属于基础作图类题目，核心是利用正多边形与外接圆的对应关系，通过等分圆周得到正多边形，解题关键是准确计算正多边形的中心角，作图时要注意圆心角测量精准，顺次连接各交点，减少作图误差。
【难度系数】
0.85

【分析】
解题时首先要明确轴对称图形、中心对称图形的判定定义，再依次对题干给出的4个图形逐一判断是否同时满足两种对称的性质，最后统计符合要求的图形个数即可。判断正多边形的对称性时，可通过边数的奇偶性快速判断：奇数边的正多边形仅为轴对称图形，偶数边的正多边形同时是轴对称和中心对称图形。
【解析】
先明确两个定义：
①轴对称图形：沿某条直线对折后，直线两侧的部分能完全重合的图形；
②中心对称图形：绕某一点旋转180°后，能和原图形完全重合的图形。
逐个判断图形：
1. 矩形：沿对边中点连线对折可重合，是轴对称图形；绕对角线交点旋转180°后与自身重合，是中心对称图形，符合要求。
2. 圆：沿任意一条直径对折可重合，是轴对称图形；绕圆心旋转180°后与自身重合，是中心对称图形，符合要求。
3. 正二十五边形：属于奇数边正多边形，是轴对称图形，但绕中心旋转180°后顶点无法与原顶点对应重合，不是中心对称图形，不符合要求。
4. 正三十二边形：属于偶数边正多边形，沿对称轴对折可重合，绕中心旋转180°后也能与自身重合，同时满足两种对称性质，符合要求。
综上，符合要求的图形共有3个。
【答案】
C
【知识点】
轴对称图形判定，中心对称图形判定，正多边形的对称性
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是容易混淆奇数边和偶数边正多边形的中心对称性质，只要牢记两类对称图形的判定规则，就能快速准确选出答案。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时先连接OA、OC、OD，利用正多边形中心角公式：正n边形的中心角=360°÷n，分别求出正三角形对应的中心角∠AOC、正十二边形对应的中心角∠AOD，作差得到∠COD的度数，判断△COD的形状，再结合已知CD的长度求解圆的半径。
【解析】
连接OC、OD、OA：
1. 因为△ABC是⊙O的内接正三角形，所以对应的中心角$∠ AOC=\frac{360°}{3}=120°$；
2. 因为AD是⊙O内接正十二边形的一边，所以对应的中心角$∠ AOD=\frac{360°}{12}=30°$；
3. 可得$∠ COD=∠ AOC-∠ AOD=120°-30°=90°$；
4. 又OC、OD均为⊙O的半径，设半径为$R$，则$OC=OD=R$，$△ COD$为等腰直角三角形；
5. 根据勾股定理：$CD=\sqrt{OC^2+OD^2}=\sqrt{R^2+R^2}=R\sqrt{2}$，已知$CD=5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，代入得$R\sqrt{2}=5\sqrt{2}$，解得$R=5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
5
【知识点】
正多边形与圆、圆心角计算、等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是正多边形与圆的典型题型，解题核心是通过正多边形中心角公式求出特殊角，将问题转化为特殊三角形的边长计算，掌握正多边形中心角的计算方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7

【分析】
圆内接正多边形的作图核心是将圆周n等分，每份弧对应的圆心角为$\frac{360°}{n}$，顺次连接n个等分点即可得到对应的正n边形：
1. 作正八边形时，正八边形中心角为$45°$，可先作互相垂直的两条直径将圆4等分（对应每份圆心角$90°$），再平分90°的圆心角即可得到8个$45°$圆心角，实现8等分圆周；
2. 作正六边形时，正六边形中心角为$60°$，同圆中60°圆心角对应的弦长等于圆的半径，因此用半径长在圆周上依次截取即可6等分圆周；作正三角形时，正三角形中心角为$120°$，可在正六边形6等分点的基础上间隔选取3个等分点连接，也可直接通过作120°圆心角实现3等分圆周。
【解析】
3. 作$\odot O$内接正八边形步骤：
① 作$\odot O$的任意一条直径AB；
② 过圆心O作AB的垂线，交$\odot O$于C、D两点，此时A、B、C、D将$\odot O$4等分；
③ 分别作$∠ AOC、∠ COB、∠ BOD、∠ DOA$的角平分线，依次交$\odot O$于E、F、G、H四点，得到$\odot O$的8个等分点；
④ 顺次连接A、E、C、F、B、G、D、H，所得八边形即为$\odot O$的内接正八边形。
4. 尺规作图步骤：
（1）作正六边形：
① 作$\odot O$的任意一条半径OA；
② 以A为圆心，OA长为半径画弧，交$\odot O$于点B；
③ 依次以新得到的交点为圆心，OA长为半径画弧，共得到圆周上6个等分点A、B、C、D、E、F；
④ 顺次连接6个等分点，所得六边形即为$\odot O$的内接正六边形。
（2）作正三角形：
方法一：在上述正六边形的6个等分点中，顺次连接A、C、E（或B、D、F），所得三角形即为$\odot O$的内接正三角形。
方法二：以圆半径为长度，在圆周上依次截取间隔120°圆心角的3个等分点，顺次连接即可得到正三角形。
【答案】
3. 略；4. 略
【知识点】
正多边形与圆的关系，尺规作图，圆心角性质
【点评】
这两道题是正多边形作图的基础题型，核心考察对正多边形中心角、边长与圆半径对应关系的理解，熟练掌握等分圆周的常用方法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7