1. 将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3 cm 的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300 $cm^3$，则原铁皮的边长为 （
A.10 cm
B.13 cm
C.14 cm
D.16 cm
D
）A.10 cm
B.13 cm
C.14 cm
D.16 cm
答案：1. D
解析：
【分析】
这是一道一元二次方程的实际应用问题，解题思路如下：第一步，明确各量的关系：将正方形四角剪去边长为3cm的小正方形折成无盖盒子时，小正方形的边长就是盒子的高，盒子底面仍为正方形，其边长等于原铁皮边长减去2个小正方形的边长（左右、上下各剪去1个3cm的边）；第二步，找等量关系：长方体盒子的容积=底面积×高，已知容积为300cm³，可据此列方程；第三步，解方程并结合边长为正的实际要求筛选根，得到结果。
【解析】
设原正方形铁皮的边长为$ x $ cm。
由题意可知，无盖盒子的高为3 cm，底面正方形的边长为$ (x - 2×3) = (x - 6) $ cm。
根据长方体容积公式$ V = \mathrm{底面积} × \mathrm{高} $，列方程得：
$3(x - 6)^2 = 300$
解方程：
1. 两边同时除以3，得$ (x - 6)^2 = 100 $
2. 开平方得$ x - 6 = \pm 10 $
3. 解得$ x_1 = 16 $，$ x_2 = -4 $
因为铁皮边长不能为负数，故舍去$ x_2 = -4 $，即原铁皮边长为16 cm。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的应用，容积计算，一元二次方程求解
【点评】
本题属于几何类的方程应用基础题，解题的核心是准确找到裁剪后盒子的长宽高与原铁皮边长的对应关系，结合等量关系列方程求解，注意计算结果要符合实际意义，舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
这是一道一元二次方程的实际应用问题，解题思路如下：第一步，明确各量的关系：将正方形四角剪去边长为3cm的小正方形折成无盖盒子时，小正方形的边长就是盒子的高，盒子底面仍为正方形，其边长等于原铁皮边长减去2个小正方形的边长（左右、上下各剪去1个3cm的边）；第二步，找等量关系：长方体盒子的容积=底面积×高，已知容积为300cm³，可据此列方程；第三步，解方程并结合边长为正的实际要求筛选根，得到结果。
【解析】
设原正方形铁皮的边长为$ x $ cm。
由题意可知，无盖盒子的高为3 cm，底面正方形的边长为$ (x - 2×3) = (x - 6) $ cm。
根据长方体容积公式$ V = \mathrm{底面积} × \mathrm{高} $，列方程得：
$3(x - 6)^2 = 300$
解方程：
1. 两边同时除以3，得$ (x - 6)^2 = 100 $
2. 开平方得$ x - 6 = \pm 10 $
3. 解得$ x_1 = 16 $，$ x_2 = -4 $
因为铁皮边长不能为负数，故舍去$ x_2 = -4 $，即原铁皮边长为16 cm。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的应用，容积计算，一元二次方程求解
【点评】
本题属于几何类的方程应用基础题，解题的核心是准确找到裁剪后盒子的长宽高与原铁皮边长的对应关系，结合等量关系列方程求解，注意计算结果要符合实际意义，舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
2. 《九章算术》是我国传统数学中的重要著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架.书中记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意：有一扇形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少？(1丈=10尺，1尺=10寸)利用方程思想，设矩形门宽为x尺，则依题意所列方程为（
A.$x^2+(x+6.8)^2=10^2$
B.$x^2+(x-6.8)^2=10^2$
C.$x(x+6.8)=10^2$
D.$x(x-6.8)=10^2$
A
）A.$x^2+(x+6.8)^2=10^2$
B.$x^2+(x-6.8)^2=10^2$
C.$x(x+6.8)=10^2$
D.$x(x-6.8)=10^2$
答案：2. A
解析：
【分析】
本题是结合古代数学背景的一元二次方程列方程问题，解题思路如下：首先统一题目中的长度单位，再根据“高比宽多6尺8寸”表示出门的高，最后利用矩形中宽、高与对角线构成直角三角形，符合勾股定理的等量关系，即可列出对应的方程。
【解析】
第一步：统一单位，6尺8寸=6.8尺，1丈=10尺。
第二步：表示未知量，设矩形门的宽为x尺，由“高比宽多6尺8寸”可得，门的高为$(x+6.8)$尺。
第三步：根据勾股定理列方程，矩形的宽、高和对角线构成直角三角形，对角线为斜边，因此两条直角边的平方和等于斜边的平方，可列方程：$x^2+(x+6.8)^2=10^2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；一元二次方程的实际应用；矩形的性质
【点评】
本题结合传统数学著作考查方程思想的应用，解题的核心是准确梳理量与量之间的关系，不要混淆高和宽的大小关系，再结合勾股定理找到等量关系即可求解，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.8
本题是结合古代数学背景的一元二次方程列方程问题，解题思路如下：首先统一题目中的长度单位，再根据“高比宽多6尺8寸”表示出门的高，最后利用矩形中宽、高与对角线构成直角三角形，符合勾股定理的等量关系，即可列出对应的方程。
【解析】
第一步：统一单位，6尺8寸=6.8尺，1丈=10尺。
第二步：表示未知量，设矩形门的宽为x尺，由“高比宽多6尺8寸”可得，门的高为$(x+6.8)$尺。
第三步：根据勾股定理列方程，矩形的宽、高和对角线构成直角三角形，对角线为斜边，因此两条直角边的平方和等于斜边的平方，可列方程：$x^2+(x+6.8)^2=10^2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；一元二次方程的实际应用；矩形的性质
【点评】
本题结合传统数学著作考查方程思想的应用，解题的核心是准确梳理量与量之间的关系，不要混淆高和宽的大小关系，再结合勾股定理找到等量关系即可求解，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.8
3. 一块面积为$600\ \mathrm{m}^2$的矩形田地，若长比宽多10 m，则此矩形田地的长为
30
m，宽为20
m.答案：3. 30,20.
解析：
【分析】
本题是结合矩形面积的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：第一步，回忆矩形面积公式为长×宽；第二步，根据“长比宽多10m”的数量关系，设其中一个未知量为x，用含x的式子表示另一个未知量；第三步，结合面积为600m²的等量关系列出一元二次方程；第四步，解方程后结合边长为正数的实际要求舍去不符合题意的根，最终得到长和宽的数值。
【解析】
解：设矩形田地的宽为$x\ \mathrm{m}$，则长为$(x+10)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式可列方程：
$x(x+10)=600$
整理得：$x^2+10x-600=0$
因式分解得：$(x+30)(x-20)=0$
解得：$x_1=20$，$x_2=-30$
因为矩形边长不能为负数，所以$x_2=-30$不符合实际意义，舍去。
则矩形的宽为$20\ \mathrm{m}$，长为$20+10=30\ \mathrm{m}$。
【答案】
30，20
【知识点】
矩形面积计算、一元二次方程的应用、一元二次方程的求解
【点评】
本题属于基础的方程实际应用题，核心是找准题目中的等量关系列方程，求解后要注意验证结果是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.8
本题是结合矩形面积的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：第一步，回忆矩形面积公式为长×宽；第二步，根据“长比宽多10m”的数量关系，设其中一个未知量为x，用含x的式子表示另一个未知量；第三步，结合面积为600m²的等量关系列出一元二次方程；第四步，解方程后结合边长为正数的实际要求舍去不符合题意的根，最终得到长和宽的数值。
【解析】
解：设矩形田地的宽为$x\ \mathrm{m}$，则长为$(x+10)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式可列方程：
$x(x+10)=600$
整理得：$x^2+10x-600=0$
因式分解得：$(x+30)(x-20)=0$
解得：$x_1=20$，$x_2=-30$
因为矩形边长不能为负数，所以$x_2=-30$不符合实际意义，舍去。
则矩形的宽为$20\ \mathrm{m}$，长为$20+10=30\ \mathrm{m}$。
【答案】
30，20
【知识点】
矩形面积计算、一元二次方程的应用、一元二次方程的求解
【点评】
本题属于基础的方程实际应用题，核心是找准题目中的等量关系列方程，求解后要注意验证结果是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.8
4. 一直角三角形的两直角边长之比为5：12，斜边长为26，则此直角三角形的面积为
120
.答案：4. 120.
解析：
【分析】
遇到已知直角边比例和斜边长求面积的问题，首先可利用比例关系设未知数表示两条直角边的长度，再结合直角三角形的勾股定理列出关于未知数的一元二次方程，求解得到未知数的值后算出两直角边的具体长度，最后代入三角形面积公式即可得到结果。
【解析】
解：设该直角三角形的两条直角边长分别为$5x$、$12x$（$x＞0$）。
根据勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可列方程：
$(5x)^2 + (12x)^2 = 26^2$
化简得：$25x^2 + 144x^2 = 676$
合并同类项得：$169x^2 = 676$
解得：$x^2=4$，因为边长为正数，所以取正根$x=2$。
则两条直角边长度分别为$5×2=10$，$12×2=24$。
三角形面积为：$\frac{1}{2}×10×24=120$。
【答案】
120
【知识点】
勾股定理；一元二次方程的应用；三角形面积计算
【点评】
本题是方程思想在几何计算中的基础应用，解题核心是利用边长的比例关系巧设未知数，结合勾股定理建立方程求解，计算量小，解题逻辑清晰，掌握通法即可快速得分。
【难度系数】
0.8
遇到已知直角边比例和斜边长求面积的问题，首先可利用比例关系设未知数表示两条直角边的长度，再结合直角三角形的勾股定理列出关于未知数的一元二次方程，求解得到未知数的值后算出两直角边的具体长度，最后代入三角形面积公式即可得到结果。
【解析】
解：设该直角三角形的两条直角边长分别为$5x$、$12x$（$x＞0$）。
根据勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可列方程：
$(5x)^2 + (12x)^2 = 26^2$
化简得：$25x^2 + 144x^2 = 676$
合并同类项得：$169x^2 = 676$
解得：$x^2=4$，因为边长为正数，所以取正根$x=2$。
则两条直角边长度分别为$5×2=10$，$12×2=24$。
三角形面积为：$\frac{1}{2}×10×24=120$。
【答案】
120
【知识点】
勾股定理；一元二次方程的应用；三角形面积计算
【点评】
本题是方程思想在几何计算中的基础应用，解题核心是利用边长的比例关系巧设未知数，结合勾股定理建立方程求解，计算量小，解题逻辑清晰，掌握通法即可快速得分。
【难度系数】
0.8
问题 如图(1),某小区规划在一个长为40 m,宽为26 m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路,使其中两条与AB平行,另一条与AD平行,其余部分种草,若想使草坪的面积为矩形面积的$\frac{54}{65}$,求小路的宽.
名师指导
解法一:若设小路宽为$x$,则两条平行于AB的小路面积为$2×26x\ \mathrm{m}^2$,另一条与AD平行的小路面积为$40x\ \mathrm{m}^2$,但在$(2×26x+40x)\mathrm{m}^2$中两条小路的交叉处都被计算了两次.因此,小路的实际面积为$(2×26x+40x-2x^2)\mathrm{m}^2$,小路所占面积再加上草坪的面积就等于矩形场地的面积.
解法二:如图(2),可以设想把两条与AB平行的小路靠在CD边上,一条与AD平行的小路靠在BC边上,那么草坪的面积$\frac{54}{65}×40×26\ \mathrm{m}^2$就等于矩形AEFG的面积,而$EF=40-2x$,$AE=26-x$,从而容易列出方程求解.
解题示范 (学生在教师指导下,独立完成)
解法一: 解法二:
名师指导
解法一:若设小路宽为$x$,则两条平行于AB的小路面积为$2×26x\ \mathrm{m}^2$,另一条与AD平行的小路面积为$40x\ \mathrm{m}^2$,但在$(2×26x+40x)\mathrm{m}^2$中两条小路的交叉处都被计算了两次.因此,小路的实际面积为$(2×26x+40x-2x^2)\mathrm{m}^2$,小路所占面积再加上草坪的面积就等于矩形场地的面积.
解法二:如图(2),可以设想把两条与AB平行的小路靠在CD边上,一条与AD平行的小路靠在BC边上,那么草坪的面积$\frac{54}{65}×40×26\ \mathrm{m}^2$就等于矩形AEFG的面积,而$EF=40-2x$,$AE=26-x$,从而容易列出方程求解.
解题示范 (学生在教师指导下,独立完成)
解法一: 解法二:
答案：解：
解法一：
设小路的宽为$ x \, \mathrm{m} $。
矩形场地的总面积为：$ 40 × 26 = 1040 \, \mathrm{m}^2 $
根据题意，小路实际面积 + 草坪面积 = 矩形场地总面积，列方程：
$2 × 26x + 40x - 2x^2 + \frac{54}{65} × 40 × 26 = 40 × 26$
整理得：
$2x^2 - 92x + 176 = 0$
化简为：
$x^2 - 46x + 88 = 0$
因式分解得：
$(x-2)(x-44) = 0$
解得：$ x_1 = 2 $，$ x_2 = 44 $。
因为$ x=44 ＞ 40 $，不符合实际意义，舍去。
---
解法二：
设小路的宽为$ x \, \mathrm{m} $。
将小路平移后，草坪部分可拼接为一个新矩形，其长为$ (40-2x) \, \mathrm{m} $，宽为$ (26-x) \, \mathrm{m} $，根据题意列方程：
$(40-2x)(26-x) = \frac{54}{65} × 40 × 26$
整理得：
$2x^2 - 92x + 176 = 0$
化简为：
$x^2 - 46x + 88 = 0$
解得：$ x_1 = 2 $，$ x_2 = 44 $。
因为$ x=44 ＞ 26 $，不符合实际意义，舍去。
答：小路的宽为$ 2 \, \mathrm{m} $。
解法一：
设小路的宽为$ x \, \mathrm{m} $。
矩形场地的总面积为：$ 40 × 26 = 1040 \, \mathrm{m}^2 $
根据题意，小路实际面积 + 草坪面积 = 矩形场地总面积，列方程：
$2 × 26x + 40x - 2x^2 + \frac{54}{65} × 40 × 26 = 40 × 26$
整理得：
$2x^2 - 92x + 176 = 0$
化简为：
$x^2 - 46x + 88 = 0$
因式分解得：
$(x-2)(x-44) = 0$
解得：$ x_1 = 2 $，$ x_2 = 44 $。
因为$ x=44 ＞ 40 $，不符合实际意义，舍去。
---
解法二：
设小路的宽为$ x \, \mathrm{m} $。
将小路平移后，草坪部分可拼接为一个新矩形，其长为$ (40-2x) \, \mathrm{m} $，宽为$ (26-x) \, \mathrm{m} $，根据题意列方程：
$(40-2x)(26-x) = \frac{54}{65} × 40 × 26$
整理得：
$2x^2 - 92x + 176 = 0$
化简为：
$x^2 - 46x + 88 = 0$
解得：$ x_1 = 2 $，$ x_2 = 44 $。
因为$ x=44 ＞ 26 $，不符合实际意义，舍去。
答：小路的宽为$ 2 \, \mathrm{m} $。
解析：
【分析】
这是利用一元二次方程解决几何面积的实际问题，有两种常见解题思路：
1. 总面积法：先计算矩形场地的总面积，计算小路面积时，注意两条与AB平行的小路和与AD平行的小路交叉的部分被重复计算了2次，需要减去重复的面积，再根据“小路实际面积+草坪面积=矩形场地总面积”列方程求解。
2. 平移拼接法：将三条小路分别平移到矩形场地的边缘，剩余草坪部分可拼接为一个完整的新矩形，直接根据草坪面积等于新矩形面积列方程，该方法无需考虑重叠面积，计算更简便。
求解方程后需要结合场地的实际长宽，检验根的合理性，舍去不符合实际的解。
【解析】
解法一：
设小路的宽为$ x \, \mathrm{m} $。
矩形场地的总面积为：$ 40 × 26 = 1040 \, \mathrm{m}^2 $
根据题意，小路实际面积 + 草坪面积 = 矩形场地总面积，列方程：
$2 × 26x + 40x - 2x^2 + \frac{54}{65} × 40 × 26 = 40 × 26$
整理得：
$2x^2 - 92x + 176 = 0$
化简为：
$x^2 - 46x + 88 = 0$
因式分解得：
$(x-2)(x-44) = 0$
解得：$ x_1 = 2 $，$ x_2 = 44 $。
因为$ x=44 ＞ 40 $，不符合实际意义，舍去。
解法二：
设小路的宽为$ x \, \mathrm{m} $。
将小路平移后，草坪部分可拼接为一个新矩形，其长为$ (40-2x) \, \mathrm{m} $，宽为$ (26-x) \, \mathrm{m} $，根据题意列方程：
$(40-2x)(26-x) = \frac{54}{65} × 40 × 26$
整理得：
$2x^2 - 92x + 176 = 0$
化简为：
$x^2 - 46x + 88 = 0$
解得：$ x_1 = 2 $，$ x_2 = 44 $。
因为$ x=44 ＞ 26 $，不符合实际意义，舍去。
答：小路的宽为$ 2 \, \mathrm{m} $。
【答案】
小路的宽为$\boldsymbol{2\,\mathrm{m}}$
【知识点】
一元二次方程应用；矩形面积计算；实际问题验根
【点评】
本题结合生活中的小区道路规划场景出题，两种解题思路分别从面积和差、平移简化的角度出发，重点考查学生的方程建模能力和对实际问题解的合理性判断能力，其中平移法能有效降低计算复杂度，避免重叠面积计算错误。
【难度系数】
0.7
这是利用一元二次方程解决几何面积的实际问题，有两种常见解题思路：
1. 总面积法：先计算矩形场地的总面积，计算小路面积时，注意两条与AB平行的小路和与AD平行的小路交叉的部分被重复计算了2次，需要减去重复的面积，再根据“小路实际面积+草坪面积=矩形场地总面积”列方程求解。
2. 平移拼接法：将三条小路分别平移到矩形场地的边缘，剩余草坪部分可拼接为一个完整的新矩形，直接根据草坪面积等于新矩形面积列方程，该方法无需考虑重叠面积，计算更简便。
求解方程后需要结合场地的实际长宽，检验根的合理性，舍去不符合实际的解。
【解析】
解法一：
设小路的宽为$ x \, \mathrm{m} $。
矩形场地的总面积为：$ 40 × 26 = 1040 \, \mathrm{m}^2 $
根据题意，小路实际面积 + 草坪面积 = 矩形场地总面积，列方程：
$2 × 26x + 40x - 2x^2 + \frac{54}{65} × 40 × 26 = 40 × 26$
整理得：
$2x^2 - 92x + 176 = 0$
化简为：
$x^2 - 46x + 88 = 0$
因式分解得：
$(x-2)(x-44) = 0$
解得：$ x_1 = 2 $，$ x_2 = 44 $。
因为$ x=44 ＞ 40 $，不符合实际意义，舍去。
解法二：
设小路的宽为$ x \, \mathrm{m} $。
将小路平移后，草坪部分可拼接为一个新矩形，其长为$ (40-2x) \, \mathrm{m} $，宽为$ (26-x) \, \mathrm{m} $，根据题意列方程：
$(40-2x)(26-x) = \frac{54}{65} × 40 × 26$
整理得：
$2x^2 - 92x + 176 = 0$
化简为：
$x^2 - 46x + 88 = 0$
解得：$ x_1 = 2 $，$ x_2 = 44 $。
因为$ x=44 ＞ 26 $，不符合实际意义，舍去。
答：小路的宽为$ 2 \, \mathrm{m} $。
【答案】
小路的宽为$\boldsymbol{2\,\mathrm{m}}$
【知识点】
一元二次方程应用；矩形面积计算；实际问题验根
【点评】
本题结合生活中的小区道路规划场景出题，两种解题思路分别从面积和差、平移简化的角度出发，重点考查学生的方程建模能力和对实际问题解的合理性判断能力，其中平移法能有效降低计算复杂度，避免重叠面积计算错误。
【难度系数】
0.7