21. (8分)某公司销售A、B两种产品，根据市场调研，发现如下信息：
信息1:销售A种产品所获利润$y$(万元)与销售产品$x$(吨)之间存在二次函数关系$y=ax^2+bx$.当$x=1$时，$y=1.4$；当$x=3$时，$y=3.6$.
信息2:销售B种产品所获利润$y$(万元)与销售产品$x$(吨)之间存在正比例函数关系$y=0.3x$.
根据以上信息，解答下列问题：
(1) 求二次函数的解析式；
(2) 该公司准备购进A、B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少？
信息1:销售A种产品所获利润$y$(万元)与销售产品$x$(吨)之间存在二次函数关系$y=ax^2+bx$.当$x=1$时，$y=1.4$；当$x=3$时，$y=3.6$.
信息2:销售B种产品所获利润$y$(万元)与销售产品$x$(吨)之间存在正比例函数关系$y=0.3x$.
根据以上信息，解答下列问题：
(1) 求二次函数的解析式；
(2) 该公司准备购进A、B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少？
答案：21. 解:(1) $\because$ 当$x=1$时,$y=1.4$;当$x=3$时,$y=3.6$,$\therefore \begin{cases}a+b=1.4,\\9a+3b=3.6,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-0.1\\b=1.5,\end{cases}$ 所以二次函数解析式为$y=-0.1x^2+1.5x$.
(2) 设购进A产品$m$吨,购进B产品$(10-m)$吨,销售A、B两种产品获得的利润之和为$W$元,则$W=-0.1m^2+1.5m+0.3(10-m)=-0.1m^2+1.2m+3=-0.1(m-6)^2+6.6$. $\because -0.1＜0$,$\therefore$ 当$m=6$时,$W$有最大值6.6,$\therefore$ 购进A产品6吨,购进B产品4吨时,销售A、B两种产品获得的利润之和最大,最大利润是6.6万元.
(2) 设购进A产品$m$吨,购进B产品$(10-m)$吨,销售A、B两种产品获得的利润之和为$W$元,则$W=-0.1m^2+1.5m+0.3(10-m)=-0.1m^2+1.2m+3=-0.1(m-6)^2+6.6$. $\because -0.1＜0$,$\therefore$ 当$m=6$时,$W$有最大值6.6,$\therefore$ 购进A产品6吨,购进B产品4吨时,销售A、B两种产品获得的利润之和最大,最大利润是6.6万元.
解析：
【分析】
(1) 求二次函数解析式时，题目已给出解析式的形式为$y=ax^2+bx$，且已知两组$x$、$y$的对应值，直接将两组值代入解析式即可得到关于$a$、$b$的二元一次方程组，解方程组求出$a$、$b$的值，就能得到二次函数解析式。
(2) 求解利润最大的方案时，先设购进A产品的质量为$m$吨，根据A、B总质量为10吨，可得B产品质量为$(10-m)$吨。总利润等于销售A产品的利润加销售B产品的利润，分别代入两类产品的利润函数表达式，得到总利润$W$关于$m$的二次函数，再结合二次函数的性质：当二次项系数小于0时，抛物线开口向下，顶点处取得最大值，结合$m$的实际取值范围即可求出最优方案和最大利润。
【解析】
(1) 将$x=1,y=1.4$和$x=3,y=3.6$代入二次函数$y=ax^2+bx$，得：
$\begin{cases}a+b=1.4\\9a+3b=3.6\end{cases}$
将第一个方程乘3得$3a+3b=4.2$，减去第二个方程得$-6a=0.6$，解得$a=-0.1$，代入$a+b=1.4$得$b=1.5$。
(2) 设购进A产品$m$吨，则购进B产品$(10-m)$吨，总利润为$W$万元，根据题意列函数式：
$\begin{aligned}W&=-0.1m^2+1.5m+0.3(10-m)\\&=-0.1m^2+1.2m+3\\&=-0.1(m-6)^2+6.6\end{aligned}$
$\because -0.1＜0$，抛物线开口向下，$\therefore$当$m=6$时，$W$取得最大值$6.6$，此时$10-m=4$，符合实际意义。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-0.1x^2+1.5x}$
(2) 购进A产品6吨、B产品4吨时销售利润之和最大，最大利润为$\boldsymbol{6.6}$万元。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数最值应用，一次函数实际应用
【点评】
本题以实际销售场景为载体，考查函数的实际应用，既需要掌握待定系数法求解函数解析式的基础方法，也需要熟练运用二次函数性质求解最值，解题时要注意自变量的取值需符合实际意义。
【难度系数】
0.7
(1) 求二次函数解析式时，题目已给出解析式的形式为$y=ax^2+bx$，且已知两组$x$、$y$的对应值，直接将两组值代入解析式即可得到关于$a$、$b$的二元一次方程组，解方程组求出$a$、$b$的值，就能得到二次函数解析式。
(2) 求解利润最大的方案时，先设购进A产品的质量为$m$吨，根据A、B总质量为10吨，可得B产品质量为$(10-m)$吨。总利润等于销售A产品的利润加销售B产品的利润，分别代入两类产品的利润函数表达式，得到总利润$W$关于$m$的二次函数，再结合二次函数的性质：当二次项系数小于0时，抛物线开口向下，顶点处取得最大值，结合$m$的实际取值范围即可求出最优方案和最大利润。
【解析】
(1) 将$x=1,y=1.4$和$x=3,y=3.6$代入二次函数$y=ax^2+bx$，得：
$\begin{cases}a+b=1.4\\9a+3b=3.6\end{cases}$
将第一个方程乘3得$3a+3b=4.2$，减去第二个方程得$-6a=0.6$，解得$a=-0.1$，代入$a+b=1.4$得$b=1.5$。
(2) 设购进A产品$m$吨，则购进B产品$(10-m)$吨，总利润为$W$万元，根据题意列函数式：
$\begin{aligned}W&=-0.1m^2+1.5m+0.3(10-m)\\&=-0.1m^2+1.2m+3\\&=-0.1(m-6)^2+6.6\end{aligned}$
$\because -0.1＜0$，抛物线开口向下，$\therefore$当$m=6$时，$W$取得最大值$6.6$，此时$10-m=4$，符合实际意义。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-0.1x^2+1.5x}$
(2) 购进A产品6吨、B产品4吨时销售利润之和最大，最大利润为$\boldsymbol{6.6}$万元。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数最值应用，一次函数实际应用
【点评】
本题以实际销售场景为载体，考查函数的实际应用，既需要掌握待定系数法求解函数解析式的基础方法，也需要熟练运用二次函数性质求解最值，解题时要注意自变量的取值需符合实际意义。
【难度系数】
0.7
22. (10分)【综合与实践】学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动.已知花圃一边靠墙(墙的长度不限),其余部分用总长为60 m的栅栏围成.兴趣小组设计了以下两种方案：
(1) 求方案一中与墙垂直的边的长度；
(2) 要使方案二中花圃的面积最大,与墙平行的边的长度应为多少米？
(1) 求方案一中与墙垂直的边的长度；
(2) 要使方案二中花圃的面积最大,与墙平行的边的长度应为多少米？
答案：22. 解:(1) 设与墙垂直的边的长度为$x\ \mathrm{m}$,则与墙平行的边的长度为$(60-2x)\ \mathrm{m}$,根据题意得$x(60-2x)=450$,解得$x_1=x_2=15$. 答:与墙垂直的边的长度为15 m.
(2) 设与墙平行的边的长度为$t\ \mathrm{m}$,花圃的面积为$S\ \mathrm{m^2}$,根据题意得$S=\dfrac{1}{3}t(66-t)=-\dfrac{1}{3}t^2+22t$,$\therefore S=-\dfrac{1}{3}(t-33)^2+363$. $\because -\dfrac{1}{3}＜0$,$\therefore$ 当$t=33$时,$S$有最大值363. 答:当与墙平行的边的长度为33 m时,花圃的面积最大.
(2) 设与墙平行的边的长度为$t\ \mathrm{m}$,花圃的面积为$S\ \mathrm{m^2}$,根据题意得$S=\dfrac{1}{3}t(66-t)=-\dfrac{1}{3}t^2+22t$,$\therefore S=-\dfrac{1}{3}(t-33)^2+363$. $\because -\dfrac{1}{3}＜0$,$\therefore$ 当$t=33$时,$S$有最大值363. 答:当与墙平行的边的长度为33 m时,花圃的面积最大.
解析：
【分析】
(1) 求解方案一的问题时，先设与墙垂直的边长为未知数，结合栅栏总长度表示出与墙平行的边长，再根据矩形面积公式列一元二次方程，求解后验证解符合实际即可。
(2) 求解方案二的最值问题时，先设与墙平行的边长为t，花圃面积为S。注意两侧各有3m进出口不用栅栏，相当于总可用长度加上两个进出口的长度等于平行边长度加3倍垂直边长度，由此表示出垂直边的长度，再根据面积公式得到S关于t的二次函数，最后利用二次函数的性质求最大值对应的t值即可。
【解析】
(1) 设方案一中与墙垂直的边的长度为$x\ \mathrm{m}$，则与墙平行的边的长度为$(60-2x)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积为$450\ \mathrm{m^2}$，列方程得：
$x(60-2x)=450$
整理得$(x-15)^2=0$，解得$x_1=x_2=15$，符合实际意义。
(2) 设方案二中与墙平行的边的长度为$t\ \mathrm{m}$，花圃的面积为$S\ \mathrm{m^2}$。
两侧各有3m的进出口，因此等效的总栅栏长度为$60+3×2=66\ \mathrm{m}$，垂直于墙的栅栏共有3段，因此每段垂直于墙的边长为$\dfrac{66-t}{3}\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式得：
$S=t×\dfrac{66-t}{3}=-\dfrac{1}{3}t^2+22t$
配方得$S=-\dfrac{1}{3}(t-33)^2+363$
$\because -\dfrac{1}{3}＜0$，二次函数开口向下，
$\therefore$当$t=33$时，$S$取得最大值，符合实际意义。
【答案】
(1) 与墙垂直的边的长度为15 m；
(2) 与墙平行的边的长度应为33 m。
【知识点】
一元二次方程的应用；二次函数最值应用；矩形面积计算
【点评】
本题以实际场景为载体考查方程与函数的应用，解题核心是准确梳理边长和栅栏总长度的数量关系，注意方案二中进出口、分隔栅栏的特殊条件，避免边长表示错误，这类题目能有效锻炼数学建模和实际问题分析能力。
【难度系数】
0.6
(1) 求解方案一的问题时，先设与墙垂直的边长为未知数，结合栅栏总长度表示出与墙平行的边长，再根据矩形面积公式列一元二次方程，求解后验证解符合实际即可。
(2) 求解方案二的最值问题时，先设与墙平行的边长为t，花圃面积为S。注意两侧各有3m进出口不用栅栏，相当于总可用长度加上两个进出口的长度等于平行边长度加3倍垂直边长度，由此表示出垂直边的长度，再根据面积公式得到S关于t的二次函数，最后利用二次函数的性质求最大值对应的t值即可。
【解析】
(1) 设方案一中与墙垂直的边的长度为$x\ \mathrm{m}$，则与墙平行的边的长度为$(60-2x)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积为$450\ \mathrm{m^2}$，列方程得：
$x(60-2x)=450$
整理得$(x-15)^2=0$，解得$x_1=x_2=15$，符合实际意义。
(2) 设方案二中与墙平行的边的长度为$t\ \mathrm{m}$，花圃的面积为$S\ \mathrm{m^2}$。
两侧各有3m的进出口，因此等效的总栅栏长度为$60+3×2=66\ \mathrm{m}$，垂直于墙的栅栏共有3段，因此每段垂直于墙的边长为$\dfrac{66-t}{3}\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式得：
$S=t×\dfrac{66-t}{3}=-\dfrac{1}{3}t^2+22t$
配方得$S=-\dfrac{1}{3}(t-33)^2+363$
$\because -\dfrac{1}{3}＜0$，二次函数开口向下，
$\therefore$当$t=33$时，$S$取得最大值，符合实际意义。
【答案】
(1) 与墙垂直的边的长度为15 m；
(2) 与墙平行的边的长度应为33 m。
【知识点】
一元二次方程的应用；二次函数最值应用；矩形面积计算
【点评】
本题以实际场景为载体考查方程与函数的应用，解题核心是准确梳理边长和栅栏总长度的数量关系，注意方案二中进出口、分隔栅栏的特殊条件，避免边长表示错误，这类题目能有效锻炼数学建模和实际问题分析能力。
【难度系数】
0.6