2. 如图,反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$与一次函数$y=ax+b(a≠0)$的图象相交于点$A(1,3),B(c,-1)$,则$k-a$的值为 （
A.2
B.3
C.4
D.5
A
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案：2. A
解析：
【分析】
解题思路如下：首先，点A在反比例函数图象上，将A点坐标代入反比例函数解析式即可求出k的值；其次，点B也在反比例函数图象上，将B点纵坐标代入已求出的反比例函数解析式，可算出c的值，得到B点完整坐标；随后，因为A、B两点都在一次函数图象上，将两点坐标代入一次函数解析式，联立方程组可求出a的值；最后计算k-a的数值，对应选项即可得到答案。
【解析】
1. 求k的值：
将点A(1,3)代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$3=\frac{k}{1}$，解得$k=3$，因此反比例函数解析式为$y=\frac{3}{x}$。
2. 求点B的横坐标c：
将点B(c,-1)代入$y=\frac{3}{x}$，得：
$-1=\frac{3}{c}$，解得$c=-3$，即B点坐标为$(-3,-1)$。
3. 求a的值：
将A(1,3)、B(-3,-1)代入一次函数$y=ax+b$，得到方程组：
$\begin{cases}a + b = 3 \\-3a + b = -1\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程消去b，得：
$a + b - (-3a + b) = 3 - (-1)$
$4a = 4$，解得$a=1$。
4. 计算$k-a$：
$k-a=3-1=2$。
【答案】
A
【知识点】
待定系数法求解析式；反比例函数的性质；一次函数的性质
【点评】
本题是函数交点类基础题，核心考查“函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式”这一规律，通过多次代入坐标求解参数即可得出结果，解题时注意计算的准确性。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先，点A在反比例函数图象上，将A点坐标代入反比例函数解析式即可求出k的值；其次，点B也在反比例函数图象上，将B点纵坐标代入已求出的反比例函数解析式，可算出c的值，得到B点完整坐标；随后，因为A、B两点都在一次函数图象上，将两点坐标代入一次函数解析式，联立方程组可求出a的值；最后计算k-a的数值，对应选项即可得到答案。
【解析】
1. 求k的值：
将点A(1,3)代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$3=\frac{k}{1}$，解得$k=3$，因此反比例函数解析式为$y=\frac{3}{x}$。
2. 求点B的横坐标c：
将点B(c,-1)代入$y=\frac{3}{x}$，得：
$-1=\frac{3}{c}$，解得$c=-3$，即B点坐标为$(-3,-1)$。
3. 求a的值：
将A(1,3)、B(-3,-1)代入一次函数$y=ax+b$，得到方程组：
$\begin{cases}a + b = 3 \\-3a + b = -1\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程消去b，得：
$a + b - (-3a + b) = 3 - (-1)$
$4a = 4$，解得$a=1$。
4. 计算$k-a$：
$k-a=3-1=2$。
【答案】
A
【知识点】
待定系数法求解析式；反比例函数的性质；一次函数的性质
【点评】
本题是函数交点类基础题，核心考查“函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式”这一规律，通过多次代入坐标求解参数即可得出结果，解题时注意计算的准确性。
【难度系数】
0.7
3. 如图,点A在双曲线$y_1=\frac{2}{x}(x＞0)$上,点B在双曲线$y_2=\frac{k}{x}(x＜0)$上,$AB// x$轴,点C是x轴上一点,连接AC,BC.若$△ ABC$的面积是4,则k的值为(
A.$-6$
B.$-8$
C.$-10$
D.$-12$
A
)A.$-6$
B.$-8$
C.$-10$
D.$-12$
答案：3. A
解析：
【分析】
解题时先利用AB//x轴的性质，可知点A和点B的纵坐标相等，我们可以设两点的纵坐标为h（h＞0），再分别根据两个反比例函数解析式表示出A、B的横坐标，进而得到线段AB的长度；△ABC的高就是A、B的纵坐标h，结合三角形面积公式列方程，即可求出k的值，注意对应双曲线在第二象限，k为负数。
【解析】
设点A、B的纵坐标为h（h＞0）。
∵点A在$y_1=\frac{2}{x}(x＞0)$上，将y=h代入解析式得$x=\frac{2}{h}$，
∴$A(\frac{2}{h},h)$。
∵点B在$y_2=\frac{k}{x}(x＜0)$上，将y=h代入解析式得$x=\frac{k}{h}$，
∴$B(\frac{k}{h},h)$。
∵AB//x轴，B的横坐标为负数，因此AB的长度为两点横坐标之差：$\frac{2}{h}-\frac{k}{h}=\frac{2-k}{h}$。
△ABC中AB边上的高为AB到x轴的距离，即h。
根据三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×底×高$，代入得：
$\frac{1}{2}×\frac{2-k}{h}× h=4$
约去h后化简得$\frac{2-k}{2}=4$，解得$2-k=8$，即$k=-6$。
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质，三角形面积计算，坐标与图形性质
【点评】本题是反比例函数与几何图形的综合题，解题核心是利用平行于x轴的点纵坐标相同的性质简化计算，需要注意结合反比例函数所在象限判断参数的符号。
【难度系数】0.7
解题时先利用AB//x轴的性质，可知点A和点B的纵坐标相等，我们可以设两点的纵坐标为h（h＞0），再分别根据两个反比例函数解析式表示出A、B的横坐标，进而得到线段AB的长度；△ABC的高就是A、B的纵坐标h，结合三角形面积公式列方程，即可求出k的值，注意对应双曲线在第二象限，k为负数。
【解析】
设点A、B的纵坐标为h（h＞0）。
∵点A在$y_1=\frac{2}{x}(x＞0)$上，将y=h代入解析式得$x=\frac{2}{h}$，
∴$A(\frac{2}{h},h)$。
∵点B在$y_2=\frac{k}{x}(x＜0)$上，将y=h代入解析式得$x=\frac{k}{h}$，
∴$B(\frac{k}{h},h)$。
∵AB//x轴，B的横坐标为负数，因此AB的长度为两点横坐标之差：$\frac{2}{h}-\frac{k}{h}=\frac{2-k}{h}$。
△ABC中AB边上的高为AB到x轴的距离，即h。
根据三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×底×高$，代入得：
$\frac{1}{2}×\frac{2-k}{h}× h=4$
约去h后化简得$\frac{2-k}{2}=4$，解得$2-k=8$，即$k=-6$。
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质，三角形面积计算，坐标与图形性质
【点评】本题是反比例函数与几何图形的综合题，解题核心是利用平行于x轴的点纵坐标相同的性质简化计算，需要注意结合反比例函数所在象限判断参数的符号。
【难度系数】0.7
4. 已知反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，其部分对应值如下表：
下列判断不成立的是 （
A.若$a＞b$，则$c＞d$
B.若$a＜b$，则$c＜d$
C.若$b＞c$，则$c＞d$
D.若$a＜c$，则$b＜d$
下列判断不成立的是 （
C
）A.若$a＞b$，则$c＞d$
B.若$a＜b$，则$c＜d$
C.若$b＞c$，则$c＞d$
D.若$a＜c$，则$b＜d$
答案：4. C
解析：
【分析】
解决本题需要结合反比例函数的性质分析：反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，当$k＞0$时，图象在一、三象限，每个象限内$y$随$x$的增大而减小；当$k＜0$时，图象在二、四象限，每个象限内$y$随$x$的增大而增大。先根据选项给出的函数值大小关系判断$k$的符号，再验证后续函数值比较的结论是否成立即可，注意反比例函数的增减性仅在同一象限内适用。
【解析】
已知负半轴自变量$-2＜-1$，正半轴自变量$1＜2$：
选项A：若$a＞b$，说明负半轴$x$增大时$y$减小，可得$k＞0$，此时正半轴$y$随$x$增大而减小，由$1＜2$得$c＞d$，A成立。
选项B：若$a＜b$，说明负半轴$x$增大时$y$增大，可得$k＜0$，此时正半轴$y$随$x$增大而增大，由$1＜2$得$c＜d$，B成立。
选项C：若$b＞c$：若$k＞0$，$b$是第三象限的函数值（负数），$c$是第一象限的函数值（正数），必有$b＜c$，不符合条件，因此$b＞c$时只能$k＜0$，此时正半轴$y$随$x$增大而增大，由$1＜2$得$c＜d$，与选项中$c＞d$矛盾，C不成立。
选项D：若$a＜c$：若$k＜0$，$a$是第二象限的函数值（正数），$c$是第四象限的函数值（负数），必有$a＞c$，不符合条件，因此$a＜c$时只能$k＞0$，此时$b$是第三象限的函数值（负数），$d$是第一象限的函数值（正数），必有$b＜d$，D成立。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的性质，函数值大小比较
【点评】
本题重点考查反比例函数的增减性应用，解题关键是先根据已知的函数值关系确定$k$的符号，再结合增减性判断其余函数值的大小，要注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，跨象限比较时可直接通过函数值的正负判断。
【难度系数】
0.6
解决本题需要结合反比例函数的性质分析：反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，当$k＞0$时，图象在一、三象限，每个象限内$y$随$x$的增大而减小；当$k＜0$时，图象在二、四象限，每个象限内$y$随$x$的增大而增大。先根据选项给出的函数值大小关系判断$k$的符号，再验证后续函数值比较的结论是否成立即可，注意反比例函数的增减性仅在同一象限内适用。
【解析】
已知负半轴自变量$-2＜-1$，正半轴自变量$1＜2$：
选项A：若$a＞b$，说明负半轴$x$增大时$y$减小，可得$k＞0$，此时正半轴$y$随$x$增大而减小，由$1＜2$得$c＞d$，A成立。
选项B：若$a＜b$，说明负半轴$x$增大时$y$增大，可得$k＜0$，此时正半轴$y$随$x$增大而增大，由$1＜2$得$c＜d$，B成立。
选项C：若$b＞c$：若$k＞0$，$b$是第三象限的函数值（负数），$c$是第一象限的函数值（正数），必有$b＜c$，不符合条件，因此$b＞c$时只能$k＜0$，此时正半轴$y$随$x$增大而增大，由$1＜2$得$c＜d$，与选项中$c＞d$矛盾，C不成立。
选项D：若$a＜c$：若$k＜0$，$a$是第二象限的函数值（正数），$c$是第四象限的函数值（负数），必有$a＞c$，不符合条件，因此$a＜c$时只能$k＞0$，此时$b$是第三象限的函数值（负数），$d$是第一象限的函数值（正数），必有$b＜d$，D成立。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的性质，函数值大小比较
【点评】
本题重点考查反比例函数的增减性应用，解题关键是先根据已知的函数值关系确定$k$的符号，再结合增减性判断其余函数值的大小，要注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，跨象限比较时可直接通过函数值的正负判断。
【难度系数】
0.6
5. 如图,反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象经过点A(2,1),若 $ y ≤ 1 $,则x的取值范围是
（
A.$ x ≥ 1 $
B.$ x ≥ 2 $
C.$ x ＜ 0 $ 或 $ x ≥ 2 $
D.$ x ＜ 0 $ 或 $ 0 ＜ x ≤ 2 $
（
C
）A.$ x ≥ 1 $
B.$ x ≥ 2 $
C.$ x ＜ 0 $ 或 $ x ≥ 2 $
D.$ x ＜ 0 $ 或 $ 0 ＜ x ≤ 2 $
答案：5. C
解析：
【分析】
解题时先利用已知点确定反比例函数的k值，明确函数图象所在象限及增减性；再求解y≤1时x的范围，注意反比例函数自变量x不能为0，要分x＜0和x＞0两种情况讨论：x＜0时第三象限的函数值都小于1，直接满足条件；x＞0时结合第一象限函数的增减性，找到y=1对应的x值，即可得到x的取值范围，最后合并两种情况的结果。
【解析】
1. 求反比例函数解析式
将点A(2,1)代入$y=\frac{k}{x}$，得$1=\frac{k}{2}$，解得$k=2$，因此反比例函数解析式为$y=\frac{2}{x}$。
2. 分析函数性质
因为$k=2＞0$，所以该反比例函数的图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小。
3. 分情况求解y≤1对应的x范围
① 当$x＜0$时，图象位于第三象限，此时所有对应的y值均为负数，满足$y≤1$，故$x＜0$符合要求；
② 当$x＞0$时，图象位于第一象限，要满足$y≤1$，即$\frac{2}{x}≤1$，由于x＞0，不等式两边同乘x不等号方向不变，得$2≤x$，即$x≥2$。
综上，x的取值范围是$x＜0$ 或 $x ≥ 2$。
【答案】
C
【知识点】
1. 反比例函数的图象与性质
2. 反比例函数与不等式
【点评】
本题考查结合反比例函数图象解不等式，解题时要注意分象限讨论，不要遗漏x为负数的情况，借助图象分析解集更直观不易出错。
【难度系数】
0.7
解题时先利用已知点确定反比例函数的k值，明确函数图象所在象限及增减性；再求解y≤1时x的范围，注意反比例函数自变量x不能为0，要分x＜0和x＞0两种情况讨论：x＜0时第三象限的函数值都小于1，直接满足条件；x＞0时结合第一象限函数的增减性，找到y=1对应的x值，即可得到x的取值范围，最后合并两种情况的结果。
【解析】
1. 求反比例函数解析式
将点A(2,1)代入$y=\frac{k}{x}$，得$1=\frac{k}{2}$，解得$k=2$，因此反比例函数解析式为$y=\frac{2}{x}$。
2. 分析函数性质
因为$k=2＞0$，所以该反比例函数的图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小。
3. 分情况求解y≤1对应的x范围
① 当$x＜0$时，图象位于第三象限，此时所有对应的y值均为负数，满足$y≤1$，故$x＜0$符合要求；
② 当$x＞0$时，图象位于第一象限，要满足$y≤1$，即$\frac{2}{x}≤1$，由于x＞0，不等式两边同乘x不等号方向不变，得$2≤x$，即$x≥2$。
综上，x的取值范围是$x＜0$ 或 $x ≥ 2$。
【答案】
C
【知识点】
1. 反比例函数的图象与性质
2. 反比例函数与不等式
【点评】
本题考查结合反比例函数图象解不等式，解题时要注意分象限讨论，不要遗漏x为负数的情况，借助图象分析解集更直观不易出错。
【难度系数】
0.7
6. 已知$A(m+2,2)$和$B(3,\dfrac{m}{3})$是同一个反比例函数图象上的两个点.
(1) 求$m$的值；
(2) 画出这个反比例函数的图象；
(3) 求$△ AOB$的面积.
(1) 求$m$的值；
(2) 画出这个反比例函数的图象；
(3) 求$△ AOB$的面积.
答案：6. (1) $-4$;(2) 略;(3) $\dfrac{5}{3}$
解析：
【分析】
(1) 第一问根据反比例函数的核心性质：反比例函数图象上任意一点的横、纵坐标乘积等于常数k（k≠0），将A、B两点坐标代入xy=k，即可得到关于m的一元一次方程，解方程就能求出m的值；
(2) 第二问先代入m的值求出k，得到反比例函数的解析式，再按照“列表、描点、连线”的步骤画出位于第二、四象限的双曲线即可；
(3) 第三问先确定A、B两点的具体坐标，通过求直线AB与y轴的交点，将△AOB分割为两个以该交点到原点的线段为公共底的三角形，分别计算两个三角形的面积再相加，即可得到△AOB的面积。
【解析】
(1) 设该反比例函数的解析式为$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$。
∵点$A(m+2,2)$和$B(3,\dfrac{m}{3})$都在该反比例函数图象上
∴$k=(m+2)×2=3×\dfrac{m}{3}$
化简得：$2m + 4 = m$
解得：$m=-4$
(2) 把$m=-4$代入，得$k=(-4+2)×2=-4$，即反比例函数解析式为$y=-\dfrac{4}{x}$。
画图步骤：①列表：选取若干x的正负非零值，计算对应y值；②描点：在平面直角坐标系中描出对应的点；③连线：用平滑曲线分别连接第二象限、第四象限的点，得到双曲线的两支（图象不与坐标轴相交）。
(3) 由$m=-4$可得：$A(-2,2)$，$B(3,-\dfrac{4}{3})$。
设直线AB的解析式为$y=ax+b(a≠0)$，将A、B两点坐标代入得：
$\begin{cases}2=-2a+b\\-\dfrac{4}{3}=3a+b\end{cases}$
两式相减得：$2+\dfrac{4}{3}=-5a$，解得$a=-\dfrac{2}{3}$
将$a=-\dfrac{2}{3}$代入$2=-2a+b$，解得$b=\dfrac{2}{3}$
∴直线AB与y轴的交点为$C(0,\dfrac{2}{3})$，即$OC=\dfrac{2}{3}$
∴$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=\dfrac{1}{2}× OC× |x_A| + \dfrac{1}{2}× OC× |x_B|$
$=\dfrac{1}{2}×\dfrac{2}{3}×2 + \dfrac{1}{2}×\dfrac{2}{3}×3=\dfrac{2}{3}+1=\dfrac{5}{3}$
【答案】
(1) $-4$；(2) 略；(3) $\dfrac{5}{3}$
【知识点】
反比例函数的性质，待定系数法求解析式，割补法求面积
【点评】
本题是反比例函数的基础综合题，核心考查反比例函数图象上点的坐标特征，求解不规则三角形面积时采用割补法转化为规则图形面积的和差，是此类问题的常用解题技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问根据反比例函数的核心性质：反比例函数图象上任意一点的横、纵坐标乘积等于常数k（k≠0），将A、B两点坐标代入xy=k，即可得到关于m的一元一次方程，解方程就能求出m的值；
(2) 第二问先代入m的值求出k，得到反比例函数的解析式，再按照“列表、描点、连线”的步骤画出位于第二、四象限的双曲线即可；
(3) 第三问先确定A、B两点的具体坐标，通过求直线AB与y轴的交点，将△AOB分割为两个以该交点到原点的线段为公共底的三角形，分别计算两个三角形的面积再相加，即可得到△AOB的面积。
【解析】
(1) 设该反比例函数的解析式为$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$。
∵点$A(m+2,2)$和$B(3,\dfrac{m}{3})$都在该反比例函数图象上
∴$k=(m+2)×2=3×\dfrac{m}{3}$
化简得：$2m + 4 = m$
解得：$m=-4$
(2) 把$m=-4$代入，得$k=(-4+2)×2=-4$，即反比例函数解析式为$y=-\dfrac{4}{x}$。
画图步骤：①列表：选取若干x的正负非零值，计算对应y值；②描点：在平面直角坐标系中描出对应的点；③连线：用平滑曲线分别连接第二象限、第四象限的点，得到双曲线的两支（图象不与坐标轴相交）。
(3) 由$m=-4$可得：$A(-2,2)$，$B(3,-\dfrac{4}{3})$。
设直线AB的解析式为$y=ax+b(a≠0)$，将A、B两点坐标代入得：
$\begin{cases}2=-2a+b\\-\dfrac{4}{3}=3a+b\end{cases}$
两式相减得：$2+\dfrac{4}{3}=-5a$，解得$a=-\dfrac{2}{3}$
将$a=-\dfrac{2}{3}$代入$2=-2a+b$，解得$b=\dfrac{2}{3}$
∴直线AB与y轴的交点为$C(0,\dfrac{2}{3})$，即$OC=\dfrac{2}{3}$
∴$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=\dfrac{1}{2}× OC× |x_A| + \dfrac{1}{2}× OC× |x_B|$
$=\dfrac{1}{2}×\dfrac{2}{3}×2 + \dfrac{1}{2}×\dfrac{2}{3}×3=\dfrac{2}{3}+1=\dfrac{5}{3}$
【答案】
(1) $-4$；(2) 略；(3) $\dfrac{5}{3}$
【知识点】
反比例函数的性质，待定系数法求解析式，割补法求面积
【点评】
本题是反比例函数的基础综合题，核心考查反比例函数图象上点的坐标特征，求解不规则三角形面积时采用割补法转化为规则图形面积的和差，是此类问题的常用解题技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7