14. 已知$P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)$两点都在反比例函数$y=\dfrac{k^2+1}{x}$的图象上，且$x_1＜x_2＜0$，则$y_1\_\_\_\_\_\_y_2$（填“＞”或“＜”）
答案：14. ＞
解析：
【分析】
解题时首先判断反比例函数比例系数的正负，根据平方的非负性可知$k^2+1$恒大于0，由此可确定该反比例函数的图象所在象限及增减性；再结合已知$x_1＜x_2＜0$，可知两点均在第三象限，属于同一单调区间，最后利用反比例函数的增减性即可比较$y_1$和$y_2$的大小。
【解析】
解：
∵ 对任意实数$k$，都有$k^2≥0$，
∴ $k^2+1≥1＞0$，
∴ 反比例函数$y=\dfrac{k^2+1}{x}$的图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
又
∵ $x_1＜x_2＜0$，
∴ 点$P_1$、$P_2$都位于第三象限的函数图象上，且$x$从$x_1$到$x_2$逐渐增大，
∴ 根据增减性可得$y_1＞y_2$。
【答案】
＞
【知识点】
反比例函数的性质；平方的非负性
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题核心是先确定比例系数的符号，再结合自变量的取值范围判断函数增减性，需注意反比例函数的增减性仅在同一个象限内成立，是此类题的常见易错点。
【难度系数】
0.8
解题时首先判断反比例函数比例系数的正负，根据平方的非负性可知$k^2+1$恒大于0，由此可确定该反比例函数的图象所在象限及增减性；再结合已知$x_1＜x_2＜0$，可知两点均在第三象限，属于同一单调区间，最后利用反比例函数的增减性即可比较$y_1$和$y_2$的大小。
【解析】
解：
∵ 对任意实数$k$，都有$k^2≥0$，
∴ $k^2+1≥1＞0$，
∴ 反比例函数$y=\dfrac{k^2+1}{x}$的图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
又
∵ $x_1＜x_2＜0$，
∴ 点$P_1$、$P_2$都位于第三象限的函数图象上，且$x$从$x_1$到$x_2$逐渐增大，
∴ 根据增减性可得$y_1＞y_2$。
【答案】
＞
【知识点】
反比例函数的性质；平方的非负性
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题核心是先确定比例系数的符号，再结合自变量的取值范围判断函数增减性，需注意反比例函数的增减性仅在同一个象限内成立，是此类题的常见易错点。
【难度系数】
0.8
15. 如图,过$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上点A,分别作x轴,y轴的平行线交$y=-\frac{1}{x}$的图象于B,D两点,以AB,AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形,面积分别记为$S_1,S_2,S_3,S_4$,若$S_2+S_3+S_4=\frac{5}{2}$,则k的值为
2
.答案：15. 2
解析：
【分析】
本题可利用反比例函数的几何意义求解：首先设出第一象限反比例函数上点A的坐标，根据AB平行x轴、AD平行y轴的特征，求出点B、D的坐标，再根据坐标分别计算出四个小矩形中S₂、S₃、S₄的面积表达式，最后结合已知的面积和列方程即可求出k的值，注意k的取值为正。
【解析】
设点A的坐标为$(a,\frac{k}{a})$（$a＞0$，$k＞0$）。
1. 求点B坐标：
因为AB平行于x轴，所以点B的纵坐标与A相同，为$\frac{k}{a}$，将$y=\frac{k}{a}$代入$y=-\frac{1}{x}$，得$\frac{k}{a}=-\frac{1}{x}$，解得$x=-\frac{a}{k}$，即$B(-\frac{a}{k},\frac{k}{a})$。
2. 求点D坐标：
因为AD平行于y轴，所以点D的横坐标与A相同，为$a$，将$x=a$代入$y=-\frac{1}{x}$，得$y=-\frac{1}{a}$，即$D(a,-\frac{1}{a})$。
3. 计算各小矩形面积：
$S_2=\left|-\frac{a}{k}\right|×\frac{k}{a}=1$，$S_4=a×\left|-\frac{1}{a}\right|=1$，$S_3=\left|-\frac{a}{k}\right|×\left|-\frac{1}{a}\right|=\frac{1}{k}$。
4. 列方程求解：
已知$S_2+S_3+S_4=\frac{5}{2}$，代入得$1+\frac{1}{k}+1=\frac{5}{2}$，解得$\frac{1}{k}=\frac{1}{2}$，即$k=2$，经检验$k=2$符合题意。
【答案】
2
【知识点】
1. 反比例函数k的几何意义
2. 反比例函数的坐标特征
3. 矩形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与几何结合的常见题型，解题核心是利用反比例函数图象上点的坐标特征表示出各部分面积，再结合已知条件建立方程，考查学生对数形结合思想的应用能力。
【难度系数】
0.6
本题可利用反比例函数的几何意义求解：首先设出第一象限反比例函数上点A的坐标，根据AB平行x轴、AD平行y轴的特征，求出点B、D的坐标，再根据坐标分别计算出四个小矩形中S₂、S₃、S₄的面积表达式，最后结合已知的面积和列方程即可求出k的值，注意k的取值为正。
【解析】
设点A的坐标为$(a,\frac{k}{a})$（$a＞0$，$k＞0$）。
1. 求点B坐标：
因为AB平行于x轴，所以点B的纵坐标与A相同，为$\frac{k}{a}$，将$y=\frac{k}{a}$代入$y=-\frac{1}{x}$，得$\frac{k}{a}=-\frac{1}{x}$，解得$x=-\frac{a}{k}$，即$B(-\frac{a}{k},\frac{k}{a})$。
2. 求点D坐标：
因为AD平行于y轴，所以点D的横坐标与A相同，为$a$，将$x=a$代入$y=-\frac{1}{x}$，得$y=-\frac{1}{a}$，即$D(a,-\frac{1}{a})$。
3. 计算各小矩形面积：
$S_2=\left|-\frac{a}{k}\right|×\frac{k}{a}=1$，$S_4=a×\left|-\frac{1}{a}\right|=1$，$S_3=\left|-\frac{a}{k}\right|×\left|-\frac{1}{a}\right|=\frac{1}{k}$。
4. 列方程求解：
已知$S_2+S_3+S_4=\frac{5}{2}$，代入得$1+\frac{1}{k}+1=\frac{5}{2}$，解得$\frac{1}{k}=\frac{1}{2}$，即$k=2$，经检验$k=2$符合题意。
【答案】
2
【知识点】
1. 反比例函数k的几何意义
2. 反比例函数的坐标特征
3. 矩形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与几何结合的常见题型，解题核心是利用反比例函数图象上点的坐标特征表示出各部分面积，再结合已知条件建立方程，考查学生对数形结合思想的应用能力。
【难度系数】
0.6
16. 在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板ABC摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边AC，BC分别落在x轴负半轴、y轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度后，小明发现A，B两点恰好都落在函数$y=\frac{6}{x}$的图象上，则a的值为
2或3
。答案：16. 2或3
解析：
【分析】
首先根据等腰直角三角板的边长和摆放位置确定平移前A、B两点的坐标；再按照“向右平移横坐标加a，向下平移纵坐标减a”的平移规则，写出平移后A、B两点的坐标；最后利用反比例函数图象上点的横、纵坐标乘积等于比例系数6，列出关于a的一元二次方程，解方程后检验解的合理性即可得到a的值。
【解析】
∵等腰直角三角板ABC的直角边长为5，直角顶点C与原点O重合，AC落在x轴负半轴，BC落在y轴正半轴，
∴平移前A点坐标为$(-5, 0)$，B点坐标为$(0, 5)$。
根据平移规则可得平移后：
A点坐标为$(-5+a, 0-a)=(a-5, -a)$，
B点坐标为$(0+a, 5-a)=(a, 5-a)$。
∵平移后A、B都在$y=\frac{6}{x}$的图象上，
∴将B点坐标代入解析式得：$a(5-a)=6$，
整理得：$a^2-5a+6=0$，
因式分解得：$(a-2)(a-3)=0$，
解得$a=2$或$a=3$。
检验：当$a=2$时，平移后A点坐标为$(-3,-2)$，$(-3)×(-2)=6$，符合题意；当$a=3$时，平移后A点坐标为$(-2,-3)$，$(-2)×(-3)=6$，符合题意，两个解均成立。
【答案】
2或3
【知识点】
反比例函数的性质；坐标平移规律；一元二次方程的解法
【点评】
本题是反比例函数与平移、方程结合的基础综合题，解题关键是准确写出平移后点的坐标，结合反比例函数图象上点的特征建立方程求解，是反比例函数章节的典型考法。
【难度系数】
0.7
首先根据等腰直角三角板的边长和摆放位置确定平移前A、B两点的坐标；再按照“向右平移横坐标加a，向下平移纵坐标减a”的平移规则，写出平移后A、B两点的坐标；最后利用反比例函数图象上点的横、纵坐标乘积等于比例系数6，列出关于a的一元二次方程，解方程后检验解的合理性即可得到a的值。
【解析】
∵等腰直角三角板ABC的直角边长为5，直角顶点C与原点O重合，AC落在x轴负半轴，BC落在y轴正半轴，
∴平移前A点坐标为$(-5, 0)$，B点坐标为$(0, 5)$。
根据平移规则可得平移后：
A点坐标为$(-5+a, 0-a)=(a-5, -a)$，
B点坐标为$(0+a, 5-a)=(a, 5-a)$。
∵平移后A、B都在$y=\frac{6}{x}$的图象上，
∴将B点坐标代入解析式得：$a(5-a)=6$，
整理得：$a^2-5a+6=0$，
因式分解得：$(a-2)(a-3)=0$，
解得$a=2$或$a=3$。
检验：当$a=2$时，平移后A点坐标为$(-3,-2)$，$(-3)×(-2)=6$，符合题意；当$a=3$时，平移后A点坐标为$(-2,-3)$，$(-2)×(-3)=6$，符合题意，两个解均成立。
【答案】
2或3
【知识点】
反比例函数的性质；坐标平移规律；一元二次方程的解法
【点评】
本题是反比例函数与平移、方程结合的基础综合题，解题关键是准确写出平移后点的坐标，结合反比例函数图象上点的特征建立方程求解，是反比例函数章节的典型考法。
【难度系数】
0.7
三、解答题(共6小题,共52分)
17. (8分)已知二氧化碳的密度$\rho(\mathrm{kg}/\mathrm{m}^3)$与体积$V(\mathrm{m}^3)$的函数关系式是$\rho=\dfrac{9.9}{V}$.
(1) 求当$V=5\ \mathrm{m}^3$时二氧化碳的密度$\rho$;
(2) 请写出二氧化碳的密度$\rho$随$V$的增大(或减小)而变化的情况.
17. (8分)已知二氧化碳的密度$\rho(\mathrm{kg}/\mathrm{m}^3)$与体积$V(\mathrm{m}^3)$的函数关系式是$\rho=\dfrac{9.9}{V}$.
(1) 求当$V=5\ \mathrm{m}^3$时二氧化碳的密度$\rho$;
(2) 请写出二氧化碳的密度$\rho$随$V$的增大(或减小)而变化的情况.
答案：17. 解:(1) 当 $V=5\ \mathrm{m}^3$ 时, $\rho=\frac{9.9}{5}=1.98\ \mathrm{kg/m}^3$.(2) 密度 $\rho$ 随体积 $V$ 的增大而减小.
解析：
【分析】
这道题是反比例函数在实际场景中的基础应用题，解题思路明确：（1）第一问属于已知自变量的值求对应函数值的问题，直接将给定的V值代入题干给出的函数解析式，通过简单计算就能得到对应的密度ρ；（2）第二问考查反比例函数的增减性，首先明确该反比例函数的比例系数k=9.9＞0，且体积V作为实际物理量取值恒为正，结合反比例函数的性质即可判断ρ随V的变化规律。
【解析】
（1）将$V=5\ \mathrm{m}^3$代入函数关系式$\rho=\dfrac{9.9}{V}$，可得：
$\rho=\dfrac{9.9}{5}=1.98\ \mathrm{kg/m}^3$
（2）在函数$\rho=\dfrac{9.9}{V}$中，比例系数$k=9.9＞0$，且体积$V$的取值范围是$V＞0$，根据反比例函数的性质可知：二氧化碳的密度$\rho$随体积$V$的增大而减小。
【答案】
（1）$\boldsymbol{1.98\ \mathrm{kg/m}^3}$；（2）$\boldsymbol{\rho}$随$\boldsymbol{V}$的增大而减小
【知识点】
反比例函数的应用、反比例函数的性质、代入求值
【点评】
本题是反比例函数的基础考查题，侧重对基础知识的应用，只要掌握反比例函数的基本性质，结合实际量的取值范围分析，就能轻松完成解答。
【难度系数】
0.9
这道题是反比例函数在实际场景中的基础应用题，解题思路明确：（1）第一问属于已知自变量的值求对应函数值的问题，直接将给定的V值代入题干给出的函数解析式，通过简单计算就能得到对应的密度ρ；（2）第二问考查反比例函数的增减性，首先明确该反比例函数的比例系数k=9.9＞0，且体积V作为实际物理量取值恒为正，结合反比例函数的性质即可判断ρ随V的变化规律。
【解析】
（1）将$V=5\ \mathrm{m}^3$代入函数关系式$\rho=\dfrac{9.9}{V}$，可得：
$\rho=\dfrac{9.9}{5}=1.98\ \mathrm{kg/m}^3$
（2）在函数$\rho=\dfrac{9.9}{V}$中，比例系数$k=9.9＞0$，且体积$V$的取值范围是$V＞0$，根据反比例函数的性质可知：二氧化碳的密度$\rho$随体积$V$的增大而减小。
【答案】
（1）$\boldsymbol{1.98\ \mathrm{kg/m}^3}$；（2）$\boldsymbol{\rho}$随$\boldsymbol{V}$的增大而减小
【知识点】
反比例函数的应用、反比例函数的性质、代入求值
【点评】
本题是反比例函数的基础考查题，侧重对基础知识的应用，只要掌握反比例函数的基本性质，结合实际量的取值范围分析，就能轻松完成解答。
【难度系数】
0.9
18. (8分)已知反比例函数$y=\frac{k}{x}$(k为常数，k≠0)的图象经过点A(2,3).
(1) 判断点B(-1,6),C(3,2)是否在这个函数的图象上,并说明理由;
(2) 当$-3＜x＜-1$时,求y的取值范围.
(1) 判断点B(-1,6),C(3,2)是否在这个函数的图象上,并说明理由;
(2) 当$-3＜x＜-1$时,求y的取值范围.
答案：18. 解:(1) $\because$ 反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ ($k$ 为常数,$k≠0$)的图象经过点 $A(2,3)$,$\therefore$ 把点 $A$ 的坐标代入解析式,得 $3=\frac{k}{2}$,解得 $k=6$,$\therefore$ 这个函数的解析式为 $y=\frac{6}{x}$.$\because$ 反比例函数解析式为 $y=\frac{6}{x}$,$\therefore 6=xy$. 分别把点 $B,C$ 的坐标代入,得 $(-1)×6=-6≠6$,则点 $B$ 不在该函数图象上;$3×2=6$,则点 $C$ 在该函数图象上.(2) $\because$ 当 $x=-3$ 时,$y=-2$;当 $x=-1$ 时,$y=-6$.又 $\because k＞0$,$\therefore$ 当 $x＜0$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而减小,$\therefore$ 当 $-3＜x＜-1$ 时,$-6＜y＜-2$.
解析：
【分析】
解题思路如下：
1. 第(1)问解题逻辑：要判断点是否在反比例函数图象上，首先需要确定该函数的解析式。已知函数图象经过点A(2,3)，可将A点坐标代入反比例函数一般式$y=\frac{k}{x}$，求出k值，得到具体的函数解析式。判断点是否在图象上的依据是：若点的横、纵坐标满足函数解析式（即横、纵坐标的乘积等于k），则点在图象上，反之不在。将B、C两点坐标分别代入验证即可得出结论。
2. 第(2)问解题逻辑：要求x在区间$-3＜x＜-1$内的y的取值范围，首先计算区间两个端点对应的y值，再结合反比例函数的增减性判断y的变化趋势：本题中k=6＞0，当x＜0时，函数图象在第三象限，y随x的增大而减小，据此即可推导出y的取值范围。
【解析】
(1) $\because$ 反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ ($k$ 为常数,$k≠0$)的图象经过点 $A(2,3)$，$\therefore$ 把点 $A$ 的坐标代入解析式，得 $3=\frac{k}{2}$，解得 $k=6$，$\therefore$ 这个函数的解析式为 $y=\frac{6}{x}$。
$\because$ 反比例函数解析式为 $y=\frac{6}{x}$，$\therefore xy=6$。分别把点 $B,C$ 的坐标代入，得 $(-1)×6=-6≠6$，则点 $B$ 不在该函数图象上；$3×2=6$，则点 $C$ 在该函数图象上。
(2) $\because$ 当 $x=-3$ 时，$y=\frac{6}{-3}=-2$；当 $x=-1$ 时，$y=\frac{6}{-1}=-6$。
又 $\because k=6＞0$，$\therefore$ 当 $x＜0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小，$\therefore$ 当 $-3＜x＜-1$ 时，$-6＜y＜-2$。
【答案】
(1) 点B不在这个函数的图象上，点C在这个函数的图象上；
(2) 当$-3＜x＜-1$时，$y$的取值范围是$-6＜y＜-2$。
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数点的坐标特征；反比例函数的增减性
【点评】
本题属于反比例函数基础考查题，解题核心是掌握待定系数法求解析式的方法，以及反比例函数增减性的适用条件，注意讨论增减性时需限定在同一象限内，避免直接跨象限判断取值范围出错。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：
1. 第(1)问解题逻辑：要判断点是否在反比例函数图象上，首先需要确定该函数的解析式。已知函数图象经过点A(2,3)，可将A点坐标代入反比例函数一般式$y=\frac{k}{x}$，求出k值，得到具体的函数解析式。判断点是否在图象上的依据是：若点的横、纵坐标满足函数解析式（即横、纵坐标的乘积等于k），则点在图象上，反之不在。将B、C两点坐标分别代入验证即可得出结论。
2. 第(2)问解题逻辑：要求x在区间$-3＜x＜-1$内的y的取值范围，首先计算区间两个端点对应的y值，再结合反比例函数的增减性判断y的变化趋势：本题中k=6＞0，当x＜0时，函数图象在第三象限，y随x的增大而减小，据此即可推导出y的取值范围。
【解析】
(1) $\because$ 反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ ($k$ 为常数,$k≠0$)的图象经过点 $A(2,3)$，$\therefore$ 把点 $A$ 的坐标代入解析式，得 $3=\frac{k}{2}$，解得 $k=6$，$\therefore$ 这个函数的解析式为 $y=\frac{6}{x}$。
$\because$ 反比例函数解析式为 $y=\frac{6}{x}$，$\therefore xy=6$。分别把点 $B,C$ 的坐标代入，得 $(-1)×6=-6≠6$，则点 $B$ 不在该函数图象上；$3×2=6$，则点 $C$ 在该函数图象上。
(2) $\because$ 当 $x=-3$ 时，$y=\frac{6}{-3}=-2$；当 $x=-1$ 时，$y=\frac{6}{-1}=-6$。
又 $\because k=6＞0$，$\therefore$ 当 $x＜0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小，$\therefore$ 当 $-3＜x＜-1$ 时，$-6＜y＜-2$。
【答案】
(1) 点B不在这个函数的图象上，点C在这个函数的图象上；
(2) 当$-3＜x＜-1$时，$y$的取值范围是$-6＜y＜-2$。
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数点的坐标特征；反比例函数的增减性
【点评】
本题属于反比例函数基础考查题，解题核心是掌握待定系数法求解析式的方法，以及反比例函数增减性的适用条件，注意讨论增减性时需限定在同一象限内，避免直接跨象限判断取值范围出错。
【难度系数】
0.8