【分析】
解题时先从已知条件入手：AB为⊙O的直径，根据圆周角定理可得∠ADB=∠ADC=90°，即△ABD和△ACD都是直角三角形，且两个三角形有公共边AD，已经满足一组边相等、一组直角相等，只需再补充一组对应边相等或一组对应角相等，满足全等三角形的判定条件即可。
【解析】
以下以添加条件$AB=AC$为例进行证明：
∵AB是⊙O的直径，
∴$∠ ADB=∠ ADC=90°$，即$AD⊥ BC$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ ACD$中：
$\begin{cases}AD=AD \quad (\mathrm{公共边})\\AB=AC \quad (\mathrm{添加的条件})\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ ABD≌\mathrm{Rt}△ ACD\ (\mathrm{HL})$。
若添加其他条件证明思路类似：添加$∠ B=∠ C$可通过AAS判定全等，添加$∠ BAD=∠ CAD$可通过ASA判定全等，添加$BD=CD$可通过SAS判定全等。
【答案】
答案不唯一，例如：$AB=AC$（或$∠ B=∠ C$、$∠ BAD=∠ CAD$、$BD=CD$等，任选其一即可）
【知识点】
圆周角定理；全等三角形的判定
【点评】
本题属于开放性试题，灵活考查了圆周角的性质与全等三角形的判定方法，需要学生先提取图形中的隐含条件，再结合全等判定规则补充合适的条件，对基础知识的运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.8

【分析】
要作出△ABC的外接圆，首先回忆三角形外接圆的相关性质：三角形外接圆的圆心叫做外心，外心到三角形三个顶点的距离相等，且外心是三角形三边垂直平分线的交点。由此推导解题步骤：①先确定圆心：作三角形任意两边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是外心O；②再确定半径：以O为圆心，OA（或OB、OC）的长度为半径作圆，就能得到经过三个顶点的外接圆，作图时要注意保留全部尺规作图痕迹。
【解析】
具体作法如下：
1. 分别作线段AB的垂直平分线和线段AC的垂直平分线，两条垂直平分线交于点O；
2. 以点O为圆心，OA的长为半径作圆。
最终得到的⊙O即为△ABC的外接圆，作图时需保留全部尺规作图痕迹。
【答案】
1. 分别作线段AB的垂直平分线和线段AC的垂直平分线，两条垂直平分线交于点O；
2. 以点O为圆心，OA的长为半径作圆，所得⊙O即为△ABC的外接圆，作图保留全部尺规作图痕迹。
【知识点】
1. 外心的性质
2. 尺规作垂直平分线
3. 三角形外接圆作法
【点评】
本题是基础的尺规作图类题目，核心考查对三角形外心定义和性质的理解，作图时要注意操作规范，完整保留作图痕迹，不能随意省略作垂直平分线的痕迹。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时我们可以从不同维度推导结论：①首先看到过圆心的OD垂直于弦BC，优先联想到垂径定理，可得到线段相等、弧相等的两类结论；②再结合AB是直径的条件，回忆直径所对圆周角的性质，得到AC与BC的位置关系，对比已知OD与BC的位置关系，即可推出两条直线平行的第三类结论，三类结论类型不同，符合题目要求。
【解析】
1. 线段关系推导：
∵OD是⊙O的半径（过圆心），且OD⊥BC，根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，可得$BE=CE$。
2. 弧的关系推导：
同样根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦所对的弧，可得$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$。
3. 位置关系推导：
∵AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，得∠ACB=90°，即$AC⊥ BC$；
又已知$OD⊥ BC$，根据“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，可得$AC// OD$。
【答案】
1. 线段关系：$BE=CE$；
2. 弧的关系：$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$；
3. 位置关系：$AC// OD$。
【知识点】
垂径定理、圆周角定理、平行线判定
【点评】
本题为开放性基础题，答案不唯一，可从线段、弧、角、位置关系等多角度推导结论，核心考查对圆的基础性质的掌握程度和发散思维能力。
【难度系数】
0.8