【分析】
要判断点是否在以AB为直径的圆上，有两种常用思路：①先求出该圆的标准方程，若点坐标满足方程，则点在圆上；②利用“直径所对的圆周角为直角”的性质，若点P在圆上，则∠APB=90°，满足PA²+PB²=AB²。我们选择第一种方法，先确定圆心和半径，写出圆的方程，再逐个代入选项中的点验证即可。
【解析】
步骤1：求圆心坐标
因为AB是直径，所以圆心为AB的中点，已知A(0,1)，B(3,0)，根据中点坐标公式，圆心C的坐标为：
$C(\frac{0+3}{2},\frac{1+0}{2})=(\frac{3}{2},\frac{1}{2})$
步骤2：求半径
先计算AB的长度：$AB=\sqrt{(3-0)^2+(0-1)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$，因此半径$r=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{10}}{2}$
步骤3：写出圆的标准方程
圆的标准方程为$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$（其中(a,b)为圆心坐标，r为半径），代入得：
$(x-\frac{3}{2})^2+(y-\frac{1}{2})^2=(\frac{\sqrt{10}}{2})^2=\frac{5}{2}$
步骤4：逐个验证选项
A选项：代入(0,0)，左边$=(-\frac{3}{2})^2+(-\frac{1}{2})^2=\frac{9}{4}+\frac{1}{4}=\frac{5}{2}$，满足；代入(1,1)，左边$=(-\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}≠\frac{5}{2}$，不满足，排除A。
B选项：代入(1,-2)，左边$=(-\frac{1}{2})^2+(-\frac{5}{2})^2=\frac{1}{4}+\frac{25}{4}=\frac{13}{2}≠\frac{5}{2}$，不满足，排除B。
C选项：代入(1,-1)，左边$=(-\frac{1}{2})^2+(-\frac{3}{2})^2=\frac{1}{4}+\frac{9}{4}=\frac{5}{2}$，满足；代入(1,3)，左边$=(-\frac{1}{2})^2+(\frac{5}{2})^2=\frac{1}{4}+\frac{25}{4}=\frac{13}{2}≠\frac{5}{2}$，不满足，排除C。
D选项：代入(2,-1)，左边$=(\frac{1}{2})^2+(-\frac{3}{2})^2=\frac{1}{4}+\frac{9}{4}=\frac{5}{2}$，满足；代入(2,2)，左边$=(\frac{1}{2})^2+(\frac{3}{2})^2=\frac{1}{4}+\frac{9}{4}=\frac{5}{2}$，两个点都满足，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
圆的标准方程；点与圆的位置关系；直径的性质
【点评】
本题考查点和圆的位置关系的判断，解题时可灵活选择验证方法，计算过程中要注意细心运算，避免因计算错误导致判断失误。
【难度系数】
0.7

【分析】
要确定圆弧所在圆的圆心，依据圆的基本性质：圆心到圆上任意点的距离相等，因此圆心是任意两条弦的垂直平分线的交点。首先先明确网格中A、B、C三点的坐标，先找水平弦AB的垂直平分线，再求另一条弦（如BC）的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心，最后用勾股定理计算半径即可。
【解析】
首先确定三个网格点的坐标：$A(0,4)$，$B(4,4)$，$C(6,2)$。
1. 求弦$AB$的垂直平分线：
$A$、$B$纵坐标相同，故$AB$为水平线段，中点坐标为$(\frac{0+4}{2},\frac{4+4}{2})=(2,4)$，$AB$的垂直平分线为垂直于AB的竖直线，即$x=2$。
2. 求弦$BC$的垂直平分线：
$BC$的中点坐标为$(\frac{4+6}{2},\frac{4+2}{2})=(5,3)$，$BC$的斜率$k_{BC}=\frac{2-4}{6-4}=-1$，因此其垂直平分线的斜率为$1$，由点斜式得垂直平分线方程：$y-3=1×(x-5)$，化简得$y=x-2$。
3. 求圆心坐标：
将$x=2$代入$y=x-2$，得$y=0$，因此圆心坐标为$(2,0)$。
4. 计算半径：
半径为圆心到圆上任意点的距离，取点$A$计算：$r=\sqrt{(2-0)^2+(0-4)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
【答案】
$(2,0)$；$2\sqrt{5}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；坐标与图形性质
【点评】
本题解题核心是利用"圆心在弦的垂直平分线上"的性质确定圆心位置，结合网格坐标和基础的一次函数、勾股定理即可求解，解题时注意坐标计算不要出错。
【难度系数】
0.7

【分析】
观察图形可知，两个同心圆被互相垂直的两条直径平均分成4个相同的扇形，阴影部分零散分布在不同区域。解题时可利用旋转的割补思路：将内圆中的阴影部分旋转、拼接到大圆对应的空白扇形区域，可发现所有阴影部分刚好能拼成大圆面积的一半，无需分别计算各部分阴影面积，直接转化为求大圆面积的一半即可。
【解析】
首先计算大圆的面积，已知大圆半径$ R=2 $，根据圆的面积公式$ S=π R^2 $，可得大圆面积为：
$ S_{大圆}=π× 2^2=4π $
通过割补拼接，阴影部分的总面积等于大圆面积的$ \frac{1}{2} $，因此：
$ S_{阴影}=\frac{1}{2}× S_{大圆}=\frac{1}{2}×4π=2π $
【答案】
$ 2π $
【知识点】
割补法求面积、圆的面积计算、图形旋转的性质
【点评】
本题是不规则阴影面积计算的典型题型，核心是灵活运用割补、旋转等转化思想，把零散的不规则阴影转化为规则的半圆面积计算，大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时先通过作辅助线构造同弧对应的圆心角，再利用圆周角定理得到圆心角的度数，结合半径相等的性质判断三角形形状，最终求出半径。第一步：连接OA、OB，得到弧AB所对的圆心角∠AOB；第二步：根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，计算出∠AOB的度数；第三步：由OA、OB均为半径可知二者相等，结合∠AOB的度数判断△AOB的形状，即可得到半径与AB的长度关系。
【解析】
解：连接OA、OB。
∵ ∠ACB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角
∴ 由圆周角定理可得：$∠ AOB=2∠ ACB$
已知$∠ ACB=30°$，代入得$∠ AOB=2×30°=60°$
又
∵ OA和OB都是$\odot O$的半径，$\therefore OA=OB$
∴ $△ AOB$是有一个角为$60°$的等腰三角形，即等边三角形
$\therefore OA=AB$
∵ $AB=1.8\ \mathrm{cm}$，$\therefore \odot O$的半径为$1.8\ \mathrm{cm}$
【答案】
1.8
【知识点】
圆周角定理、等边三角形的判定
【点评】
本题解题的核心是正确构造辅助线得到圆心角，结合圆周角定理和特殊三角形的性质求解，整体思路清晰，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.85

【分析】
解题时先结合圆的性质梳理思路：要求圆心到弦的距离，可利用垂径定理，过圆心作弦的垂线，该垂线会平分弦，此时半径、弦长的一半、圆心到弦的距离恰好构成直角三角形，再用勾股定理计算即可。具体步骤为：首先明确已知条件，半径为5cm，弦长为8cm；再根据垂径定理求出弦长的一半；最后代入勾股定理算出所求距离。
【解析】
解：设圆的圆心为O，弦AB长为8cm，过点O作OC⊥AB于点C。
根据垂径定理，OC平分弦AB，因此$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4\mathrm{cm}$。
已知圆的半径$OA=5\mathrm{cm}$，在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得：
$OC^2+AC^2=OA^2$
代入数值：$OC^2+4^2=5^2$
解得：$OC=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3\mathrm{cm}$
即圆心到该弦的距离为3cm。
【答案】
3
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆相关的基础题型，解题核心是掌握垂径定理的应用，学会通过作弦心距构造直角三角形，结合勾股定理求解线段长度。
【难度系数】
0.8

【分析】
解决本题首先利用内切圆的切线性质：圆的切线垂直于过切点的半径，结合∠C=90°、内切圆半径相等，可判定四边形OECF是正方形，得到CF的长度等于半径；再根据切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线长度相等，可知AD=AF，用AC的长度减去CF的长度得到AF，即可求出AD的长。
【解析】
连接OE、OF，
∵⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F为切点，
∴OF⊥AC，OE⊥BC，且AD=AF（切线长定理），
∵∠C=90°，OE=OF=3cm，
∴四边形OECF是正方形，
∴CF=OE=3cm，
又
∵AC=10cm，
∴AF=AC - CF=10 - 3=7cm，
∴AD=AF=7cm。
【答案】
7
【知识点】
切线长定理，三角形内切圆的性质，正方形的判定
【点评】
本题是三角形内切圆的基础计算题，解题的核心是抓住直角三角形内切圆与直角边围成的四边形是正方形这一特征，再结合切线长定理快速求解，是内切圆相关考点的典型基础题。
【难度系数】
0.75

【分析】
看到PA是⊙O的切线，首先回忆切线的性质：切线垂直于过切点的半径，因此首先作辅助线连接OA，得到Rt△OAP。已知PA的长度和BP的长度，设⊙O的半径为r，可分别表示出直角三角形的三条边长，再利用勾股定理列方程求解半径即可。
【解析】
解：连接OA，
∵PA切⊙O于点A，
∴OA⊥PA，即∠OAP=90°。
设⊙O的半径为r，则OA=OB=r，
∴OP=OB+BP=r+4。
在Rt△OAP中，由勾股定理得：
$OA^2 + PA^2 = OP^2$，
代入数值：$r^2 + 6^2 = (r+4)^2$，
展开得：$r^2 + 36 = r^2 + 8r + 16$，
化简得：$8r = 20$，
解得：$r = 2.5$。
【答案】
2.5
【知识点】
切线的性质、勾股定理、一元一次方程求解
【点评】
本题考查圆的切线相关计算，解题的关键是掌握切线问题的常用辅助线做法：连接切点与圆心，构造直角三角形，再结合勾股定理建立方程求解，是圆的计算类的基础题型。
【难度系数】
0.7

【分析】
要使△ABC为等腰三角形，需按等腰三角形的边的特性分类讨论：①AB作为等腰三角形的底边：此时需满足CA=CB，根据线段垂直平分线的性质，点C在AB的垂直平分线上，作AB的垂直平分线，与圆的交点即为符合条件的C点；②AB作为等腰三角形的腰：分两种子情况，若A为顶角顶点，则需AB=AC，以A为圆心、AB长为半径画弧，与圆除B外的交点符合要求；若B为顶角顶点，则需BA=BC，以B为圆心、AB长为半径画弧，与圆除A外的交点符合要求，两类情况合计共4个符合条件的点。
【解析】
分两种情况构造等腰三角形：
1. 当AB为等腰△ABC的底边时：作AB的垂直平分线，该直线过圆心O，与⊙O交于2个点，这两个点到A、B的距离相等，满足CA=CB，符合要求；
2. 当AB为等腰△ABC的腰时：
（1）以A为圆心，AB的长度为半径画弧，与⊙O交于1个异于B的点，该点满足AB=AC，符合要求；
（2）以B为圆心，AB的长度为半径画弧，与⊙O交于1个异于A的点，该点满足BA=BC，符合要求。
综上，共4个满足条件的点C，作图痕迹见答案。
【答案】

【知识点】
等腰三角形的判定、线段垂直平分线的性质、尺规作图
【点评】
本题重点考察分类讨论思想在几何作图中的应用，解题时要注意按照等腰三角形底边和腰的不同情况分类讨论，避免出现漏解。
【难度系数】
0.6

【分析】
要解决这个问题，首先明确“过点P且与OA平行的直线与⊙O没有公共点”等价于直线和圆相离，此时圆心O到直线的距离大于圆的半径1。我们可以先找临界情况：当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径1，结合∠AOB=45°的条件，利用解直角三角形算出相切时点P对应的x的临界值，再分别讨论点P在正半轴和负半轴的情况，最终得到符合要求的x的取值范围。
【解析】
当直线与⊙O相切时，为临界状态，此时圆心O到直线的距离等于半径1：
1. 若点P在x轴正半轴，设切点为C，连接OC，则OC⊥直线，OC=1。
∵ 直线与OA平行，∠AOB=45°，
∴ 直线与x轴的夹角为45°，即∠OPC=45°。
在Rt△OPC中，$\sin45°=\frac{OC}{OP}$，代入OC=1，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得$OP=\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}$，即此时点P对应的x值为$\sqrt{2}$。
要使直线与圆没有公共点（相离），则$x＞\sqrt{2}$。
2. 若点P在x轴负半轴，同理可得，相切时点P对应的x值为$-\sqrt{2}$，要使直线与圆没有公共点，则$x＜-\sqrt{2}$。
综上，x的取值范围是$x＞\sqrt{2}$或$x＜-\sqrt{2}$。
【答案】
$x＞\sqrt{2}或x＜-\sqrt{2}$
【知识点】
直线与圆的位置关系；平行线的性质；解直角三角形
【点评】
本题核心是将直线与圆无公共点的条件转化为相离的位置关系，通过找相切的临界状态计算边界值，解题时要注意分类讨论点P在数轴正、负半轴的两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6